Στο βιβλίο του Cauchy, Cours d'Analyse, υπάρχει το παρακάτω Θεώρημα. Θεώρημα Αν $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} (f(x+1)-f(x))=L}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=L}$. Η απόδειξη του Cauchy δεν είμαι σίγουρος ότι είναι απόλυτα σωστή με τη μορφή που έχει ο Απειροστικός Λογι...

Καλημέρα. Για το πρώτο ερώτημα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ακολουθίες $x_n=e^n+\frac{1}{n}$ και $y_n=e^n$. Έχουμε άμεσα ότι $x_n-y_n \to 0$ ενώ $\displaystyle{x_n\ln x_n-y_n \ln y_n=\Big(e^n+\frac{1}{n}\Big) \ln \Big(e^n+\frac{1}{n}\Big)-e^n \ln e^n=}$ $\displaystyle{=e^n \Big(\ln \Big(e^n+\fra...

Δημήτρη ωραία λύση. Η δική μου είναι διαφορετική: Θέτουμε $\displaystyle{b_n=1-\frac{a_{n+1}}{a_n}}$ οπότε $0<b_n<1$ και $\displaystyle{a_{n+1}=a_1(1-b_1)\cdot ...\cdot (1-b_n) \to 0}$. Συνεπώς η σειρά θετικών όρων $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \frac{1}{1-b_n}}$ αποκλίνει. Θέλουμε να δείξο...

Από κάπου έχω πάρει το παρακάτω πρόβλημα αλλά δεν θυμάμαι από που. Ίσως το έχουμε ξαναδεί ή είναι από διαγωνισμό.

Έστω φθίνουσα ακολουθία με . Να δειχθεί ότι η σειρά αποκλίνει.

Πολύ ωραία, σας ευχαριστώ και τους δύο. Και εμένα από κάτι άλλο μου προέκυψε

Αλέξανδρε το ότι αρκεί να την δείξεις μόνο για είναι ωραία παρατήρηση, μου ξέφυγε!

Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει

Καλημέρα! Γίνεται! Ένα παράδειγμα με $a=0$ $\displaystyle{f(x) = \begin{cases} x,~~ x <0 \\ 1-x,~~ 0< x \leq 1 \\ 3-x,~~ 1< x \leq 2 \\ ...\\ 2n+1-x,~~ n< x \leq n+1\\ ...\\ \end{cases}}$ Η εικόνα στην συγκεκριμένη περίπτωση έχει πιο πολύ νόημα από τον τύπο της συνάρτησης.

Το ερώτημα που θέτω είναι το εξής: Υπάρχει συνάρτηση με αυτές τις ιδιότητες; Ισχυρίζομαι ότι αυτό δεν συμβαίνει. Ανδρέας Πούλος ...Καλησπέρα σου Ανδρέα... αν δεν έχω κανει λάθος στις πράξεις υπάρχουν άπειρες... της μορφής $f(x)=\frac{c({{e}^{x}}-{{e}^{1-x}})}{2},\,\,\,c\in {{R}^{*}}$... Φιλικά και ...

Δηλαδή $\displaystyle{ \max_{x\in [a,b]}{|f'(x)|} \geqslant \frac{4}{(a-b)^2} \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x}$ Άσκηση: Δείξτε ότι αυτή η σταθερά είναι βέλτιστη. Για ευκολία θα υποθέσω ότι $a=-1,b=1$. Μπορούμε να αναχθούμε σε αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό $y=\frac{b-a}{2}x+\f...

Καλημέρα.

Κάποιο πρόβλημα υπάρχει με την ανισότητα διότι η συνάρτηση έχει αλλά η ανισότητα γράφεται

η οποία δεν ισχύει για κάθε .

Μια λύση. Έστω $\displaystyle{M=\max_{x\in [a,b]}|f'(x)|}$. Έχουμε $\displaystyle{\int_a^b |f(x)| \, \mathrm{d}x =\int_a^b \Big|\int_a^x f'(t) \, \mathrm{d}t\Big| \, \mathrm{d}x \leq \int_a^b \int_a^x |f'(t)| \, \mathrm{d}t \, \mathrm{d}x \leq}$ $\displaystyle{M\int_a^b \int_a^x 1 \, \mathrm{d}t \, ...

Γειά σου Θανάση! Έστω $\displaystyle{A=\frac{1}{\sqrt[n]{x_1\cdot...\cdot x_n}}}$. Θα χρησιμοποιήσουμε τρεις φορές την ανισότητα Αριθμητικού-Γεωμετρικού Μέσου. Η σχέση δίνει $\displaystyle{\frac{1}{n}=x_1^2+...+x_n^2 \geq n \sqrt[n]{x_1^2\cdot...\cdot x_n^2}=\frac{n}{A^2}}$ και συνεπώς $A \geq n$. Τ...

Καλησπέρα. Επαγωγικά, είναι απλό ότι η ακολουθία $(u_n)$ έχει θετικούς όρους και είναι αύξουσα. Συνεπώς συγκλίνει αν και μόνο αν είναι φραγμένη άνω. Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε ότι $\displaystyle{u_{n+1}=u_0+\frac{a_0}{u_0}+\frac{a_1}{u_1}+...+\frac{a_n}{u_n}}$ Αν $u_n \leq M$ για κάθε $n \in \m...

Στην αρχή νόμιζα ότι το $18$ δεν είναι η σωστή απάντηση επειδή οι γυάλες μοιάζουν με ψαράκια και άρα είναι $24$ τα ψαράκια!! :lol: :P Για το σοβαρό θέμα τώρα, θα έλεγα ότι ο δάσκαλος έχει κάποια λογική στο να ''προτιμάει'' την απάντηση $6$ επί $3$, αλλά προφανώς αν θεωρεί ότι η απάντηση $3$ επί $6$ ...

Ένας ακόμα λόγος είναι ότι για $x=1$ οι τρεις παραβολές παίρνουν την τιμή $a+b+c$ αλλά από το σχήμα, οι γραφικές τους παραστάσεις δεν συμφωνούν και οι τρεις στο $x=1$. Άλλος λόγος: Παρατηρούμε ότι η μπλε παραβολή έχει το μεγαλύτερο άνοιγμα, το οποίο δίνεται από το συντελεστή του $x^2$, και το υψηλότ...

Ένα πρώτο ουσιαστικό βήμα για να απαντάς περισσότερα ερωτήματα μόνη σου, είναι να μάθεις να απομονώνεις τα περιττά στοιχεία. Για πάράδειγμα, αντί για την ερώτηση σου απάντησε στην εξής: $\displaystyle{5e^t=7}$ Πώς μπορούμε να δείξουμε ότι η παραπάνω σχέση δεν ισχύει για κάθε $t$; Η ερώτηση αυτή μπορ...

Καλημέρα. Μήπως η υπόθεση είναι διαφορετική? Δεν υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1}$ διότι ένας απο τους $a,b,c$ είναι ο μέγιστος αυτών και το κλάσμα στο οποίο είναι αριθμητής είναι μεγαλύτερο του $1$. Στην πραγματικότητα η ανισότητα Αριθμητ...

Κάποιος παρακοιμήθηκε λεπτά.

Υπάρχει καμιά επιτυχημένη προσπάθεια?

Γειά σου Δημήτρη.

Με επιχείρημα παρόμοιο με το δικό σου εδώ εδώ, μπορούμε να δείξουμε το ζητούμενο για άπειρους δείκτες και για περισσότερες από τρεις ακολουθίες.

Υπάρχει τρόπος χωρίς το Θεώρημα Ramsey?