Η αναζήτηση βρήκε 8421 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τετ Οκτ 18, 2023 9:58 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος κλασμάτων.
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 723
Re: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος κλασμάτων.
Θα δείξουμε ότι η ελάχιστη τιμή είναι $3/4$ που λαμβάνεται όταν $a=b=c=1$. Μπορούμε να βρούμε $x,y,z > 0$ ώστε $a=x/y, b = y/z, c = z/x$. Τότε $\displaystyle \frac{1}{a^4(b+1)(c+1)} = \frac{y^4z}{x^3(y+z)(z+x)} = \frac{y^4z/x^2 + y^5z/x^3}{(x+y)(y+z)(z+x)}$ Αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle \sum ...
- Τρί Οκτ 17, 2023 9:38 am
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Οι τρεις πρώτοι
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 566
Re: Οι τρεις πρώτοι
Ψάχνουμε δηλαδή τρεις πρώτους οι οποίοι να βρίσκονται σε αριθμητική πρόοδο. Οι Green και Tao απέδειξαν ότι υπάρχουν άπειρες τέτοιες τριάδες. Έχουν μάλιστα βρει ασυμπτοτικά και πόσες τέτοιες τριάδες υπάρχουν. Αν γράψουμε $a_N$ για το πλήθος αυτών των τριάδων όπου όλοι οι πρώτοι είναι μικρότεροι ή ίσο...
- Δευ Οκτ 16, 2023 2:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Είναι άπειροι;
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1106
Re: Είναι άπειροι;
Έστω $p$ πρώτος της μορφής $8k+3$. Υπάρχουν άπειροι τέτοιο πρώτοι. Παίρνουμε $a = 2k+1$ και $b = 6k+2 = p-a$. Αρκεί να δείξουμε ότι $a^b + b^a \equiv 0 \bmod p$. Έχουμε $\displaystyle a^b + b^a \equiv (2k+1)^{6k+2} + (-(2k+1))^{2k+1} \equiv (2k+1)^{2k+1}((2k+1)^{4k+1}-1) \bmod p$ Αρκεί λοιπόν να δεί...
- Δευ Οκτ 16, 2023 11:58 am
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Παιχνίδι σε πλέγμα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1120
Re: Παιχνίδι σε πλέγμα
Έχεις απόλυτο δίκαιο Πρόδρομε. Το διόρθωσα.
- Τρί Οκτ 10, 2023 2:08 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- Θέμα: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει
- Απαντήσεις: 49
- Προβολές: 6590
Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει
2α) Για παίρνουμε ενώ για παίρνουμε , άτοπο.
2β) Για παίρνουμε ενώ για παίρνουμε , άτοπο.
2β) Για παίρνουμε ενώ για παίρνουμε , άτοπο.
- Τρί Οκτ 10, 2023 1:54 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Βατράχια γύρω από μια λίμνη
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 421
Re: Βατράχια γύρω από μια λίμνη
Περίπτωση 1: Ο βάτραχος δεν πάει ποτέ σε απέναντι σπίτι. Τότε υπάρχουν δύο διαδρομές. Οι $0 \to 1 \to 2 \to \cdots \to 9 \to 0$ και η αντίστροφη. Περίπτωση 2: Ο βάτραχος πάει κάποτε σε απέναντι σπίτι. Τότε θα υπάρχουν δυο διπλανά σπίτια που δεν θα πάει από το ένα στο άλλο. Έστω χωρίς βλάβη της γενικ...
- Τετ Σεπ 27, 2023 1:32 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- Θέμα: Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1004
Re: Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση
Έστω $x^2+x+1 = b$. Τότε $x = ab$ και άρα $x^2-x+1 = b-2ab = b(1-2a)$ το οποίο και θα χρειαστούμε αργότερα. Έχουμε λοιπόν $\displaystyle \displaystyle{\frac{x^2}{x^4+x^2+1} = \frac{x^2(x^2-1)}{x^6-1} = \frac{x^2(x-1)(x+1)}{(x^3-1)(x^3+1)} = \frac{x^2}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)} = \frac{a^2b^2}{b^2(1-2a)} =...
