Ύπαρξη ομάδων
Συντονιστής: Demetres
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Ύπαρξη ομάδων
Υπάρχουν απλές ομάδες τάξης όπου πρώτος;
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ύπαρξη ομάδων
Ας δούμε μια απόδειξη ότι η δεν είναι απλή. Έστω μια ομάδα τάξης .
Έστω το πλήθος των Sylow -υποομάδων της . Από τα θεωρήματα Sylow, . Άρα ή . Δεν μπορούμε να έχουμε αφού τότε θα είχαμε .
Αν , τότε η έχει μόνο μια υποομάδα τάξης , έστω την . Επειδή η είναι επίσης υποομάδα τάξης , τότε για κάθε , άρα η είναι κανονική υποομάδα της και άρα η δεν είναι απλή.
Αν τότε η έχει στοιχεία τάξης . Άρα έχει και μη τετριμμένα στοιχεία τάξης διάφορης του , έστω τα . Θα δείξουμε ότι όλα αυτά τα στοιχεία είναι συζυγή. Αν το δείξουμε αυτό τότε μπορούμε να τελειώσουμε ως εξής: Έστω πρώτος ώστε . Τότε ένα από τα θα έχει τάξη , άρα (αφού είναι συζυγή) όλα θα έχουν τάξη . Άρα το διαιρείται μόνο από έναν πρώτο , δηλαδή είναι δύναμη πρώτου, έστω . Πάλι από τα Θεωρήματα Sylow υπάρχει Sylow -υποομάδα μεγέθους η οποία πρέπει να είναι μοναδική αφού υπάρχουν μόνο στοιχεία τάξης διάφορης του . Όπως και στην προηγούμενη παράγραφο καταλήγουμε στο ότι η δεν είναι απλή.
Μένει λοιπόν να δείξουμε ότι τα είναι συζυγή. Έστω μια Sylow -υποομάδα. Κοιτάζουμε το σύνολο . Αν το σύνολο περιέχει λιγότερα από στοιχεία, τότε υπάρχουν με ώστε το οποίο δίνει όπου . Επειδή και κυκλική το είναι γεννήτορας της και άρα . Όμως από τα θεωρήματα Sylow έχουμε . Δηλαδή υπάρχουν ακριβώς στοιχεία ώστε τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα στοιχεία του . Αυτό αντιβαίνει στο το οποίο έχουμε δείξει.
Επομένως το σύνολο πιο πάνω έχει στοιχεία τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα αφού είναι τα μόνα μη τετριμμένα στοιχεία με τάξη διάφορη του . Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο στην περίπτωση αλλά δεν το βλέπω.
Έστω το πλήθος των Sylow -υποομάδων της . Από τα θεωρήματα Sylow, . Άρα ή . Δεν μπορούμε να έχουμε αφού τότε θα είχαμε .
Αν , τότε η έχει μόνο μια υποομάδα τάξης , έστω την . Επειδή η είναι επίσης υποομάδα τάξης , τότε για κάθε , άρα η είναι κανονική υποομάδα της και άρα η δεν είναι απλή.
Αν τότε η έχει στοιχεία τάξης . Άρα έχει και μη τετριμμένα στοιχεία τάξης διάφορης του , έστω τα . Θα δείξουμε ότι όλα αυτά τα στοιχεία είναι συζυγή. Αν το δείξουμε αυτό τότε μπορούμε να τελειώσουμε ως εξής: Έστω πρώτος ώστε . Τότε ένα από τα θα έχει τάξη , άρα (αφού είναι συζυγή) όλα θα έχουν τάξη . Άρα το διαιρείται μόνο από έναν πρώτο , δηλαδή είναι δύναμη πρώτου, έστω . Πάλι από τα Θεωρήματα Sylow υπάρχει Sylow -υποομάδα μεγέθους η οποία πρέπει να είναι μοναδική αφού υπάρχουν μόνο στοιχεία τάξης διάφορης του . Όπως και στην προηγούμενη παράγραφο καταλήγουμε στο ότι η δεν είναι απλή.
Μένει λοιπόν να δείξουμε ότι τα είναι συζυγή. Έστω μια Sylow -υποομάδα. Κοιτάζουμε το σύνολο . Αν το σύνολο περιέχει λιγότερα από στοιχεία, τότε υπάρχουν με ώστε το οποίο δίνει όπου . Επειδή και κυκλική το είναι γεννήτορας της και άρα . Όμως από τα θεωρήματα Sylow έχουμε . Δηλαδή υπάρχουν ακριβώς στοιχεία ώστε τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα στοιχεία του . Αυτό αντιβαίνει στο το οποίο έχουμε δείξει.
