Θέμα γραμμικής Ι
Συντονιστής: Demetres
Θέμα γραμμικής Ι
Το βρήκα στις σημειώσεις μου και είναι ένα θέμα γραμμικής το οποίο με είχε δυσκολέψει αρκετά.
Έστω οι μη-μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί , ανά δύο διαφορετικοί μεταξύ τους και η απεικόνιση τέτοια ώστε:
Θεωρούμε, επιπλέον, την κανονική βάση του και την αντίστοιχη διατεταγμένη του βάση .
(α) Να αποδείξετε ότι η είναι γραμμική απεικόνιση και να βρείτε τον πίνακα της γραμμικής απεικόνισης ως προς την διατεταγμένη του βάση .
(β) Να βρείτε την ορίζουσα της γραμμικής απεικόνισης και να εξετάσετε αν υπάρχει γραμμική απεικόνιση , τέτοια ώστε να ισχύει .
(γ) Να αποδείξετε ότι .
Φιλικά,
Μάριος
Έστω οι μη-μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί , ανά δύο διαφορετικοί μεταξύ τους και η απεικόνιση τέτοια ώστε:
Θεωρούμε, επιπλέον, την κανονική βάση του και την αντίστοιχη διατεταγμένη του βάση .
(α) Να αποδείξετε ότι η είναι γραμμική απεικόνιση και να βρείτε τον πίνακα της γραμμικής απεικόνισης ως προς την διατεταγμένη του βάση .
(β) Να βρείτε την ορίζουσα της γραμμικής απεικόνισης και να εξετάσετε αν υπάρχει γραμμική απεικόνιση , τέτοια ώστε να ισχύει .
(γ) Να αποδείξετε ότι .
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Θέμα γραμμικής Ι
Τα α) είναι άμεσο: Άλλωστε και με οποιουσδήποτε συντελεστές (όχι μόνο δυνάμεις των ιδίων ) είναι τετριμμένο ότι ο είναι γραμμικός. Εξ ίσου τετριμμένο είναι να βρούμε τον πίνακα του , όχι μόνο για την παραπάνω μορφή αλλά για όλους τους συντελεστές. Εδώ είναι στήλες της μορφής .M.S.Vovos έγραψε:Το βρήκα στις σημειώσεις μου και είναι ένα θέμα γραμμικής το οποίο με είχε δυσκολέψει αρκετά.
Έστω οι μη-μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί , ανά δύο διαφορετικοί μεταξύ τους και η απεικόνιση τέτοια ώστε:
Θεωρούμε, επιπλέον, την κανονική βάση του και την αντίστοιχη διατεταγμένη του βάση .
(α) Να αποδείξετε ότι η είναι γραμμική απεικόνιση και να βρείτε τον πίνακα της γραμμικής απεικόνισης ως προς την διατεταγμένη του βάση .
(β) Να βρείτε την ορίζουσα της γραμμικής απεικόνισης και να εξετάσετε αν υπάρχει γραμμική απεικόνιση , τέτοια ώστε να ισχύει .
(γ) Να αποδείξετε ότι .
Φιλικά,
Μάριος
β) Πρόκειται για την καλομελετημένη (και απλή στο ανάπτυγμά της) ορίζουσα Vandermonde (συνήθως η Vandermonde ξεκινά με αλλά δεν αλλάζει η ουσία γιατί μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα τα ). O γρήγορος (και γνωστός) τρόπος να την αναπτύξουμε είναι να παρατηρήσουμε ότι είναι πολυώνυμο ως προς κάθε και ότι αν στην θέση κάποιoυ βάλουμμε ένα άλλο, τότε η ορίζουσα έχει δύο στήλες ίδιες (και άρα μηδενίζεται) που σημαίνει ότι έχει παράγοντα το .
Επίσης το ερώτημα είναι προφανές: Ο αντιμετατίθεται με κάθε πολυώνυμο του ευτού του, οπότε βρίσκουμε άπειρα τέτοια .
γ) Όμοια με το β).
Re: Θέμα γραμμικής Ι
Για το (γ) μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι για αντιστρέψιμο, από όπου βγαίνει εύκολα το αποτέλεσμα.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Θέμα γραμμικής Ι
Πολύ σωστά. Νομίζω ότι είναι περισσότερο "ψαρωτικό" παρά δύσκολο.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης