Ομομορφισμός ομάδων

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{C}^* \rightarrow \mathbb{R}^*$ ένας ομομορφισμός ομάδων. Εξετάσατε αν:

ο πυρήνας είναι άπειρος.
αν ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος ( uncountable ) .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 18, 2018 9:55 pm
Έστω $f:\mathbb{C}^* \rightarrow \mathbb{R}^*$ ένας ομομορφισμός ομάδων. Εξετάσατε αν:

ο πυρήνας είναι άπειρος.

αν ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος ( uncountable ) .

Κάνω το i
Στην ομάδα $\mathbb{R}^{*}$ εκτός του ουδετέρου το μόνο στοιχείο με πεπερασμένη τάξη είναι το

που έχει τάξη

Στην ομάδα $\mathbb{C}^{*}$ υπάρχουν άπειρα στοιχεία με πεπερασμένη τάξη.
Συγκεκριμένα για p>2

πρώτο τα $\exp(\frac{2\pi ik}{p}),k=1,2,3,...,p-1$
έχουν τάξη

.

Για διαφορετικούς πρώτους είναι διαφορετικά οπότε είναι άπειρα.

Ο ομομορφισμός τα στέλνει στο ουδέτερο.
(η τάξη της εικόνας ενός στοιχείου διαιρεί την τάξη του)
Αρα ο πυρήνας είναι άπειρος.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 19, 2018 8:22 pm

Κάνω το i

Δεν ξέρω την απάντηση στο ii, αλλά στην προσπάθειά μου να το απαντήσω πέφτω στην εξής
σχετική ερώτηση, ούτε της οποίας ξέρω την απάντηση:

Πέρα από τους ομομορφισμούς $h_t: \mathbb C ^* \to \mathbb R^*, \, h_t(z)= |z|^t$ , υπάρχουν άλλοι;

Αυτοί έχουν, βέβαια, μη αριθμήσιμο πυρήνα αλλά δεν απαντούν στο ii.

Tolaso J Kos · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 19, 2018 10:38 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 19, 2018 8:22 pm

Κάνω το i
Πέρα από τους ομομορφισμούς $h_t: \mathbb C ^* \to \mathbb R^*, \, h_t(z)= |z|^t$ , υπάρχουν άλλοι;

Αυτοί έχουν, βέβαια, μη αριθμήσιμο πυρήνα αλλά δεν απαντούν στο ii.

Ναι, υπάρχουν αλλά είναι δύσκολο να περιγραφούν. Πάντως οι μόνοι συνεχείς αυτομορφισμοί είναι οι παραπάνω της μορφής δηλ. $z \mapsto |z|^\alpha$ .

Η απάντηση στο ερώτημα είναι θετική. Ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος.

Το θέμα έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον όπως και ενδιαφέρουσες προεκτάσεις. Προς το παρόν δε γράφω κάτι άλλο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 18, 2018 9:55 pm
Έστω $f:\mathbb{C}^* \rightarrow \mathbb{R}^*$ ένας ομομορφισμός ομάδων. Εξετάσατε αν:

ο πυρήνας είναι άπειρος.

αν ο πυρήνας είναι μη αριθμήσιμος ( uncountable ) .

Απαντώ στο ii)

Η απάντηση είναι ότι μπορεί ο πυρήνας μπορεί να είναι αριθμήσιμος η υπεραριθμήσιμος.

Είναι εύκολο να δούμε ότι αν $f:\mathbb{C}^{*}\rightarrow \mathbb{R}^{*}$ ομομορφισμός

τότε μπορούμε εύκολα να δημιουργήσουμε έναν νέο $f:\mathbb{C}^{*}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$

ομομορφισμό.

Θα περιγράψουμε όλους αυτούς τους ομομορφισμούς.

Με βάση το

https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group

έχουμε
$\mathbb{C}^{*}\approx \mathbb{R}\times \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$

Είναι εύκολο να δούμε ότι $\mathbb{R}^{+}\approx \mathbb{R}$
(η

είναι ο ισομορφισμός.)

$\mathbb{R}=(\mathbb{R},+),\mathbb{R}^{+}=(\mathbb{R}^{+},.)$

Πρέπει να βρούμε όλους τους ομομορφισμούς $f:\mathbb{R}\times \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}$

Επειδή τα στοιχεία του $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ έχουν πεπερασμένη τάξη ενώ

της $(\mathbb{R},+)$ άπειρη τάξη όλα τα στοιχεία αυτά είναι στον πυρήνα.

Πρέπει να βρούμε όλους τους ομομορφισμούς $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

Αυτοί έχουν την εξής μορφή.

Αν $(x_{i})_{i\in I}$ Hamel βάση του $\mathbb{R}$ όπου

υπεραριθμήσιμο

και $(y_{i})_{i\in I}$ στοιχεία του $\mathbb{R}$

υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός με $g(x_{i})=y_{i}$

Διαλέγοντας τα $y_{i}$ κατάλληλα μπορούμε να έχουμε πυρήνα αριθμήσιμο η υπεραριθμήσιμο
οπότε έχουμε το ζητούμενο.

Ομομορφισμός ομάδων

Ομομορφισμός ομάδων

Re: Ομομορφισμός ομάδων

Re: Ομομορφισμός ομάδων

Re: Ομομορφισμός ομάδων

Re: Ομομορφισμός ομάδων

Μέλη σε σύνδεση