Επομένως το σύνολο πιο πάνω έχει στοιχεία τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα αφού είναι τα μόνα μη τετριμμένα στοιχεία με τάξη διάφορη του . Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο στην περίπτωση αλλά δεν το βλέπω.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ύπαρξη ομάδων
Η δική μου απόδειξη είναι παρόμοια.Demetres έγραψε: ↑Παρ Απρ 23, 2021 1:37 pmΑς δούμε μια απόδειξη ότι η δεν είναι απλή. Έστω μια ομάδα τάξης .
Έστω το πλήθος των Sylow -υποομάδων της . Από τα θεωρήματα Sylow, . Άρα ή . Δεν μπορούμε να έχουμε αφού τότε θα είχαμε .
Αν , τότε η έχει μόνο μια υποομάδα τάξης , έστω την . Επειδή η είναι επίσης υποομάδα τάξης , τότε για κάθε , άρα η είναι κανονική υποομάδα της και άρα η δεν είναι απλή.
Αν τότε η έχει στοιχεία τάξης . Άρα έχει και μη τετριμμένα στοιχεία τάξης διάφορης του , έστω τα . Θα δείξουμε ότι όλα αυτά τα στοιχεία είναι συζυγή. Αν το δείξουμε αυτό τότε μπορούμε να τελειώσουμε ως εξής: Έστω πρώτος ώστε . Τότε ένα από τα θα έχει τάξη , άρα (αφού είναι συζυγή) όλα θα έχουν τάξη . Άρα το διαιρείται μόνο από έναν πρώτο , δηλαδή είναι δύναμη πρώτου, έστω . Πάλι από τα Θεωρήματα Sylow υπάρχει Sylow -υποομάδα μεγέθους η οποία πρέπει να είναι μοναδική αφού υπάρχουν μόνο στοιχεία τάξης διάφορης του . Όπως και στην προηγούμενη παράγραφο καταλήγουμε στο ότι η δεν είναι απλή.
Μένει λοιπόν να δείξουμε ότι τα είναι συζυγή. Έστω μια Sylow -υποομάδα. Κοιτάζουμε το σύνολο . Αν το σύνολο περιέχει λιγότερα από στοιχεία, τότε υπάρχουν με ώστε το οποίο δίνει όπου . Επειδή και κυκλική το είναι γεννήτορας της και άρα . Όμως από τα θεωρήματα Sylow έχουμε . Δηλαδή υπάρχουν ακριβώς στοιχεία ώστε τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα στοιχεία του . Αυτό αντιβαίνει στο το οποίο έχουμε δείξει.
Επομένως το σύνολο πιο πάνω έχει στοιχεία τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα αφού είναι τα μόνα μη τετριμμένα στοιχεία με τάξη διάφορη του . Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο στην περίπτωση αλλά δεν το βλέπω.
Η διαφορά από την απόδειξη του Δημήτρη είναι ότι δείχνω
οπότε επειδή είναι συζυγή αποτελούν κανονική υποομάδα.
Η απόδειξη του Δημήτρη δίνει επιπλέον πληροφορίες για της ομάδες τάξης .
Συγκεκριμένα η σχέση για δίνει ότι θα πρέπει
και πρώτος.
Δηλαδή ο είναι πρώτος του Mersenne.
Ετσι μπορούμε να πούμε ότι αν ο δεν είναι πρώτος του Mersenne,αλλά πρώτος
τότε κάθε ομάδα με στοιχεία
έχει μοναδική υποομάδα με στοιχεία.
-
- Δημοσιεύσεις: 65
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm
Re: Ύπαρξη ομάδων
Άλλη μια προσπάθεια (αν και έχει περάσει αρκετός καιρός ...)
Στην περίπτωση που έχουμε τότε θα είναι . Άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε το Normal Complement Theorem του Burnside οπότε υπάρχει κανονική υποομάδα έτσι ώστε και . Συνεπώς και άρα η δεν είναι απλή.
https://ysharifi.wordpress.com/2011/01/ ... theorem-3/
Στην περίπτωση που έχουμε τότε θα είναι . Άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε το Normal Complement Theorem του Burnside οπότε υπάρχει κανονική υποομάδα έτσι ώστε και . Συνεπώς και άρα η δεν είναι απλή.
https://ysharifi.wordpress.com/2011/01/ ... theorem-3/
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες