Κατασκευή ορθογώνιου πίνακα

#1

Δίνονται δύο διανύσματα $x,y \in \mathbb{R}^n$ με $\|x\|_2 = \|y\|_2$ . Να κατασκευαστεί ορθογώνιος πίνακας

ώστε

. Υπάρχει τέτοιος πίνακας αν $\|x\|_2 \neq \|y\|_2$

Πηγή: Προκριματική Εξέταση, Πανεπιστήμιο Berkeley, Άνοιξη 2017.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Demetres έγραψε:Δίνονται δύο διανύσματα $x,y \in \mathbb{R}^n$ με $\|x\|_2 = \|y\|_2$ . Να κατασκευαστεί ορθογώνιος πίνακας ώστε . Υπάρχει τέτοιος πίνακας αν $\|x\|_2 \neq \|y\|_2$

Πηγή: Προκριματική Εξέταση, Πανεπιστήμιο Berkeley, Άνοιξη 2017.

Δημήτρη μια ερώτηση.Για πιο πράγμα είναι αυτά προκριματικά;

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\|x\|_2 = \|y\|_2=1$ .

Βρίσκουμε πίνακα ορθογώνιο ώστε $x=Re_{1}$

(πρώτη στήλη το

και οι άλλες από ορθοκανονικοποίηση από μια βάση που περιέχει το

)

Ομια βρίσκουμε πίνακα ορθογώνιο ώστε $y=Be_{1}$

Ο $Q=BR^{-1}$ επαληθεύει την σχέση και είναι ορθογώνιος αφού το γινόμενο ορθογωνίων είναι ορθογώνιος

και ο αντίστροφος ορθογωνίου είναι ορθογώνιος.

Αν $\|x\|_2 \neq \|y\|_2$ δεν υπάρχει τέτοιος πίνακας γιατί για ορθογώνιους πίνακες ισχύει

$\left \| Qx \right \|_{2}=\left \| x \right \|_{2}$

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δημήτρη μια ερώτηση.Για πιο πράγμα είναι αυτά προκριματικά;

Σταύρο, είναι εξετάσεις που δίνουν οι φοιτητές στις αρχές του διδακτορικού τους ώστε να τους επιτραπεί να συνεχίσουν για το διδακτορικό.

Δεν πέρασα από Αμερική για να γνωρίζω ακριβώς το σύστημα. Από πανεπιστήμιο σε πανεπιστήμιο φαίνεται να διαφέρει κάπως ο τρόπος που τρέχουν αυτές τις εξετάσεις.

Στο Berkeley από όπου πήρα αυτήν την άσκηση δίνουν δύο γραπτά με 9 ερωτήσεις το κάθε ένα από τις οποίες πρέπει να απαντήσουν τις 6. Τα γραπτά έχουν μίγμα ερωτήσεων από πραγματική ανάλυση, μιγαδική ανάλυση, γραμμική άλγεβρα και αφηρημένη άλγεβρα. Μεταφράζω κάποια πράγματα από την σελίδα τους:

«Ο σκοπός της προκαταρκτικής εξέτασης είναι να διασφαλιστεί ότι οι μεταπτυχιακοί φοιτητές έχουν επαρκείς γνώσεις του προπτυχιακού υλικού για να ολοκληρώσουν το διδακτορικό τους, και να τους δωθεί νωρίς πληροφόρηση για το πόσο καλά προετοιμασμένοι είναι.

Η επιτροπή θα περάσει όλους τους φοιτητές που έχουν αποδείξει ότι έχουν το απαιτούμενο υπόβαθρο, το οποίο είναι κατά προσέγγιση το επίπεδο βαθμού Α σε ένα προπτυχιακό μάθημα. Κάθε ερώτηση βαθμολογείται από 10. Η βαθμολόγηση είναι αυστηρή και δεν δίδεται καμιά ή καθόλου πίστωση για μερικές απαντήσεις που δεν φαίνεται να κατευθύνονται προς μια ολοκληρωμένη λύση. Τα τελευταία χρόνια η βαθμολογία επιτυχίας ήταν συνήθως μεταξύ 70 και 85 από τα 120 και τυπικά περίπου τα δύο τρίτα των φοιτητών περνούν κάθε φορά, αλλά αυτά τα στοιχεία δεν είναι επίσημη πολιτική και μερικές φορές αλλάζουν.»

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Βρίσκουμε πίνακα ορθογώνιο ώστε $x=Re_{1}$ ...

Και εγώ έτσι το σκέφτηκα. Η λύση όμως βλέπω πως είναι περισσότερο κατασκευαστική εκφράζοντας τον ορθογώνιο πίνακα συναρτήσει των

και

. Ας λυθεί λοιπόν και έτσι.

Κατασκευή ορθογώνιου πίνακα

Κατασκευή ορθογώνιου πίνακα

Re: Κατασκευή ορθογώνιου πίνακα

Re: Κατασκευή ορθογώνιου πίνακα

Re: Κατασκευή ορθογώνιου πίνακα

Μέλη σε σύνδεση