Ασκήσεις Άλγεβρας

giannispapav · #81

Να δείξετε ότι η άπειρη κυκλική ομάδα δεν μπορεί να προκύψει ως ομάδα αυτομορφισμών κάποιας ομάδας.

BAGGP93 · #82

giannispapav έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 26, 2021 9:38 am
Να δείξετε ότι η άπειρη κυκλική ομάδα δεν μπορεί να προκύψει ως ομάδα αυτομορφισμών κάποιας ομάδας.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ομάδα

τέτοια, ώστε $(\rm{Aut}(G),\circ)\sim (\mathbb{Z},+)$ . Άρα η ομάδα αυτομορφισμών της

είναι κυκλική,

κατά συνέπεια και η ομάδα εσωτερικών αυτομορφισμών $\rm{Inn}(G)$ είναι κυκλική, απ' όπου συμπεραίνουμε ότι η

είναι αβελιανή, λόγω του

γνωστού ισομορφισμού $G/Z(G)\sim \rm{Inn}(G)$ . Εφ' όσον όμως η

είναι αβελιανή, η απεικόνιση $f:G\to G\,,f(x)=x^{-1}$

είναι αυτομορφισμός της

. Παρατηρούμε ότι $f\neq Id_{G}$ και $f^2(x)=f(f(x))=f(x^{-1})=(x^{-1})^{-1}=x=Id_{G}(x)\,,\forall\,x\in G\implies f^2=Id_{G}$

που σημαίνει ότι η $\rm{Aut}(G)$ έχει στοιχείο τάξης

, άτοπο.

giannispapav · #83

BAGGP93 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 27, 2021 12:49 am

giannispapav έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 26, 2021 9:38 am
Να δείξετε ότι η άπειρη κυκλική ομάδα δεν μπορεί να προκύψει ως ομάδα αυτομορφισμών κάποιας ομάδας.
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ομάδα τέτοια, ώστε $(\rm{Aut}(G),\circ)\sim (\mathbb{Z},+)$ . Άρα η ομάδα αυτομορφισμών της είναι κυκλική,

κατά συνέπεια και η ομάδα εσωτερικών αυτομορφισμών $\rm{Inn}(G)$ είναι κυκλική, απ' όπου συμπεραίνουμε ότι η είναι αβελιανή, λόγω του

γνωστού ισομορφισμού $G/Z(G)\sim \rm{Inn}(G)$ . Εφ' όσον όμως η είναι αβελιανή, η απεικόνιση $f:G\to G\,,f(x)=x^{-1}$

είναι αυτομορφισμός της

. Παρατηρούμε ότι $f\neq Id_{G}$ και $f^2(x)=f(f(x))=f(x^{-1})=(x^{-1})^{-1}=x=Id_{G}(x)\,,\forall\,x\in G\implies f^2=Id_{G}$

που σημαίνει ότι η $\rm{Aut}(G)$ έχει στοιχείο τάξης , άτοπο.

Ωραία! Νομίζω λείπει μια λεπτομέρεια: γιατί ο

με $f(x)=x^{-1}$ είναι διάφορος του ταυτοτικού; Δεν θα μπορούσε να είναι $f(x)=x^{-1}=x$ για κάθε $x\in G$ ;

[Η γενική ιδέα είναι αυτή που γράψατε απλά αυτό νομίζω είναι το 2ο "δύσκολο" σημείο της άσκησης]

giannispapav · #84

Έστω

πεπερασμένη, μη τετριμμένη, ομάδα. Αν η Aut(G)

δρα μεταβατικά στο $G-\{e\}$ τότε να δείξετε ότι $G\cong \mathbb{Z}_p^n$ για κάποιον πρώτο αριθμό

.

bouzoukman · #85

Έστω $\phi: A\rightarrow B$ ένας ομομορφισμός πεπερασμένα παραγόμενων αλγεβρών πάνω από ένα σώμα

. Έστω $\mathfrak{q}$ ένα μέγιστο ιδεώδες του

. Να δειχθεί ότι και το $\phi^{-1}(\mathfrak{q})$ είναι μέγιστο ιδεώδες του

.

bouzoukman · #86

Έστω

ενα δακτύλιος που είναι reduced. Να δειχθεί ότι κάθε μηδενοδιαιρέτης του

είναι στοιχείο ενός ελάχιστου πρώτου ιδεώδους.

BAGGP93 · #87

bouzoukman έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 22, 2021 10:35 pm
Έστω ενα δακτύλιος που είναι reduced. Να δειχθεί ότι κάθε μηδενοδιαιρέτης του είναι στοιχείο ενός ελάχιστου πρώτου ιδεώδους.

Καλημέρα. Νομίζω η απάντηση υπάρχει στο link της wiki που δώσατε.

bouzoukman · #88

BAGGP93 έγραψε: ↑
Τρί Απρ 13, 2021 11:33 am

bouzoukman έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 22, 2021 10:35 pm
Έστω ενα δακτύλιος που είναι reduced. Να δειχθεί ότι κάθε μηδενοδιαιρέτης του είναι στοιχείο ενός ελάχιστου πρώτου ιδεώδους.
Καλημέρα. Νομίζω η απάντηση υπάρχει στο link της wiki που δώσατε.

