Καλημέρα Δημήτρη , Φωτεινή και :logo: Ας συνεχίσω με λίγο γεωμετρία Θα δείξω ότι η γωνία σου είναι $\displaystyle{ \hat x = 30^0 }$ γιατί δεν μπορεί να είναι κάτι άλλο!!! Αντιλαμβάνεστε ότι η δουλειά θα γίνει με άτοπο. (και το άτοπο όμως για να «στηθεί» έχει το δικό του «ψωμί» Έστω $\displaystyle{ ...

Με το σκεπτικό της μετατροπής κυρτού τετραπλεύρου σε ισοδύναμο τρίγωνο ας δώσω κάτι διαφορετικό στο θέμα με τις τόσες λύσεις Θεωρούμε την $\displaystyle{ Ex//BD }$ και έστω $\displaystyle{ K \equiv Ex \cap AC }$ και έστω $\displaystyle{ S^',K^',D^' }$ οι ορθές προβολές των $\displaystyle{ S,K,D }$ ...

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ και στις πλευρές του $\displaystyle{ BC,CA,AB }$ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία $\displaystyle{ D,E,Z }$ ώστε $\displaystyle{ \frac{{DB}} {{DC}} = \lambda ,\;\frac{{EC}} {{EA}} = \mu ,\;\frac{{ZA}} {{ZB}} = \nu }$. Αν $\displaystyle{ A^' \equiv BC...

Θανάση καλημέρα Είπα για να πάω για καφέ να μην μπλέξω με διανύσματα ή με συντεταγμένες και να το κάνω αμιγώς γεωμετρικά (Υποθέτω το επιτρέπεις :D ) Στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABN }$ με διατέμνουσα την $\displaystyle{ CSM }$ από το θεώρημα του Μενελάου θα είναι: $\displaystyle{ \frac{...

Δημήτρη καλημέρα!!! Όμορφο θέμα: Έχει όμορφες "στροφούλες" Έστω $\displaystyle{ \hat \omega = \widehat{ACB} }$ τότε θα ισχύει: $\displaystyle{ 45^0 = \widehat{ADB}\mathop = \limits^{\left( * \right)} \widehat{DAC} + \widehat{ACB}\mathop \Rightarrow \limits^{\widehat{DAC} = x,\widehat{ACB} = \omega ...

Χρησιμοποιώ το σχήμα του Γιώργου Ας «αρπάξουμε» τους κύκλους και ας τους ζητήσουμε τα στοιχεία τους. Είναι: $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \left( {C_1 } \right):x^2 + y^2 = 4 \to \left\{ \begin{gathered} \boxed{K_1 = \left( {0,0} \right)} \\ \boxed{\rho _1 = 2} \\ \end{gathered} \right. \...

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle MAB\left( {\widehat{AMB} = 90^0 } \right) }$ (εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο) είναι $\displaystyle{ \left( {MA} \right)^2 + \left( {MB} \right)^2 = \left( {AB} \right)^2 \mathop \Rightarrow \limits^{\alpha ^2 + \beta ^2 =...

Επειδή $\displaystyle{ AB \bot CD }$ προφανώς $\displaystyle{ AB }$ είναι μεσοκάθετη (ως διάμετρος κύκλου) της χορδής $\displaystyle{ CD\mathop \Rightarrow \limits^{N,A \in AB} \left\{ \begin{gathered} AC = AD \\ CN = CD \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \tau o\xi AC = ...

Μιχάλη καλή σου μέρα Έστω $\displaystyle{ BD }$ η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{ \widehat{ABC} = 2x\widehatx \Rightarrow \widehat{DBA} = \widehat{ACB} = \widehatx\mathop \Rightarrow \limits^{\hat A = \hat A} \vartriangle ADB \sim \vartriangle ABC \Rightarrow \frac{{AD}} {{AB}} = \frac{{AB}} {...

Καλημέρα Δημήτρη Μιας και από ότι βλέπω ψάχνεις (και πολύ καλά κάνεις) γεωμετρικές λύσεις ας δούμε μία (αναλυτικά) Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABD }$. Επειδή ισχύει $\displaystyle{ \widehat{ABD} = \widehat{DAC} = \hat x }$ και $\displaystyle{ AD }$ εί...

Καλησπέρα Κώστα Μιας και τα πήρα από την αρχή εργολαβία είπα να μη δώσω τη δουλειά σε άλλον. Το χειρότερό μου είναι ότι έχω την ασθένεια να γράφω αναλυτικά τη λύση (για να μπορεί όσο και δύσκολη να είναι να διαβαστεί και από μαθητές). Όπως το έχεις ήδη αντιληφθεί αναμένεται μεγάλη μάχη :starwars: μ...

Για να το δούμε λίγο διαφορετικά από τη Φωτεινή (Φωτεινή καλησπέρα) :D Έστω $\displaystyle{ M\left( {a,b} \right),a > 0,b > 0 }$ ένα σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου και $\displaystyle{ K \equiv AM \cap Oy }$ και έστω $\displaystyle{ K\left( {0,c} \right),c > 0 }$ τότε επειδή $\displaystyle{...

Νομίζω ότι αξίζει τον κόπο να βρούμε ένα πιο γενικό (γεωμετρικό τύπο) που να δίνει το συνημίτονο της οξείας γωνίας των εφαπτομένων δύο τεμνομένων κύκλων. Δίνονται οι κύκλοι $\displaystyle{ \left( {K,r} \right),\left( {O,R} \right) }$ με $\displaystyle{ OK = \boxed{\left| {R - r} \right| < d < r + R...

Φίλε μου Κώστα καλή σου μέρα. ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΗ η γενίκευση του θέματος που κάνεις Έχουμε δείξει εδώ http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=15925 ότι: $\displaystyle{ \boxed{\left( {AMN} \right) = \frac{{\left( {BCEZ} \right)}} {4}}:\left( 1 \right) }$ Τώρα έχουμε: $\displaystyle{ \left( {DBFM...

1) Έστω $\displaystyle{ \left\{ {D,E} \right\} = BC \cap \left( {O,r} \right) \Rightarrow \boxed{BD = DE = EC = \frac{a} {3}}:\left( 1 \right) }$. Προφανώς τα $\displaystyle{ K,L }$ είναι τα μέσα των πλευρών (χορδών του κύκλου $\displaystyle{ \left( {O,R} \right) }$ ) $\displaystyle{ AB,AC }$ αφού ...

Φίλε erxmer καλημέρα!!!. Μιας και όπως είδα έφυγαν τα αποτελέσματα ας δώσω μια πρωινή ΕΛΛΗΝΙΚΗ (αναλυτικότατη) λύση για να δούμε ... Για να το γενικεύσουμε το θέμα του φίλου erxmer. Θεωρούμε τους ομόκεντρους κύκλους $\displaystyle{ \left( {O,\rho } \right) }$ και $\displaystyle{ \left( {O,R} \right...

Έστω το οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ και $\displaystyle{ AH,AD,AM }$ είναι αντίστοιχα τα $\displaystyle{ \upsilon _\alpha ,\delta _\alpha ,\mu _\alpha }$. Έστω επίσης $\displaystyle{ D^' \equiv AD \cap \left( O \right),A^' \equiv AO \cap \left( O \right) }$. Επειδή $\display...

Έστω $\displaystyle{ M }$ το μέσο του $\displaystyle{ AB }$ τότε :$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KA} = 2\overrightarrow {KM} \\ \overrightarrow {KB} - \overrightarrow {KA} = \overrightarrow {AB} \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{g...

Έστω $\displaystyle{ S }$ το σημείο επαφής και $\displaystyle{ S' }$ το αντιδιαμετρικό του ως προς τον κύκλο $\displaystyle{ \left( K \right) }$. Αν $\displaystyle{ N \equiv SM \cap \left( K \right) }$ επειδή $\displaystyle{ \widehat{KMS} = 90^0 \Rightarrow KM \bot SN }$ και εφόσον η $\displaystyle...

Επειδή $\displaystyle{ \widehat{ABC} = 90^0 \Rightarrow AC = 2R }$ (διάμετρος). Είναι δεδομένο ότι $\displaystyle{ \frac{{AB}} {{BC}} = 0,75 = \frac{3} {4} \Rightarrow \boxed{\frac{{BC}} {{AB}} = \frac{4} {3}}:\left( 1 \right) }$. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ \var...