mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 23, 2017 1:05 pm**

Έστω

το σώμα ριζών του πολυωνύμου $f(x) = x^n-1 \in \mathbb{Q}[x]$ .

(α) Έστω $A \subseteq F^{\times} = \{ z \in F : z \neq 0\}$ μια πεπερασμένη (πολλαπλασιαστική) υποομάδα της

. Να δειχθεί ότι η

είναι κυκλική.

(β) Να δειχθεί ότι η $G = \mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$ είναι αβελιανή.

Πηγή: Προκριματική Εξέταση, Πανεπιστήμιο Harvard, Φθινόπωρο 2016.

Αν υπάρχει ενδιαφέρον θα βάλω και άλλα θέματα από διάφορα πανεπιστήμια.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 23, 2017 1:54 pm**

Κάνω το α).

Αφου το

είναι πεπερασμένο υπάρχει $k\in \mathbb{N}$

με $x\in A\Rightarrow x^{k}=1$

Αρα το

είναι υποομάδα της κυκλικής ομάδας των

ριζών του

.

Σαν υποομάδα κυκλικής ομάδας είναι κυκλική.

Το μόνο που χρησιμοποιήσαμε ήταν ότι έχουμε μια πεπερασμένη υποομάδα

της πολλαπλασιαστικής ομάδας των μιγαδικών.