Καλημέρα, χαιρετώ τους φίλους ! Μια προσπάθεια για λύση , με τα βασικά Γεωμετρικά εργαλεία. Στο αρχικό σχήμα, αν $AB=a , BC=b$ τότε $\left ( BDM \right )=\left (BDC \right )+\left ( BCM \right )-\left ( DCM \right )=ab/2 +b^2/4-ab/4 \Rightarrow \dfrac{ab+b^2}{4}=11$ ενώ $ab=24$. Αυτές μας δίνουν $t...

Θερμές ευχές για ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ με υγεία στους
Μιχάλη Λάμπρου, Μιχάλη Νάννο, Μιχάλη Τσουρακάκη και Στράτη Αντωνέα!

Καλή εβδομάδα! ΛΗΜΜΑ. Αν σε τρίγωνο $ABC$ με $AB=AC $ οι $BE,CZ$ τέμνονται στο $P $ όπου $E \in AC $ και $Z \in AB $ , τότε ισχύει: $\dfrac{\left (EAP \right )}{\left ( ZAP \right )}=\dfrac{EC}{ZB}$ Ας δούμε μια προσέγγιση με χρήση του σχήματος 6-11 Λήμμα.png Το Θ. Μενελάου : Στο τρίγωνο $ABE$ με δ...

Καλημέρα. Σ' ευχαριστώ Μιχάλη για την άμεση κάλυψη του παρόντος ! Υποβάλλω στη συνέχεια βοηθητική πρόταση , βάσει της οποίας και για .. :) .. χάρη του χρυσού αριθμού προέκυψε το παρόν θέμα. ΛΗΜΜΑ. Αν σε τρίγωνο $ABC$ με $AB=AC $ οι $BE,CZ$ τέμνονται στο $P $ όπου $E \in AC $ και $Z \in AB $ , τότε ...

Καλό βράδυ! Να ευχαριστήσω θερμά (έστω και με καθυστέρηση) τους Μιχάλη Τ. ,Γιάννη, Γιώργο, Κώστα και Μιχάλη Ν. για την ποικλία των λύσεων που μας πρόσφεραν! Καλησπέρα. Υ.Γ Γιώργο, με ενδιαφέρει περισσότερο να δω την ιδέα σου για την κατασκευή του παρόντος θέματος, όχι τη λύση (η οποία είναι απλή......

Χαιρετώ! 24-10 για τον ..γνωστό λόγο!.png Το τρίγωνο $ABC$ έχει $ AB=AC$ . Οι $BE,CZ$ τέμνονται στο $P$ όπου $E \in AC$ και $Z \in AB$ Αν $CE=m , BZ=n$ και ισχύει $ \boxed {\left ( m+n \right )\left ( ZAP \right )=m\left ( EAP \right )} $ τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος $ \dfrac{m}{n}$ Σας ευχαριστώ, ...

Καλημέρα! 20-12 Δύο ορθογώνια Μ.Ν.png Φέρω $CN \perp EZ$ ενώ οι $ZE,CD$ τέμνονται στο $H$.Το ορθογώνιο τρίγωνο $DEH$ είναι όμοιο με τα ίσα $ADH$ και $BCD$ , άρα $EH=2DE$ ενώ $DH=DC$ Στο ορθογώνιο $NHC$ τo $D$ μέσον του $HC$ και $DE \parallel NC$ , άρα $NC=2DE=EH=EN$. Επομένως το $NEC$ είναι ορθογών...

Χαιρετώ. Για το θέμα που ακολουθεί έχω λύση , αλλά και την .. :) .. προσδοκία για κομψότερη λύση απ' αυτή που βρήκα.. Θεωρούμε τον ρόμβο $ABCD$ . Οι $BM ,DN$ τέμνονται στο $E$ , όπου $M \in AD$ και $ N \in AB$ 18-10 Ίσοι λόγοι σε ρόμβο.png Να εξεταστεί αν ισχύει: $ \dfrac{\left ( ENA \right )}{\lef...

Καλημέρα! Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,\,$ (με ορθή γωνία στο A ), ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται της πλευράς $AB\,\,$ στο $P\,\,$ και της $AC\,\,$ στο $Q$. Αν $\displaystyle\frac{AP}{PB}=\displaystyle\frac{1}{2}\,\,$, να βρεθεί η αριθμητική τιμή του κλάσματος $\displaystyle\frac{AQ}{QC}$. 11-...

