Ανάγωγο πολυώνυμο
Συντονιστής: Demetres
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Ανάγωγο πολυώνυμο
Εστω
διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι.
Θέτουμε
Δείξτε ότι για
το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στους ακεραίους.
διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι.
Θέτουμε
Δείξτε ότι για
το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στους ακεραίους.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ανάγωγο πολυώνυμο
Έστω με πολυώνυμα βαθμού μικρότερου του .
Τότε ισχύει για κάθε . Αφού το πολυώνυμο μηδενίζεται σε σημεία και δεν έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του , είναι το μηδενικό. Έτσι τα δύο πολυώνυμα ταυτίζονται και έχουμε .
Έστω και . Αφού , ισχύει ότι οπότε και έχουμε άτοπο.
Τότε ισχύει για κάθε . Αφού το πολυώνυμο μηδενίζεται σε σημεία και δεν έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του , είναι το μηδενικό. Έτσι τα δύο πολυώνυμα ταυτίζονται και έχουμε .
Έστω και . Αφού , ισχύει ότι οπότε και έχουμε άτοπο.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανάγωγο πολυώνυμο
Αφού τα ταυτίζονται, το πρέπει να είναι άρτιο.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 01, 2017 1:52 pmΕίναι και τα (εννοείται ότι είναι εύκολα αλλά ξεχάστηκαν)
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανάγωγο πολυώνυμο
Έχουμε βέβαια και τις περιπτώσεις , .
Η πρώτη περίπτωση είναι εύκολη, καθώς από την λαμβάνουμε , , άρα με τυχόντα ακέραιο.
Στην δεύτερη περίπτωση από την λαμβάνουμε , , όπου οι συμμετρικές παραστάσεις των : λίγο δύσκολο να ισχύουν όλες αυτές οι σχέσεις ταυτόχρονα, και μάλιστα για ακεραίους, αλλά ... προς το παρόν δεν βλέπω κάποιον γρήγορο τρόπο αποκλεισμού αυτής της πιθανότητας... (Για , για παράδειγμα, οι σχέσεις ισχύουν ... αλλά οι δεν είναι ακέραιοι.)
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Ανάγωγο πολυώνυμο
Όμως στην περίπτωση η αναγωγή δεν χρειάζεται να είναι στη μορφή . Αρκεί η μορφή . Έτσι, για παράδειγμα, έχουμε
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανάγωγο πολυώνυμο
Πολύ σωστά, και αυτό λύνει το πρόβλημα πλήρως, καθώς αρκεί να παραγοντοποιείται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων όρων (και να έχει ακέραιες ρίζες) το πολυώνυμο
οπότε από τις διακρίνουσες των δύο παραγόντων λαμβάνουμε και για ακέραιους άρα με μόνες πιθανές λύσεις τις . Σε όλες τις περιπτώσεις καταλήγουμε στην εξίσωση , η γενική λύση της οποίας είναι
Οι αντίστοιχες λύσεις των δευτεροβαθμίων και είναι τώρα είτε της μορφής και (περίπτωση ) είτε της μορφής και (περίπτωση ). Οι αντίστοιχες ταυτότητες είναι
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανάγωγο πολυώνυμο
Καταλήξαμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι το πολυώνυμο είναι μη ανάγωγο στους ακέραιους (ακριβέστερα τετράγωνο τριωνύμου χωρίς ακέραιες ρίζες*) αν και μόνον αν οι είναι διαδοχικοί ακέραιοι. (Και ως απλό πόρισμα λαμβάνουμε ένα γνωστό και βεβαίως πολύ ευκολότερο αποτέλεσμα: το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων συν ένα είναι τέλειο τετράγωνο (του γινομένου του πρώτου επί τον τελευταίο συν ένα).)
*η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται προς
*η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται προς
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανάγωγο πολυώνυμο
Για μία πραλλαγή της λύσης βλέπε την Άσκηση 3 εδώ.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 01, 2017 12:11 amΕστω
διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι.
Θέτουμε
Δείξτε ότι για
το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στους ακεραίους.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες