Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 137 θέματα

1
2
3
4
5
6
Επόμενη

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μαρ 14, 2021 10:02 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 5
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

5 Απαντήσεις

71114 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μαρ 14, 2021 10:02 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 10
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

10 Απαντήσεις

73350 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

79482 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

140032 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

156773 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 22)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Τρί Μαρ 03, 2020 12:45 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 21
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
1

2
Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...
21 Απαντήσεις

248163 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Τρί Μαρ 03, 2020 12:45 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Ισοτιμίες

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τετ Φεβ 08, 2023 10:34 pm
Απαντήσεις: 1
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Φεβ 08, 2023 5:06 pm

θεωρία-αριθμών

Να εξετάσετε αν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{k,m,n}$ , (συμπεριλαμβάνονται και οι μηδενικοί), ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{(13k)^3 = 9^m +4^n +3}$

1 Απαντήσεις

305 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τετ Φεβ 08, 2023 10:34 pm
Ιδιοκατασκευή

Τελευταία δημοσίευση από ohgreg « Δευ Φεβ 06, 2023 8:19 pm
Απαντήσεις: 1
από Batapan » Σάβ Φεβ 04, 2023 3:29 pm

κύβος

Μια άσκηση μου( ελπίζω να είναι σωστή η επιλογή φακέλου )

Να αποδειχθεί ότι η παράσταση $2^x+2023$ δεν είναι ποτέ τέλειος κύβος ακέραιου, όπου $x$ ένας θετικός ακέραιος

1 Απαντήσεις

318 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ohgreg
Δευ Φεβ 06, 2023 8:19 pm
Κάθε ένας διαιρείται με μια τέλεια δύναμη

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Σάβ Δεκ 31, 2022 10:44 am
Απαντήσεις: 1
από Demetres » Σάβ Δεκ 31, 2022 10:23 am

δύναμη

τέλεια

Ονομάζουμε έναν φυσικό αριθμό $n$ όμορφο αν ο $n$ διαιρείται με ένα τέλειο τετράγωνο, ο $n+1$ με έναν τέλειο κύβο και ο $n+2$ με μια τέλεια τέταρτη δύναμη.

(α) Να δείξετε ότι ο $2023$ είναι όμορφος.
(β) Αποφασίστε αν υπάρχουν άπειροι όμορφοι...

1 Απαντήσεις

406 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Δεκ 31, 2022 10:44 am
Υπάρχουν;

Τελευταία δημοσίευση από Henri van Aubel « Παρ Νοέμ 04, 2022 9:08 pm
Απαντήσεις: 1
από socrates » Σάβ Σεπ 24, 2022 1:36 am

τέλειο-τετράγωνο

α) Να εξετάσετε αν υπάρχουν θετικοί ακέραiοι $a,b,c,$ όχι απαραίτητα διαφορετικοί, τέτοιοι ώστε
$a+b+c=2010$ και ο αριθμός $2^a+2^b+2^c$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν θετικοί ακέραiοι $a,b,c,$ όχι απαραίτητα...

1 Απαντήσεις

790 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Henri van Aubel
Παρ Νοέμ 04, 2022 9:08 pm
Πρώτοι

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τρί Σεπ 27, 2022 12:38 pm
Απαντήσεις: 1
από socrates » Δευ Σεπ 26, 2022 1:51 am

πρώτος

Το γινόμενο ενός πλήθους πρώτων αριθμών, όχι απαραίτητα διαφορετικών, ισούται με 40 φορές το άθροισμά τους.
Να βρείτε αυτούς τους πρώτους.

1 Απαντήσεις

269 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τρί Σεπ 27, 2022 12:38 pm
Τριάδες ακεραίων

Τελευταία δημοσίευση από socrates « Τετ Σεπ 21, 2022 11:11 pm
Απαντήσεις: 2
από socrates » Τετ Σεπ 21, 2022 1:11 am

ακέραιος

Να βρείτε όλες τις τριάδες ακεραίων $(a,b,c)$ για τις οποίες οι αριθμοί

$\displaystyle{\frac{a}{b+c}, \ \ \frac{b}{c+a}, \ \ \frac{c}{a+b}}$

είναι ακέραιοι.

2 Απαντήσεις

743 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από socrates
Τετ Σεπ 21, 2022 11:11 pm
Διοφαντική εξίσωση

Τελευταία δημοσίευση από socrates « Τετ Σεπ 21, 2022 11:10 pm
Απαντήσεις: 2
από socrates » Τετ Σεπ 21, 2022 1:14 am

διοφαντική

Να βρείτε τους ακέραιους $m,n$ για τους οποίους

$\displaystyle{n^{n−1} = 4m^2+2m+3.}$

2 Απαντήσεις

261 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από socrates
Τετ Σεπ 21, 2022 11:10 pm
Δύναμη πρώτου

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Σεπ 01, 2022 11:26 am
Απαντήσεις: 1
από socrates » Τετ Αύγ 31, 2022 4:39 pm

πρώτος

Βρείτε όλες τις τριάδες (a, b, c) θετικών ακεραίων έτσι ώστε το γινόμενο
$(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a)$
να ισούται με τη δύναμη κάποιου πρώτου αριθμού.

