Μικρό μέγιστο.pngΣτο - διαστάσεων $a\times b , (a>b)$ - ορθογώνιο $ABCD$ , θεωρούμε σημεία $T , P$ των πλευρών $AB , BC$ αντίστοιχα , ώστε : $AT=CP$ και ονομάζουμε $S$ την τομή των ευθειών $CA , PT$ . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου $SAT$ . $(SAT)=\dfrac{1}{2}x.(SI),(1)$ Από τα όμοια ορθογών...

Ψάχνοντας το τεσσάρι.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου $AB=6$ ενός ημικυκλίου , κινείται σημείο $S$ από το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ και έστω $M$ το μέσο του $AT$ . Για ποια θέση του $S$ , προκύπτει : $BM=4$ ; Είναι $TS^{2}=x(x+6),$ Από τα όμοια τρίγωνα $TBS,AST,\dfrac{TB}{AT}=\dfrac{x}{...

Καλησπέρα και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ $x^{4}-2x^{2}+1-(x^{2}+2\sqrt{2}x+2)=0\Leftrightarrow (x^{2}-1)^{2}-(x+\sqrt{2})^{2}=0\Leftrightarrow x^{2}+x+\sqrt{2}-1=0,(*),x^{2}-x-1-\sqrt{2}=0,(**), (**)\Rightarrow x=\dfrac{1+\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}, x=\dfrac{1-\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}< 0$ $(*),\Delta < 0$ YΓ Πολύχρονος...

Σε τρίγωνο $ABC$ με $M$ μέσο του $BC$ είναι : $\widehat {C_{}^{}} = 30^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {AMB} = 45^\circ $. Δείξετε ότι : $\widehat {BAM} = 30^\circ $. Ανάλαφρη.png Όλες οι λύσεις δεκτές , αλλά καθένας, μόνο μια . Το τρίγωνο $AKM$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και $\hat{...

2023.04.03.FB12175b mathematica.jpg Τετράγωνο πλευράς $a$ και τετράγωνο πλευράς $b$ εχουν μια κοινή κορυφή, όπως στο σχήμα. Δείξτε οτι τα τρία έγχρωμα εμβαδά είναι ίσα. Καλημέρα Σάκη Για τις γωνίες $\hat{EBD}=\omega =\hat{CBK},\hat{DBE}=\hat{CBL}=\omega -45,\hat{EBC}=90-\omega ,$ $Red=\dfrac{1}{2}a...

Λόγος σε ημιτετράγωνο.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ - το οποίο τέμνει την $BC$ - φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα $CT$ και ονομάσαμε $S$ την τομή της $BC$ με το $AT$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{ST}$ . Εστω ότι $AS=x,ST=y,AC=R,$ Στο τρίγωνο $OAC...

Αρμονικός μέσος.png Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC.$ Οι κάθετες από το $A$ στις $AC, AB$ τέμνουν την $BC$ στα $E, F$ αντίστοιχα. Να βρείτε τον αρμονικό μέσο των $BE, CF$ συναρτήσει των πλευρών $a, b, c$ του τριγώνου $ABC.$ Εστω $EB=x,CF=y,AD\perp BC,BT\perp AE,AM\perp AF$ Π.Θεώρημα στο τρίγωνο $AEC,...

Νέος μέσος.pngΣε τραπέζιο $ABCD$ με βάσεις : $AD=a , BC= b , (a>b)$ , να φέρετε τμήμα $ST$ παράλληλο προς τις βάσεις , έτσι ώστε το τμήμα $QT$ , το μεταξύ των διαγωνίων , να ισούται μα τη διαφορά των δύο βάσεων . Υπολογίστε το τμήμα αυτό και συγκρίνατέ το με τον αριθμητικό μέσο των βάσεων . Προαιρε...

Μεγάλες κατασκευές 106.pngΚατασκευάστε το σχήμα στο οποίο προεκτείνοντας την βάση $BC=a$ , του ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ , κατά τμήμα $CS=b$ , να προκύπτει : $AS=2a$ . Εστω $CE\perp AS$ Απο το εγγράψιμο τετράπλευρο $ADCE,ES.SA=CS.CS\Rightarrow 4a^{2}=2b^{2}+ab,x=\dfrac{b}{a},2x^{2}+x-4=0\Rightarrow...

Συνάρτηση μήκους.png Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ)$ με $AB=2AC=2a.$ Τυχόν σημείο $M$ κινείται στην πλευρά $AB$ και θέτω $AM=x.$ Φέρνω από το $C$ ευθεία παράλληλη στην $AB$ και θεωρώ σημείο της $T$ ώστε $C\widehat MT=45^\circ.$ α) Θεωρώντας το $a$ ως παράμετρο, να ορίσετε συνά...

Μεσολάβηση.pngΤυχούσα χορδή $AB$ ενός κύκλου $(O , r)$ , διέρχεται από το σταθερό εσωτερικό του σημείο $S $ . Η κάθετη στην χορδή στο $S$ τέμνει τον κύκλο (και) στο $T$ . Ονομάζω : $M , N , L $ τα μέσα των $OS , AT , BT$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $MN=ML$ . Υπολογίστε τα τμήματα αυτά , αν : $r=3$ κα...

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ και τα σημεία $E$ , $Z$ των πλευρών $CD,CB$ αντίστοιχα ώστε $CE=2ED$ και $BZ=2ZC$. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες $CAE$ και $CEZ$ είναι ίσες. Eστω $ED=x=ZC,$ Από το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $EZC,\dfrac{EK}{KZ}=2,EZ=x\sqrt{5},EK=\dfrac{2x\sqrt{5}}{3},AE=x\sqrt{1...

ΘΕΜΑ 3 Στη βάση ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημείο Δ , ώστε ΒΔ = 2 ΔΓ. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΓ και Ε είναι η προβολή του Δ στην ΒΜ, να αποδειχθεί ότι οι γωνίες ΑΒΓ και ΜΕΓ είναι ίσες. Το σημείο $\Theta$ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου $AB\Gamma$ και το σημείο $\Sigma$ Το ορθόκεν...

2023.03.11.FB11971 mathematica.jpg Οι διάμετροι $AB=2R, BC=2r$ δυο ημικυκλίων είναι διαδοχικά τμήματα επί ευθείας. Στο ημικύκλιο $AB$, φέρω την εφαπτόμενη $CZ$ και την εφαπτόμενη στο $A$ που τέμνονται στο $M$ Στο ημικύκλιο $BC$, φέρω την εφαπτόμενη $AE$ και την εφαπτόμενη στο $C$ που τέμνονται στο ...

ΘΕΜΑ 1 Στις κάθετες πλευρές $CA$ και $CB$ ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ επιλέγονται τα σημεία $D$ και $E$ , αντίστοιχα, έτσι ώστε $CD=CE$. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία $D$ και $C$ στην ευθεία $AE$ τέμνουν την υποτείνουσα $AB$ στα σημεία $K$ και $L$. Να δειχθεί ότ...

2022.018.FB9437 lemma 230 mathematica.jpg Στο παραλληλόγραμμο του σχήματος δείξτε ότι ισχύει : $p+q+r+s\geq4$ $AD=BC\Rightarrow x(q+1)=z(s+1)$ Θέτω $t=z(s+1)=x(q+1),AB=DC\Rightarrow y(r+1)=w(p+1)=l \Rightarrow \dfrac{r+1}{p+1}=\dfrac{w}{y},(1), \dfrac{q+1}{s+1}=\dfrac{z}{x},(2), AM//DG\Leftrightarr...

Ακτινοσκόπηση.pngΒρείτε την ακτίνα του κύκλου του παρατιθέμενου σχήματος . Για το επιπλέον ερώτημα $TL=\sqrt{31},IL=\dfrac{\sqrt{31}}{2},R=\dfrac{2\sqrt{31}}{\sqrt{15}}, OL^{2}=R^{2}-\dfrac{25}{4}\Rightarrow OL=\dfrac{11\sqrt{15}}{30}, r=\dfrac{\sqrt{15}}{2}, OI=r-\dfrac{11\sqrt{15}}{30}}\Rightarro...

Η τιμή της διαφοράς.png $AM$ είναι η διάμεσος τριγώνου $ABC$ με $BC=4$ και $\displaystyle \widehat C = 120^\circ ,A\widehat MC = 45^\circ .$ Να βρείτε την αριθμητική τιμή (δεν λαμβάνονται υπ' όψιν οι μονάδες μέτρησης) της διαφοράς $b-\tan A,$ $(\widehat A$ η γωνία του τριγώνου $ABC)$ Είναι $AK\perp...

Ισεμβαδικότητα.pngΑπό σημείο $S$ το οποίο κινείται στην προέκταση της ακτίνας $OT$ , φέρω τα εφαπτόμενα τμήματα $SA , SB$ , τα οποία η εφαπτομένη στο $T$ τέμνει στα σημεία $P , Q$ . Για ποια θέση του $S$ είναι : $(OAB)=(OPQ)$ ; Εστω $TS=x,(OAB)=(OPQ)\Leftrightarrow \dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{R}{OM},(1),...

Το μικρότερο.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , είναι: $AB=13 , AC=20 , BC=21$ . Από σημείο $S$ , το οποίο κινείται επί της $AB$ , φέρουμε : $SP \parallel BC$ και $ST \perp BC$ . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος $PT$ . Καλημέρα $AL\perp BC,ST//AL,SB=x, \dfrac{SP}{21}=\dfrac{13-x}{13}\Leftrightarrow SP...