Μεγάλο και μικρό τετράγωνο.png Έστω το τετράγωνο $ABCD$. Προεκτείνουμε την $AB$ προς το $B$ κατά τμήμα $BE$ και σχηματίζουμε το τετράγωνο $AEZH$. Στην προς το $C$ προέκταση της διαγώνιου $AC$ θεωρούμε τυχαίο σημείο $F$ και πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα $CE$, τυχαίο σημείο $K.$ Η ευθεία $FK$ τέμνει τις ...

Ερυθρά ακεραιότης.pngΟ μικρός κύκλος ακτίνας $r=3$ , εφάπτεται εσωτερικά του μεγάλου , ακτίνας $R=4$ , σε σημείο $S$ . Για κάθε σημείο $P$ του μεγάλου , θεωρούμε σημείο $Q$ του μικρού , τέτοιο ώστε : $\widehat{PSQ}=60^0$ . Το μήκος του τμήματος $PQ$ θα πάρει και ακέραιες τιμές . Βρείτε τις αντίστοι...

Ερυθρά ακεραιότης.pngΟ μικρός κύκλος ακτίνας $r=3$ , εφάπτεται εσωτερικά του μεγάλου , ακτίνας $R=4$ , σε σημείο $S$ . Για κάθε σημείο $P$ του μεγάλου , θεωρούμε σημείο $Q$ του μικρού , τέτοιο ώστε : $\widehat{PSQ}=60^0$ . Το μήκος του τμήματος $PQ$ θα πάρει και ακέραιες τιμές . Βρείτε τις αντίστοι...

2002.png Καλημέρα. Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι $(AED)=k(ADF)$. Φέρνω τις παράλληλες από τα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ προς την $AD$ και τέμνουν τις $BF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE\,\,$ στα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$. Από το τραπέζιο $ETDA$ είναι ${E_1} = \left( {ATD} \right)$ $\lef...

Που ;.pngΠροκτείναμε τις πλευρές του ισοσκελούς ( $5-5-8$ ) τριγώνου $ABC$ , κατά τμήματα $BP=7$ και $CT=3$ . Βρείτε την θέση του $S$ στην διχοτόμο της $\widehat{A}$ , ώστε : $\phi=\theta$ . Κάπως παρόμοια . Το τετράπλευρο $ABSC$ είναι χαρταετός με διαγώνιους , $BC = 8\,,\,\,AS = 3 + k$και έστω $SB...

Ειδικός ρόμβος.pngΚατασκευάστε ρόμβο $ABCD$ - ή ( και ) βρείτε μια σχέση μεταξύ των στοιχείων του - ώστε ο κύκλος που ορίζουν οι κορυφές $A , B , D $ , να διέρχεται από τα μέσα $M , N$ των πλευρών του $BC$ και $CD$ . Έστω $2a$ η πλευρά του ρόμβου. Αν $DK$ είναι το ύψος του ισοσκελούς τραπεζίου $ABN...

Ειδικός ρόμβος.pngΚατασκευάστε ρόμβο $ABCD$ - ή ( και ) βρείτε μια σχέση μεταξύ των στοιχείων του - ώστε ο κύκλος που ορίζουν οι κορυφές $A , B , D $ , να διέρχεται από τα μέσα $M , N$ των πλευρών του $BC$ και $CD$ . Έστω λυμένο το πρόβλημα. Αν $AD = 2k \Rightarrow TM = MB = MC = k\,\,$ έστω δε $TD...

KARKAR έγραψε: ↑

Τετ Απρ 03, 2024 8:49 pm

Γωνιολογία.pngΣτο παρατιθέμενο σχήμα , υπολογίστε τον λόγο :

. Άρα

Εξαρτημένο τμήμα.pngΣτην υποτείνουσα $BC$ του τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε τμήμα : $BS=x , x<\dfrac{16}{5}$ . Η κάθετη της $AS$ στο $A$ , τέμνει την προέκταση της $BC$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το τμήμα $CT=y$ , συναρτήσει του $x$ ή βρείτε τα μήκη του $x$ , ώστε : $\dfrac{y}{x}=1$ , ή : $\dfrac{y}{x...

Προπαντός σταθερότητα.pngΣτη διάμετρο $AB$ ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο $S$ , ώστε : $AS=a , SB =b , (a>b)$ και υψώνουμε κάθετη ευθεία , εκατέρωθεν της οποίας σχεδιάζουμε ίσες γωνίες $\phi$ και $\theta$ , των οποίων οι άλλες πλευρές , τέμνουν το τόξο στα σημείο $P , Q$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι ...

Το σημείο $\mathrm{A}(2, -5)$ είναι μία κορυφή ενός τετραγώνου του οποίου η μία πλευρά βρίσκεται στην ευθεία $(\varepsilon): x-2y+7=0$. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του και οι κορυφές του. α) Το εμβαδόν καθενός από τα δύο τετράγωνα είναι ίσο με το τετράγωνο της απόστασης του $A$ από την ${g_3}:\,\,x -...

Τόπος με κόπο.pngΣημείο $N$ κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου $AOB=2r$ . Η μεσοκάθετος της διχοτόμου $ND$ του τριγώνου $NAB$ , τέμνει την $NO$ στο σημείο $S$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $S$ . Ας είναι $M$ το μέσο του ημικυκλίου , $J$ το συμμετρικό του ως προς το $O$ και $d$ η σταθερή εφαπτομένη...

Εξέχον τμήμα.pngΔιαιρέσαμε τμήμα $AB$ σε τμήματα : $AP=5$ και : $PB=3$ . Σχεδιάζουμε τα "βόρεια" ημικύκλια με διαμέτρους $AP , PB$ και θεωρούμε (πως ; ) "νότιο" σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{ASP}=\widehat{BSP}$ . Ο κύκλος $(A , S , B )$ τέμνει τα ημικύκλια στα σημεία $E , Z$ , ενώ η $EZ$ , τ...

Αποπροσανατολισμός.pngΣημείο $P$ κινείται στο τόξο του κύκλου $x^2+y^2=r^2$ , που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο . Η $SP$ τέμνει τον $Ox$ στο $T$ , ενώ η $WP$ τον $Oy$ , στο $Q$ . Δείξτε ότι : $(WNQ)=(QST)$ . Ας είναι $Z$ το σημείο τομής των $PS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NE$. Επειδή στο τετράπλε...

Δύσκολη ισότητα.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο $ABC , ( AB = AC )$ , φέρουμε την διάμεσο $BM$ και το ύψος $BE$ , τμήματα τα οποία τέμνουν την διχοτόμο $AD$ στα σημεία $S $ και $T$ αντίστοιχα . Μπορούμε άραγε να κατασκευάσουμε το τρίγωνο αυτό , με τρόπο ώστε να προκύψει : $ST=TD$ ; Δύσκολη ισότητα_ανάλυση...

Αφύσικη συνευθειακότητα.pngΣε σημείο $T$ της ακτίνας $OA$ ενός κύκλου , υψώνω το κάθετο τμήμα $TP$ . Στο "κάτω" τμήμα του εντός του κύκλου , ημικυκλίου διαμέτρου $PA$ , κινείται σημείο $Q$ . Η ευθεία $AQ$ τέμνει τον κύκλο (και) στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι το μέσο $M$ της $SP$ και τα $T , Q $ είναι ...

Διχοτόμος από σύμπτωση.pngΣτο τεταρτημόριο $O\overset{\frown}{AB}$ , το $M$ είναι το μέσο της $OB$ ενώ το $P$ είναι σημείο στην προέκταση της $OA$ , τέτοιο ώστε : $AP=2 OA$ . Σχεδιάζω το ορθογώνιο $OANM$ και την $PB$ , η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι η διαγώνιος $ON$ διχοτομεί τη...

Ισοσκελές τρίγωνο .png Δίνονται, ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ ($AB=AC$), σημείο $D$ πάνω στην πλευρά $AB$ και σημείο $E$ πάνω στην πλευρά $AC$ έτσι, ώστε $AD=CE$. (α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του $DE$ διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$. (β) Το τμήμα $DE$ διχοτομείται α...

Εάν $a > 0$, δείξτε ότι αν είναι $a - \displaystyle\frac{1}{a} = \sqrt a + \sqrt {\,\displaystyle\frac{1}{a}} $, θα είναι και $a + \displaystyle\frac{1}{a} = 3$ και $a - \displaystyle\frac{1}{a} = \sqrt 5 $. Στη συνέχεια προσδιορίστε την τιμή του $a$. Έστω $a = {x^2}\,\,,\,\,x \ne 0$ . Η δοθείσα ισ...

Πολύ μεγάλο ελάχιστο.pngΣτην προέκταση της πλευράς $AB$ , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ κινείται σημείο $S$ . Πάνω στην παράλληλη της $AB$ , η οποία άγεται από το $C$ , θεωρούμε σημείο $T$ , ώστε : $\widehat{CBS}=\widehat{CST}$ . Βρείτε συναρτήσει δύο πλευρών του τριγώνου το ελάχιστο μήκος του τμήμ...