Με αφορμή αυτό , αυτό και αυτό

Για $a,b \in \mathbb{R}$ να αποδειχθεί ότι οι $a+\sqrt{b^{2}+1}$ και $b+\sqrt{a^{2}+1}$ είναι αντίστροφοι αν και μόνο αν οι $a$ και $b$ είναι αντίθετοι.

Ισεμβαδικότητα.png Από σημείο $S$ το οποίο κινείται στην προέκταση της ακτίνας $OT$ , φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα $SA , SB$ ,

τα οποία η εφαπτομένη στο $T$ τέμνει στα σημεία $P , Q$ . Για ποια θέση του $S$ είναι : $(OAB)=(OPQ)$ ;

Η τιμή της διαφοράς.png
$AM$ είναι η διάμεσος τριγώνου $ABC$ με $BC=4$ και $\displaystyle \widehat C = 120^\circ ,A\widehat MC = 45^\circ .$

Να βρείτε την αριθμητική τιμή (δεν λαμβάνονται υπ' όψιν οι μονάδες μέτρησης) της διαφοράς

$b-\tan A,$...

Άνισα γινόμενα.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , με $a>b$ , δείξτε ότι : $AB\cdot BD >AC\cdot CD $

Γεωμετρικός τόπος.png

Δίνεται τετράπλευρο ABCD . Στις προεκτάσεις των πλευρών AD και BC

λαμβάνουμε τα σημεία ${{A}_{1}}$ και ${{B}_{1}}$, ώστε να είναι $A{{A}_{1}}=B{{B}_{1}}$.

Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου τομής M των $A{{B}_{1}}$ και...

Ένας αγρότης έχει τοποθετήσεις $3$ πασσάλους $a,b,c$ στο χωράφι του και θέλει να τους προστατέψει από τους κλέφτες.

Χρησιμοποιεί ένα πρωτότυπο σύστημα συναγερμού!
Έχει, λοιπόν, βάλει ένα λαστιχένιο σχοινί με αρχή το σημείο $1$ και τέλος το σημείο...

Με αφορμή το θέμα του Ορέστη αυτό :

Παράλληλοι τόποι.png Προεκτείνουμε τις πλευρές $OA , OB$ τριγώνου $OAB$ κατά ίσα ( μεταβλητά ) τμήματα $AA1 , BB1$ .

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου $N$ του τμήματος $A1B1$ .

β) Βρείτε τον γεωμετρικό...

εικόνα_Viber_2023-03-13_22-17-50-561.jpg

Καλησπερα θα χρειαστω τα φωτα σας για την παραπανω σειρα. Να ειστε καλα!!
α. Θελει τον τυπο της ακολουθιας με ορους στην παρενθεση και β. αν συγκλινει απολυτα και απλα να εξεταστουν και τα 2.

Σε μια τάξη Λυκείου:
Οι 20 μαθητές έχουν κανένα ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 αδέρφια
Οι 18 έχουν τουλάχιστον 1 αδερφό
Οι 19 έχουν το πολύ 3 αδέρφια
Πέντε οικογένειες των μαθητών έχουν 3 ή 4 παιδιά
Το 15% των οικογενειών την μαθητών έχουν 4 τουλάχιστον παιδιά...

Σε έναν πλέγμα $n\times n$ ο Κόκης παίζει ένα παιχνίδι εναντίον του Καρλίτου και της συμμορίας του.
Σε κάθε γύρο γίνονται τα εξής, αρχικά ο Κόκης είτε μένει στο κελί που ήδη βρίσκεται είτε μετακινείται σε κάποιο από τα $4$ γειτονικά.
Έπειτα, κάθε...

Το μικρότερο.png Στο τρίγωνο $ABC$ , είναι: $AB=13 , AC=20 , BC=21$ . Από σημείο $S$ , το οποίο κινείται επί

της $AB$ , φέρουμε : $SP \parallel BC$ και $ST \perp BC$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος $PT$ .

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023, 3η φάση.
Θέματα της 1ης μέρας για την 10η τάξη. 13 Φεβρουαρίου 2023.

1. Σε ένα πίνακα $6 \times 6$ αρχικά ήταν γραμμένα μηδενικά. Με μια πράξη μπορούμε να επιλέξουμε ένα κελί και να αλλάξουμε, τον αριθμό σε...