Αλήθεια; Δεν το πρόσεξα. Έμεινα μόνο στις δύο πρώτες γραμμές του ορισμού...

Σε κάθε περίπτωση είναι μία ενδιαφέρουσα άσκηση αν κάποιος θέλει να την προσπαθήσει μόνος του!

stranger · #89

27)
Έστω ένα αριθμητικό σώμα

.
Δείξτε ότι υπάρχουν πεπερασμένες το πλήθος ρίζες της μονάδας στο

.

stranger · #90

28)
Έστω

. Δείξτε ότι το f(x)

είναι επιλύσιμο με ριζικά πάνω από το $\mathbb{Q}$ .

Tolaso J Kos · #91

stranger έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 26, 2021 11:51 am
28)
Έστω . Δείξτε ότι το είναι επιλύσιμο με ριζικά πάνω από το $\mathbb{Q}$ .

Από το θεώρημα de Moivre έχουμε ότι οι ρίζες είναι της μορφής $\displaystyle{\rho_i = \sqrt[5]{6} \left ( \cos \frac{2\pi n}{6} + i \sin \frac{2 \pi n}{6} \right ) }$ . Για n=1

είναι $\displaystyle{\rho_1 = \sqrt[5]{6} \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$ . Όμοια παίρνουμε και τις άλλες ρίζες χρησιμοποιώντας τους τύπους $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \sin\beta\cos\alpha$ και $\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ .

Νομίζω επαρκεί και δε περνάμε από θεωρία Galois.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #92

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 26, 2021 1:00 pm

stranger έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 26, 2021 11:51 am
28)
Έστω . Δείξτε ότι το είναι επιλύσιμο με ριζικά πάνω από το $\mathbb{Q}$ .

Από το θεώρημα de Moivre έχουμε ότι οι ρίζες είναι της μορφής $\displaystyle{\rho_i = \sqrt[5]{6} \left ( \cos \frac{2\pi n}{6} + i \sin \frac{2 \pi n}{6} \right ) }$ . Για είναι $\displaystyle{\rho_1 = \sqrt[5]{6} \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$ . Όμοια παίρνουμε και τις άλλες ρίζες χρησιμοποιώντας τους τύπους $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \sin\beta\cos\alpha$ και $\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ .

Νομίζω επαρκεί και δε περνάμε από θεωρία Galois.

Υπάρχει τυπογραφικό το οποίο όμως είναι ουσιαστικό.
Είναι

$\displaystyle{\rho_i = \sqrt[5]{6} \left ( \cos \frac{2\pi n}{5} + i \sin \frac{2 \pi n}{5} \right ) }$

οπότε δεν ισχύει

$\displaystyle{\rho_1 = \sqrt[5]{6} \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$ .

Η λύση είναι απλή και σε σχολικό επίπεδο.
Οι ρίζες είναι $\sqrt[5]{6}r$ όπου
$r^{5}=1$
Αρα r=1

η το

είναι ρίζα της
$x^{4}+x^3+x^2+x+1=0$
Αυτή είναι αντίστροφη και κατά τα γνωστά
$x+\frac{1}{x}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$
κλπ.
Ηταν κάποτε σε σχολικό επίπεδο.Τώρα χωρίς μιγαδικούς...

Tolaso J Kos · #93

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 26, 2021 8:47 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 26, 2021 1:00 pm

stranger έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 26, 2021 11:51 am
28)
Έστω . Δείξτε ότι το είναι επιλύσιμο με ριζικά πάνω από το $\mathbb{Q}$ .

Από το θεώρημα de Moivre έχουμε ότι οι ρίζες είναι της μορφής $\displaystyle{\rho_i = \sqrt[5]{6} \left ( \cos \frac{2\pi n}{6} + i \sin \frac{2 \pi n}{6} \right ) }$ . Για είναι $\displaystyle{\rho_1 = \sqrt[5]{6} \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$ . Όμοια παίρνουμε και τις άλλες ρίζες χρησιμοποιώντας τους τύπους $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \sin\beta\cos\alpha$ και $\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ .

Νομίζω επαρκεί και δε περνάμε από θεωρία Galois.
Υπάρχει τυπογραφικό το οποίο όμως είναι ουσιαστικό.
Είναι

$\displaystyle{\rho_i = \sqrt[5]{6} \left ( \cos \frac{2\pi n}{5} + i \sin \frac{2 \pi n}{5} \right ) }$

οπότε δεν ισχύει

$\displaystyle{\rho_1 = \sqrt[5]{6} \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$ .

Η λύση είναι απλή και σε σχολικό επίπεδο.
Οι ρίζες είναι $\sqrt[5]{6}r$ όπου
$r^{5}=1$
Αρα η το είναι ρίζα της
$x^{4}+x^3+x^2+x+1=0$
Αυτή είναι αντίστροφη και κατά τα γνωστά
$x+\frac{1}{x}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$
κλπ.
Ηταν κάποτε σε σχολικό επίπεδο.Τώρα χωρίς μιγαδικούς...