Καλημέρα! Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC (AB=AC)$ και έστω $S$ το μέσο του ελάσσονος τόξου $\overset\frown{BC}$ του περίκυκλού του και $M$ τυχόν σημείο της βάσης $BC.$ Επί των πλευρών $AB, AC$ θεωρούμε τα σημεία $D, E$ αντίστοιχα, ώστε $MD||AC$ και $ME||AB.$ Να δείξετε ότι $SM\bot DE.$ Προφανώς $AS...

Χαιρετώ και πάλι. Ας υποβάλω την δική μου προσέγγιση , υπό τον έλεγχό σας βεβαίως για την ορθότητα .. 10-10 ΕΜΒΑΔΟΝ ..για ΝΕΟΥΣ.png Το $Z \in AC$ ώστε $AZ=AB=20$. Τότε η $ANH$ είναι μεσοκάθετος του $BZ$ ( $N$ μέσο του $BZ$ ) . Είναι $\widehat{AHC}> \widehat{B}> 90^o$ , δηλ ο κύκλος $(M,7)$ τέμνει τ...

Καλημέρα σε όλους ! Μετασχηματισμός σε ισόπλευρο.png Πέραν όσων φαίνονται στο σχήμα τα τρίγωνα $BEC,BHC$ και $FHN$ είναι ισόπλευρα , ενώ το $G$ βαρύκεντρο του $BAC$ . Έχουμε $EH=BC\sqrt{3}$ , $HZ=AT =2AD/3$ και $HN^{2}=HZ\cdot HE=\dfrac{2AD}{3}\cdot BC\sqrt{3}$ οπότε $\left ( FHN \right )=\dfrac{HN...

Καλημέρα σε όλους!

Ανασύρω το παρόν με σκοπό βεβαίως την τακτοποίησή του.

Προτίθεμαι να δώσω , σε δυο περίπου εβδομάδες, προσωπική προσέγγιση-λύση του θέματος..

Καλό βράδυ σε όλους! Ας θεωρήσουμε $b>c$. Από τη σχέση πλευρών και διαμέσων προκύπτει $CG=l>k=BG$ . Από το δεδομένο έχουμε $b-c=l-k>0.. (1)$ 19 9 Κριτήριο ισοσκελούς.png Στα τρίγωνα $BAC, BGC$ το 2ο Θ. διαμέσων δίνει $b^{2}-c^{2}=2a\cdot MH$ και $l^{2}-k^{2}=2a\cdot MF$. Με διαίρεση κατά μέλη παίρν...

Καλημέρα. Να ευχαριστήσω θερμά και τον Μιχάλη για την ως άνω θαυμάσια λύση-προβολή! Σ' ευχαριστώ Γιώργο, να σαι καλά . :D Το μόνο λάθος σου ήταν ότι μας προϊδεάζει η άσκηση μέσω του τίτλου της ότι η γωνιά είναι $\pi/6$ . ;) Ενίοτε τα "λάθη" γίνονται .. επί τούτου.. Το παρόν θέμα τέθηκε με σκοπό την...

Καλημέρα σε όλους! Προσπάθεια για μια γενίκευση 12-9 πρακτική καθετότητα ..γενίκευση.png Το $ABCD$ είναι ορθογώνιο όπου $E \in AB$ και $S \in AC$. Ας είναι $\dfrac{AD}{AB}=k$ , $\dfrac{AE}{AB}=l$ και $\dfrac{AS}{SC}=m$. Να εξεταστεί αν ισχύει : $DS \perp SE \Leftrightarrow m=\dfrac{k^{2}+l}{1-l}$ Σ...

Καλησπέρα. Σ΄ευχαριστώ Κώστα για την άμεση λύση! Μόλις βγήκε στο .. :) .. κλαρί , και την γάζωσες με πολυβόλο!! :coolspeak: Όντως η λύση είναι και γίνεται πιο απλή , χωρίς ριζικά και με λιγότερες πράξεις.. Ας δούνε το θέμα και άλλοι φίλοι και θα τα πούμε.. Ως θεματοθέτης δεν πρέπει να βιαστώ να γρά...