1 Απαντήσεις

861 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Σεπ 01, 2022 11:26 am
Εξίσωση

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Τρί Αύγ 30, 2022 4:53 pm
Απαντήσεις: 3
από achilleas » Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:24 pm

εξίσωση

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $a,b,c$ τέτοιοι ώστε $\lcm(a,b,c)=\dfrac{ab+bc+ca}{4}$.

3 Απαντήσεις

578 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Τρί Αύγ 30, 2022 4:53 pm
Τέλεια τετράγωνα

Τελευταία δημοσίευση από thepigod762 « Παρ Ιούλ 22, 2022 7:14 pm
Απαντήσεις: 6
από achilleas » Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:29 pm

τέλειο-τετράγωνο

διαμέριση

Ένας θετικός ακέραιος $N$ καλείται ευγενικός αν το σύνολο $\{1,2,\dots,N\}$ μπορεί να διαμεριστεί σε ζευγάρια στοιχείων του, με κάθε ζευγάρι να έχει άθροισμα που να είναι τέλειο τετράγωνο. Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ευγενικοί αριθμοί οι οποίοι...

6 Απαντήσεις

700 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από thepigod762
Παρ Ιούλ 22, 2022 7:14 pm
Ακολουθία

Τελευταία δημοσίευση από socrates « Πέμ Ιούλ 21, 2022 5:28 pm
Απαντήσεις: 1
από achilleas » Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:25 pm

ακολουθία

Έστω μια ακολουθία $51$ θετικών ακεραίων των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με $100$. Να δειθχεί ότι για κάθε ακέραιο $1\leq k<100$ υπάρχουν κάποιοι διαδοχικοί όροι της ακολουθίας των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με $k$ ή $100-k$.

1 Απαντήσεις

307 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από socrates
Πέμ Ιούλ 21, 2022 5:28 pm
Ανίσωση με πλήθος διαιρετών

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Κυρ Φεβ 20, 2022 11:46 pm
Απαντήσεις: 5
από socrates » Παρ Φεβ 18, 2022 6:34 pm

πλήθος-διαιρετών

Αν $d(n)$ είναι το πλήθος των θετικών διαιρετών του $n$ να βρείτε όλα τα ακέραια $n\geq 3$ για τα οποία ισχύει

$\displaystyle{d(n-1)+d(n)+d(n+1)\leq 8.}$

Ας δώσουμε προτεραιότητα σε μαθητές...

5 Απαντήσεις

1983 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Κυρ Φεβ 20, 2022 11:46 pm
Πότε είναι τέλειο τετράγωνο

Τελευταία δημοσίευση από silouan « Δευ Ιαν 03, 2022 11:14 am
Απαντήσεις: 2
από silouan » Δευ Ιαν 03, 2022 9:53 am

τέλειο-τετράγωνο

Με αφορμή

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $n$ ώστε ο αριθμός $n^2+2^n$ να είναι τέλειο τετράγωνο.

2 Απαντήσεις

2010 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από silouan
Δευ Ιαν 03, 2022 11:14 am
ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Τελευταία δημοσίευση από Λευτέρης Παπανικολάου « Τετ Νοέμ 10, 2021 12:43 am
Απαντήσεις: 6
από Λευτέρης Παπανικολάου » Δευ Νοέμ 08, 2021 10:45 pm

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Μία προσωπική κατασκευή με μία μικρή επιφύλαξη ως προς την καταλληλότητα του φακέλου...

6 Απαντήσεις

2526 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Λευτέρης Παπανικολάου
Τετ Νοέμ 10, 2021 12:43 am
Ακέραιος!

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Σάβ Οκτ 02, 2021 1:26 pm
Απαντήσεις: 38
από Lymperis Karras » Κυρ Ιουν 20, 2021 11:57 am
1

2
ακεραιότητα

Να βρείτε όλους τους φυσικούς $n$ για τους οποίους ο $A=\sqrt{n} + \sqrt{n+2005}$ είναι ακέραιος.
38 Απαντήσεις

5111 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Σάβ Οκτ 02, 2021 1:26 pm
"Διοφαντική"

Τελευταία δημοσίευση από S.E.Louridas « Πέμ Αύγ 05, 2021 7:22 pm
Απαντήσεις: 6
από Al.Koutsouridis » Τρί Φεβ 02, 2021 9:03 pm

Διοφαντική

ακέραιοι

εξίσωση

Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση

$31 \left ( xyzt +xy+xt+zt+1 \right ) = 40 \left (yzt +y+t \right)$.

