Αντιστρέψιμος πίνακας

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2702
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Αντιστρέψιμος πίνακας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Δεκ 03, 2018 11:04 am

Έστωσαν n\times{n}-πίνακες A, B έτσι ώστε A^2=I_n, B^3=I_n και ο A+B είναι αντιστρέψιμος. Να αποδειχθεί ότι και ο πίνακας A+B^2 είναι αντιστρέψιμος και να βρεθεί ο αντίστροφός του.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7995
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Δεκ 03, 2018 11:59 am

Παρατηρούμε ότι A+B^2 = B^2(A+B)A οπότε είναι αντιστρέψιμος ως γινόμενο αντιστρέψιμων πινάκων.

Μάλιστα ο αντίστροφός του θα είναι \displaystyle  A^{-1}(A+B)^{-1}(B^2)^{-1} = ACB όπου C ο αντίστροφος του A+B.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2702
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Δεκ 03, 2018 12:35 pm

\begin{aligned} 
(A+B^2)\,A\,(A+B)^{-1}\,B&=(A^2+B^2A)\,(A+B)^{-1}\,(B^2)^{-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=(I_n+B^2A)\,\big(B^2(A+B)\big)^{-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=(I_n+B^2A)\,(B^2A+B^3)^{-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=(I_n+B^2A)\,(B^2A+I_n)^{-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=(I_n+B^2A)\,(I_n+B^2A)^{-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=I_n. 
\end{aligned}

Άρα ο πίνακας A+B^2 είναι αντιστρέψιμος με αντίστροφο τον πίνακα A\,(A+B)^{-1}\,B.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης