Ταλαιπωρημένο τμήμα.pngΣημείο $A$ κινείται στον ημιάξονα $Ox$ . Η εφαπτομένη από το $A$ προς τον κύκλο : $(x-2)^2+(y-2)^2=4$ τέμνει τον $Oy$ , στο σημείο $B$ . Ονομάζω $T$ την τομή της $AK$ με τον $Oy$ και $S$ την τομή της $BK$ με τον $Ox$ . α) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του μήκους του $ST$ . β) ...

Δημιουργία καθετότητας.pngΠροεκτείνουμε τις χορδές $AB , AC$ , κύκλου $(O)$ κατά ίσα τμήματα : $BD$ και : $CE$ . Ο κύκλος $(A , D , E )$ τέμνει τον $(O)$ στο σημείο $N$ . Δείξτε ότι $NO \perp BC$ . Δημιουργίσ καθετότητας_ok.png Οι πράσινες γωνίες ίσες , οι κόκκινες γωνίες ίσες , $\vartriangle NBD =...

Ένας υφασματέμπορος αγόρασε δύο τεμάχια υφάσματος της ίδιας ποιότητας. Το πρώτο είχε μήκος $15\,m$ λιγότερο από το μήκος του δεύτερου και το πλάτος του είναι τα $\displaystyle\frac{3}{4}$ του πλάτους του δεύτερου. Από την πώλησή τους εισέπραξε $2566,8\,$ € και είχε κέρδος $20\% $ πάνω στην αξία της...

Τριλογία.pngΜε τα σημεία $T , N$ τριχοτομήσαμε την πλευρά $AC$ , του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ . Η κάθετη της $BT$ στο $T $ , τέμνει τις $BN , BC$ στα σημεία $P , S$ αντίστοιχα . Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{BS}{SC} , \dfrac{BP}{PN} , \dfrac{TP}{PS}$ . Ας είναι $D$ το σημείο τομή...

Διπλάσια με ... συνέπειες.pngΗ ευθεία $BD$ , χωρίζει τη γωνία $\hat{B}$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , σε μέρη $2\theta$ και $\theta$ . Ο κύκλος $(B , BA)$ τέμνει την $BD$ στο σημείο $S$ και η $AS$ τέμνει την $BC$ στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι : $DT \perp BC$ . ( Η άσκηση είναι κατάλληλη και για σχο...

Όσο πιο κοντά γίνεται.pngΤο σημείο $S$ κινείται στην ευθεία $y=-4$ . Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο $OST$ . Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή απόσταση του σημείου $T$ , από το σημείο $A( 0 , 4 )$ . Θεωρώ την οριακή θέση της κορυφής $S$ ότι βρίσκεται στο σημείο $\left( {0, - 4} \right)$. Τότε το $T$ θα ...

Απόσταση μέσων.png . β) Αν η γωνία $A = 60^\circ $, βρείτε θετικούς ακεραίους $k\,\,,\,\,m$ για τους οποίους και ο $x$ είναι θετικός ακέραιος . (Το ερώτημα είναι,υπάρχουν άλλα ζεύγη $(\mu, \rho)$ θετικών ακεραίων και πως προσδιορίζονται ώστε $x$ να είναι θετικός ακέραιος?) Απόσταση μέσων_Μια ακόμη....

Από σταθερό σημείο 25.pngΣτο σημείο $P$ της διαμέτρου $OA=2r$ , ενός ημικυκλίου , με $PA=x < r$ , υψώνουμε κάθετη επί της οποίας - εξωτερικά του τόξου - κινείται σημείο $S$ . Η $SA$ τέμνει το τόξο στο $B$ και η εφαπτομένη του τόξου στο $B$ , τέμνει τον $Oy$ στο σημείο $Q$ . Δείξτε ότι η ευθεία $QS$...

Δίδονται δύο άνισοι κύκλοι . Να βρεθεί , αντιστροφή που ο ένας απεικονίζεται στον άλλο στις περιπτώσεις : 1. Οι δύο κύκλοι τέμνονται και 2. Ο ένας κύκλος είναι εκτός του άλλου . Στην δεύτερη περίπτωση αν $r = 2\,\,,\,\,R = 5$ και η διάκεντρος $9$, να βρείτε την ακτίνα του κύκλου αντιστροφής Έστω δύ...

Κώστα Ευχαριστώ πολύ

Απόσταση μέσων.png α) Στο πιο πάνω σχήμα τα $k,m$ θεωρούνται γνωστά . Τα $M\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,N$, είναι μέσα των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE$. Να βρείτε το $MN = x$. β) Αν η γωνία $A = 60^\circ $, βρείτε θετικούς ακεραίους $k\,\,,\,\,m$ για τους οποίους και ο $x$ είναι θετικός ακ...

Σήμερα γιορτή του Αγίου Γρηγορίου.

Χρόνια πολλά στον Κ. Γρ. Κωστάκο

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο .png Δίνεται ορθογώνιο $OAHM$ με πλευρές $\left( {OM} \right) = \left( {AH} \right) = b$ και $\left( {OA} \right) = \left( {MH} \right) = a$, όπου $b > a$. Με κέντρο την κορυφή $O$ και ακτίνα την $OA$ κατασκευάζουμε κύκλο και στη συνέχεια φέρνουμε τις εφαπτόμενες $MT$ και ...

Δίδονται δύο άνισοι κύκλοι . Να βρεθεί , αντιστροφή που ο ένας απεικονίζεται στον άλλο στις περιπτώσεις : 1. Οι δύο κύκλοι τέμνονται και 2. Ο ένας κύκλος είναι εκτός του άλλου . Στην δεύτερη περίπτωση αν $r = 2\,\,,\,\,R = 5$ και η διάκεντρος $9$, να βρείτε την ακτίνα του κύκλου αντιστροφής Επαναφο...

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ . Σημείο $E$ της $AC$ και $D$ η προβολή του στην $AB$. Μέσα στο $\vartriangle ABC$ θεωρώ σημείο $Z$ έτσι ώστε το $\vartriangle DEZ$ να είναι ισόπλευρο , Ας είναι τώρα : $N,\,\,K,\,\,L$ οι τομές των ημιευθειών , $DE\,$, $EZ$ , $ZD$ με . Απο Βιβλίο Α λυκείου.png . Τις $CB\...

Στριφνή ομολυκλικότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $AB=6 , AC=4$ , προεκτείνουμε την $CA$ κατά τμήμα $AS$ . Η ευθεία που διέρχεται από το $S$ και το μέσο $M$ , της υποτείνουσας $BC$ , τέμνει την παράλληλη της $AB$ από το $C$ , στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το τμήμα $AS$ , ώστε τα σημεία...

Περίπλοκη σχέση.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , η $BM$ είναι διάμεσος . Δείξτε ότι η γωνία $\theta$ γίνεται μέγιστη , όταν οι γωνίες $\phi $ και $ \omega $ , γίνουν συμπληρωματικές ! Μια σκέψη Μια σκέψη.png Έχω ένα ευθύγραμμο τμήμα $AC = 2k$ σταθερό και $M$ το μέσο του $AC$. Φέρνω την κάθετη ημιευ...

Σπάνια γαία.pngΣτον κύκλο $( O , 3 )$ θεωρούμε - εκατέρωθεν του κέντρου - τις παράλληλες χορδές $AB=3,6$ και $CD=4,8$ , της οποίας το μέσο ονομάζω $M$ . Η κάθετη από το $O$ προς το τμήμα $AM$ , τέμνει την προέκταση της $AB$ στο σημείο $S$ . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος $MS$ . Νομίζω η αναλυτική...

617.png Στο παραπάνω σχήμα βρείτε το λόγο $AD/DC$. Πρώτα-πρώτα να δούμε πως γίνεται η κατασκευή του σχήματος . Επειδή από την υπόθεση η $AB$ εφάπτεται του κύκλου $\left( {P,B,C} \right)$ , αν $K$ το κέντρο αυτού του κύκλου ( αναγκαστικά στη μεσοκάθετο $AM$ της $BC$) θα είναι, $$$\boxed{4k = 3 \Righ...

Κόκκινος κύκλος.pngΣε τρίγωνο $ABC$ κατασκευάστε τον κόκκινο κύκλο , ο οποίος να εφάπτεται εσωτερικά στον μπλε περίκυκλο και στην πλευρά $BC$ του τριγώνου . Αν : $AB=7 , BC=8 , CA=9$ και ο κόκκινος κύκλος τέμνει τις πλευρές $AB , AC$ στα σημεία $S ,T$ αντίστοιχα , υπολογίστε την περίμετρο του τετρα...