6 Απαντήσεις

4349 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από S.E.Louridas
Πέμ Αύγ 05, 2021 7:22 pm
Καλοί Αριθμοί

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Τετ Αύγ 04, 2021 5:41 pm
Απαντήσεις: 7
από Joaakim » Δευ Αύγ 02, 2021 12:58 pm

Τετραγωνικά-Υπόλοιπα

Modulo

Καλησπέρα σε όλους. Ορίστε μία άσκηση που κατασκεύασα:

Ένας θετικός ακέραιους λέγεται >, εάν όλα του τα ψηφία (τουλάχιστον δύο στο πλήθος) είναι ίσα μεταξύ τους. Είναι άραγε δυνατόν κάποιος καλός αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου;

7 Απαντήσεις

3496 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Τετ Αύγ 04, 2021 5:41 pm
Θεωρία αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από Joaakim « Κυρ Ιούλ 04, 2021 12:16 pm
Απαντήσεις: 2
από 2nisic » Σάβ Ιούλ 03, 2021 9:20 pm

Θεωρία-αριθμών

Να αποδειχθεί πως δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί $m,n,a$ και πρώτη $p,q,r$ με $q\equiv 3(mod4)$ και:

$\frac{q^m+r^np}{q^m-r^np}=a^2$

2 Απαντήσεις

3102 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Joaakim
Κυρ Ιούλ 04, 2021 12:16 pm
Εκθετική - Βάσανο!

Τελευταία δημοσίευση από Lymperis Karras « Τρί Ιουν 29, 2021 8:14 pm
Απαντήσεις: 2
από Lymperis Karras » Τετ Ιουν 23, 2021 9:38 am

διοφαντική

εκθετική

Να και άλλη μια που προέκυψε χθες το βράδυ μετά από συζήτηση με φίλους...

Να λυθεί στους φυσικούς η $17^{x} + 2^{y} = 19^{z}$.

2 Απαντήσεις

3224 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Lymperis Karras
Τρί Ιουν 29, 2021 8:14 pm
Δύσκολη Εκθετική?

Τελευταία δημοσίευση από Joaakim « Τρί Ιουν 22, 2021 5:48 pm
Απαντήσεις: 5
από Lymperis Karras » Τρί Ιουν 22, 2021 2:28 pm

διοφαντική

εκθετική

Να βρεθούν οι ακέραιοι $x,y,z \geq 0$ τέτοιοι ώστε $6^x + 13^y = 7^z $

5 Απαντήσεις

3190 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Joaakim
Τρί Ιουν 22, 2021 5:48 pm
Διαιρετότητες

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Σάβ Ιουν 19, 2021 11:02 am
Απαντήσεις: 1
από Lymperis Karras » Παρ Ιουν 18, 2021 6:12 pm

JBMO-SL

Βρείτε όλους τους πρώτους $(p,q,r)$ ώστε $\dfrac{p^2 + 2q}{q+r}, \dfrac{q^2+9r}{r+p}, \dfrac{r^2+3p}{p+q}$ $\in \mathbb{Z}$

1 Απαντήσεις

2947 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Σάβ Ιουν 19, 2021 11:02 am
Εκθετική με Παραγοντικό

Τελευταία δημοσίευση από llenny « Τρί Ιουν 08, 2021 10:48 pm
Απαντήσεις: 5
από Joaakim » Πέμ Ιουν 03, 2021 10:14 pm

Διοφαντική

Παραγοντικό

Να προσδιορίσετε όλες τριάδες θετικών ακεραίων $(a,b,c)$, οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση:
$7^{a}=5^{b}+c!$.

5 Απαντήσεις

3617 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από llenny
Τρί Ιουν 08, 2021 10:48 pm
Θεωρία Αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από Joaakim « Τετ Ιουν 02, 2021 11:25 am
Απαντήσεις: 5
από 2nisic » Παρ Φεβ 05, 2021 10:14 am

Θεωρία-αριθμών

Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι $\overline{xyz}$ τέτοιοι ώστε:

$\overline{xyz}=x+y+z+xy+xz+zy+xyz$

Να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι $\overline{xyzw}$ τέτοιοι ώστε:

$\overline{xyzw}=x+y+z+w+xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw$

Μπορούμε να...

5 Απαντήσεις

793 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Joaakim
Τετ Ιουν 02, 2021 11:25 am
Απλή στους Πρώτους

Τελευταία δημοσίευση από Joaakim « Τετ Μάιος 19, 2021 10:03 pm
Απαντήσεις: 2
από Joaakim » Τετ Μάιος 19, 2021 9:45 pm

Πρώτοι

Καλησπέρα σε όλους!
Μία ιδιοκατασκευή:
Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς $p,q$ που είναι τέτοιοι,
ώστε ο αριθμός $p^{q}+q^{p}$ να είναι επίσης πρώτος.

2 Απαντήσεις

3233 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Joaakim
Τετ Μάιος 19, 2021 10:03 pm
Δύσκολη Διοφαντική

Τελευταία δημοσίευση από Lymperis Karras « Πέμ Μάιος 13, 2021 7:48 am
Απαντήσεις: 3
από Joaakim » Τετ Μάιος 12, 2021 4:33 pm

Moduloarithmetic

Εκθετική

Καλησπέρα σε όλους!
Μία ιδιοκατασκευή:
Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων $(x,y,z)$, τέτοιοι ώστε:
$47^{x}=43^{y}+2^{z}$.

3 Απαντήσεις

3436 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Lymperis Karras
Πέμ Μάιος 13, 2021 7:48 am

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 137 θέματα

1
2
3
4
5
6
Επόμενη

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση