Σύγκριση τμημάτων.png Το ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC ,(AB=AC)$ , έχει γωνία κορυφής $\hat{A} = 120^0$ και έστω $S$ το συμμετρικό του $A$ ως προς την $BC$ . Σημείο $P$ κινείται επί της $BC$ . Φέρω τμήματα $PQ \parallel CA$ και $PT \parallel BA$ . Δείξτε ότι $SQ=ST$ . ..καλησπέρα.. να δώσουμ...

Έστω τρίγωνο $ABC$ με $AB > AC$ και $M$ το μέσο της πλευράς $AC.$ Έστω, ακόμη, $D$ σημείο της πλευράς $AB,$ ώστε $DB = DC.$ Η παράλληλη στην $BC$ από το $D$ και η ευθεία $BM$ τέμνονται στο $K.$ Να δείξετε ότι $\angle KCD = \angle DAC.$ draw1.png ..καλημέρα.. 'εστω $F:CF\parallel AB,\,\,\,AF\paralle...

Ίσα τμήματα.png Τo εφαπτομενικό διάνυσμα $\vec{AS}$ μετακινήθηκε στη θέση $\vec{A'S'}$ . Δείξτε ότι η χορδή $AA'$ διχοτομεί το τμήμα $SS'$ . draw1.png ..καλησπέρα.. λίγο πριν τον άθλο! έστω $I,E$ οι τομές της $ST$ με τον κύκλο. ΄Εστω επίσης $SI=x,\,\,\,\,ET=t$. $\Delta ^{S}_{(O)}:SA^{2}=SI\cdot SE\...

Εντυπωσιακή διχοτόμος.png Από σημείο $P$ εκτός δοθέντος κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $PA , PB$ και ονομάζουμε $M$ το μέσο του $AB$ . Το τμήμα $PM$ τέμνει τον κύκλο στο $T$ . Έστω $S$ τυχόν σημείο του κύκλου . Δείξτε ότι η $ST$ είναι η διχοτόμος της $\widehat{MSP}$ ..καλησπέρα.. έστω $SP\b...

Εγγράψιμο με μέσα_ok.png Τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O$. Η εφαπτομένη του κύκλου στο $A$ τέμνει την ευθεία $BC$ στο σημείο $P$. Η ευθεία που ενώνει το $P$ με το μέσο $M$ του $AB$ τέμνει την $AC$ στο σημείο $D$. Η ευθεία που ενώνει το $P$ με το μέσο $N$ του $AC$ τέμνει την $AB...

Ισοσκελές με μέσο.png Σε τρίγωνο$ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O$ , φέρνουμε το ύψος $AD$. Έστω $M\,\,,\,\,E\,\,,\,\,Z$ τα μέσα των $OD\,\,,\,\,AC\,\,,AB$ αντίστοιχα . Δείξετε ότι : $ME = MZ$. Έχει λύσεις πολλές και εκτός φακέλου . ..καλησπέρα.. και μία εκτός φακέλου, στηριζόμενη στο 1o θεώρη...

Διχοτομική δημιουργία.png Στο παρατιθέμενο σχήμα , εξηγήστε γιατί η $AE$ διχοτομεί τη γωνία $\widehat{DAC}$ draw1.png ..καλησπέρα.. έστω $\hat{EAC}=\chi ,\,\,\,\hat{ACB}=\omega \Rightarrow \hat{AFB}=\omega +\chi$ (ως εξωτερική γωνία στο $\bigtriangleup AEC$). Επειδή όμως: $BE=AB=6\Rightarrow \hat{A...

Τριγωνομετρία με περιορισμούς.png Δίνεται κύκλος $(K, R)$ και $PA, PB$ δύο κάθετα μεταξύ τους εφαπτόμενα τμήματα. Από το μέσο $M$ του $PB$ φέρνουμε κάθετη στη $PB$ που τέμνει τον κύκλο στο πιο μακρινό του σημείο $C$. α) Υπολογίστε συναρτήσει του $R$ το μήκος του τμήματος $PC$. β) Αξιοποιώντας τα "ε...

70ara.jpg Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι $x = {70^ \circ }$. draw1.png ..καλημέρα.. με λίγο καθυστέρηση, έστω $H\in BD:\hat{HCA}=60^{\circ}$. Κατά συνέπεια έχουμε την εγγραψιμότητα του τετράπλευρου $AHCD$ αφού $\hat{HCA}=\hat{HDA}=60^{\circ}$ οπότε $\boxed{\hat{AHC}=60^{\circ}}\,(1),\,\,\,\wedge \,...

polysindos έγραψε:Αν το ύψος ,η διχοτόμος και ,υπολογίσετε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .

.. το είναι διάμεσος ??

Παιγνίδι ισεμβαδικότητας.png Σημείο $S$ κινείται επί της διαγωνίου $AC$ , τετραγώνου $ABCD$ , πλευράς $a$ . Η κάθετος προς το τμήμα $DS$ στο σημείο $S$ , τέμνει την πλευρά $AB$ στο $T$ . Για ποια θέση του $S$ , προκύπτει $(AST)=(DSC)$ draw1.png ..καλησπέρα.. ονομάζω $SC=d$ και $\hat{AST}=x$.Έστω ακ...

Πάω στη τέμνουσα.png Σε κύκλο $(O,R)$ φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $PA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PB$ πού είναι κάθετα μεταξύ τους . Από το $P$ φέρνουμε και μια τέμνουσα$\overline {PDE}$ τέτοια ώστε , το απόστημα $OM$ απ’ αυτή να είναι : $OM = \dfrac{1}{4}DE$. Έστω $K$ το σημείο τομής των ευθειών...

Isoskeles_imikiklio_tetragono.png Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ABC(AB = AC)$. Προς το μέρος του $A$ γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ και εξωτερικά του τριγώνου τετράγωνο $ACDE$. Δείξετε ότι τα σημεία : $A\,\,,\,\,E$ και το μέσο $M$ του ημικυκλίου ανήκουν στην ίδια ευθεία . Νίκος ..καλησπέρα.. αρκεί ...

Χορδομέτρηση.png Ο κύκλος $(K)$ έχει ακτίνα $3$ και ο κύκλος $(O)$ , ο οποίος διέρχεται από το $K$ , έχει ακτίνα $1$ . Η χορδή $AB$ του μεγάλου κύκλου , εφάπτεται στο αντιδιαμετρικό του $K$ σημείο $M$ του μικρού . Η εφαπτομένη του $(O)$ από το $A$ , τέμνει τον $(K)$ στο $S$ . Υπολογίστε το μήκος τη...

Τέμνονται ορθογώνια.png Σε κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ , $\widehat A = \widehat C = 135^\circ$. Δείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ACD$ είναι ορθογώνιοι . Νίκος draw1.png ..καλησπέρα.. θεωρούμε $K,O$ τα κέντρα του μεγάλου και του μικρού κύκλου. Ξεκινώντα...

Διάμεσος και διχοτόμος.png Σε σημείο $T$ της διαμέτρου $AB$ ενός ημικυκλίου , υψώνω το κάθετο τμήμα $TS$ και ονομάζω $M$ το μέσο της $SB$ . Η ευθεία $AM$ τέμνει το ημικύκλιο στο $P$ . Αν η $BM$ είναι διχοτόμος της $\widehat{ABP}$ , βρείτε πως επιλέχθηκε το σημείο $T$ . .. καλό μεσημέρι.. στο αρχικό...

Τμήμα εκ περιστροφής.png Ο κύκλος $(K,3)$ διέρχεται από το κέντρο του κύκλου $(O,2)$ , επί του οποίου κινείται σημείο $S$ , έτσι ώστε η ημιευθεία $SO$ να τέμνει το μικρό κύκλο στο $T$ και το μεγάλο στο $P$ . Καθορίστε εκείνη τη θέση του $S$ , για την οποία είναι $(TP)=3$ και υπολογίστε τότε και το ...

Απλη 15.png Σε τρίγωνο $ABC$ είναι $\widehat A = 120^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AC = 2AB$ .Αν $M$ το μέσο της $BC$ , δείξετε ότι $AM \bot AB$. Παρατήρηση : Η άσκηση έχει λύση και με ύλη Α' Λυκείου . Νίκος ..καλό απόγευμα.. με μια μετρική χωρις καμμιά βοηθητική. Έστω $AB=c,AC=2c,BC=a$. Απ...

Η αιτία του λόγου.png Το σημείο $S$ διαιρεί τη χορδή $AB$ ενός κύκλου σε λόγο $\dfrac{AS}{SB}=\dfrac{1}{4}$ Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα άκρα της χορδής τέμνονται στο $P$ Η $PS$ τέμνει τον κύκλο στο $T$ . Βρείτε το λόγο $\dfrac{AT}{TB}$ ..καλησπέρα.. απλά σαν πολύ κοντινή άποψη επισης : Επειδή $TS...

Τα εργαλεία κάνο$$υν το μάστορα_3.png Δίδεται κύκλος και χορδή του $AM$ . προεκτείνουμε την $AM$ πέραν του $M$ κατά ίσο τμήμα $MB = MA$. Η εφαπτομένη του κύκλου στο $A$ και η εφαπτομένη του κύκλου από το $B$ τέμνονται στο $P$ . Φέρνουμε τη $PM$ και τέμνει ακόμα τον κύκλο στο $T$. Αν $E$ το σημείο ε...