Σταύρο, έχεις δίκιο για το τυπογραφικό αλλά η φιλοσοφία δε βλέπω να αλλάζει. Βέβαια $\displaystyle{\cos \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}}$ και $\displaystyle{\sin \frac{\pi}{5} = \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}$ . Άρα $\displaystyle{\rho_1 = \sqrt[5]{6} \left ( \frac{\sqrt{5}+1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \right )}$ κτλ.

stranger · #94

stranger έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 26, 2021 11:42 am
27)
Έστω ένα αριθμητικό σώμα .
Δείξτε ότι υπάρχουν πεπερασμένες το πλήθος ρίζες της μονάδας στο .

bouzoukman · #95

stranger έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 26, 2021 11:42 am
27)
Έστω ένα αριθμητικό σώμα .
Δείξτε ότι υπάρχουν πεπερασμένες το πλήθος ρίζες της μονάδας στο .

Ας πάμε με άτοπο!

'Εστω ότι υπάρχουν άπειρες το πλήθος ρίζες της μονάδας. Τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μία γνωσίως αύξουσα ακολουθία k_n

από θετικούς ακεραίους για την οποία ισχύουν τα εξής:

(1) Εάν n_2>n_1

τότε $\displaystyle{\phi(k_{n_2})>\phi(k_{n_1})}$ .
(2) $\zeta_{k_n} \in K$ , όπου $\zeta_{k_n}$ είναι μία k_n

-πρωταρχική ρίζα της μονάδας.

Έστω $K_n=\mathbb{Q}(\zeta_{k_n})$ . Τότε από το (2) καταλαβαίνουμε ότι $K_n\subset K$ , οπότε $[K:\mathbb{Q}]\geq [K_n:\mathbb{Q}]$ . Όμως από το (1) καταλαβαίνουμε ότι $\lim_{n\rightarrow\infty} [K_n:\mathbb{Q}]=\infty$ που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι $[K:\mathbb{Q}]<\infty$ .

stranger · #96

bouzoukman έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 30, 2021 12:58 pm

stranger έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 26, 2021 11:42 am
27)
Έστω ένα αριθμητικό σώμα .
Δείξτε ότι υπάρχουν πεπερασμένες το πλήθος ρίζες της μονάδας στο .
Ας πάμε με άτοπο!

'Εστω ότι υπάρχουν άπειρες το πλήθος ρίζες της μονάδας. Τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μία γνωσίως αύξουσα ακολουθία από θετικούς ακεραίους για την οποία ισχύουν τα εξής:

(1) Εάν τότε $\displaystyle{\phi(k_{n_2})>\phi(k_{n_1})}$ .
(2) $\zeta_{k_n} \in K$ , όπου $\zeta_{k_n}$ είναι μία -πρωταρχική ρίζα της μονάδας.

Έστω $K_n=\mathbb{Q}(\zeta_{k_n})$ . Τότε από το (2) καταλαβαίνουμε ότι $K_n\subset K$ , οπότε $[K:\mathbb{Q}]\geq [K_n:\mathbb{Q}]$ . Όμως από το (1) καταλαβαίνουμε ότι $\lim_{n\rightarrow\infty} [K_n:\mathbb{Q}]=\infty$ που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι $[K:\mathbb{Q}]<\infty$ .

Πολύ ωραία λύση.

stranger · #97

29) Εξετάστε αν υπάρχει φυσικός αριθμός

, έτσι ώστε να υπάρχουν άπειρες ομάδες(ως προς ισομορφισμό) με τάξη

.
Σημείωση: Είναι αρκετά εύκολη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #98

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 30, 2021 2:55 pm
29) Εξετάστε αν υπάρχει φυσικός αριθμός , έτσι ώστε να υπάρχουν άπειρες ομάδες(ως προς ισομορφισμό) με τάξη .
Σημείωση: Είναι αρκετά εύκολη.

Είναι ο ορισμός του παρακάτω από τετριμμένη.

Σε κάθε σύνολο με

στοιχεία ορίζονται πεπερασμένου πλήθους πράξεις.

sai · #99

stranger έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm
1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).

2) Έστω τα ιδεώδη και ενός δακτυλίου.
Δείξτε $I \cdot J \subseteq I \cap J$ . Ισχύει πάντα η ισότητα;

Για το πρώτο, ισχύει γενικά πως αν |G| = pq

, με $p \nmid q-1$ , θα είναι $G \cong \mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}$ . Συνεπώς, ως προς ισομορφισμό, υπάρχει μοναδική ομάδα τάξης 35, που είναι η $\mathbb{Z}/35\mathbb{Z}$ .

stranger · #100

30) Πόσες ανά δυο μη ισόμορφες ομάδες τάξης 7776 υπάρχουν;

Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Μέλη σε σύνδεση