- Τετ Σεπ 27, 2023 1:18 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 (6η τάξη)
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 401
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 (6η τάξη)
4. Σε κύκλο είναι τοποθετημένα $100$ ποτήρια, το καθένα περιέχει νερό ή χυμό λεύκας. Είναι γνωστό, ότι δεν υπάρχουν τρία ποτήρια στην σειρά με το ίδιο περιεχόμενο. Με μια δοκιμή επιτρέπεται να πιούμε από οποιοδήποτε ποτήρι και να καταλάβουμε, τι είναι το περιεχόμενό του. Μπορούμε άραγε με $75$ δοκι...
- Τετ Σεπ 27, 2023 9:32 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 (8η τάξη)
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 405
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 (8η τάξη)
3. Σε κύκλο είναι τοποθετημένα $300$ ποτήρια, μερικά από αυτά περιέχουν νερό, και τα υπόλοιπα χυμό λεύκας, εξάλλου δεν υπάρχουν τρία ποτήρια στην σειρά με το ίδιο υγρό. Με μια κίνηση επιτρέπεται να πιούμε από ένα ποτήρι. Μπορούμε άραγε με $200$ δοκιμές εγγυημένα να προσδιορίσουμε το περιεχόμενο όλω...
- Τρί Σεπ 26, 2023 6:48 pm
- Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
- Θέμα: Τι; Δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ.; Αν είναι δυνατόν!
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 826
Re: Τι; Δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ.; Αν είναι δυνατόν!
Αλλιώς για το (β). Η συνάρτηση είναι η ίδια με του Ορέστη αλλά τροποποιημένη ώστε να ορίζεται και να είναι συνεχής παντού. Αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση $f'(x)$ έχει ολικό (άρα και τοπικό) ακρότατο στο $\xi$. Αν δεν ισχύει αυτό, τότε μπορούμε να βρούμε $a,b$ ώστε $f'(a) > f'(\xi) > f'(b)$. Ορίζω...
- Παρ Σεπ 15, 2023 7:08 pm
- Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
- Θέμα: Κατανομές που δεν υπακούν στο ΚΟΘ
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 724
- Πέμ Σεπ 14, 2023 6:59 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Διοφαντική με 5 αγνώστους
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 429
Re: Διοφαντική με 5 αγνώστους
Το αριστερό μέλος είναι πολλαπλάσιο του $7$ αφού $29 \equiv 8 \equiv 1 \bmod 7$. Τα τέλεια τετράγωνα modulo $7$ είναι τα $0,1,2,4$. Οπότε για να είναι και το δεξί μέλος πολλαπλάσιο του $7$ πρέπει να έχουμε $\displaystyle 2^a + 3^b + 4^c \equiv 7^a + 5^b + 2^c \equiv 0 \bmod 7$ Τότε $2^c \equiv -5^b ...
- Πέμ Σεπ 14, 2023 6:28 pm
- Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
- Θέμα: Κατανομές που δεν υπακούν στο ΚΟΘ
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 724
Re: Κατανομές που δεν υπακούν στο ΚΟΘ
Ίσως η φράση «δεν υπακούν» να μην είναι η καταλληλότερη. Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα έχει ως προϋπόθεση να έχουμε ανεξάρτητες τυχαίας μεταβλητές που ακολουθούν την ίδια κατανομή με πεπερασμένη αναμενόμενη τιμή και διακύμανση. Αν χαλάσει κάποια από αυτές τις προϋποθέσεις τότε δεν μπορούμε να εφαρμόσου...
- Πέμ Σεπ 14, 2023 10:54 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 596
Re: Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3
Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά. Η απόδειξη γενικεύεται για να δείξει και το πιο γενικό αποτέλεσμα του Κώστα. $\displaystyle \begin{aligned} 2^n + 3^m \equiv 0 \bmod 5 &\iff 2^n \equiv -3^m \bmod 5 \\ &\iff 2^n \equiv -(-2)^m \bmod 5 \\ &\iff 2^{m+n} \equiv -(-4)^m \bmod 5 \\ & \iff 2^{m+n} \equiv ...
- Πέμ Σεπ 14, 2023 10:47 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 596
Re: Άρθοισμα δυνάμεων του 2 και του 3
Οι δυνάμεις του $2$ modulo $5$ ξεκινάνε με $2,4,3,1$ και επαναλαμβάνονται περιοδικά. Οι δυνάμεις του $3$ modulo $5$ ξεκινάνε με $3,4,2,1$ και επαναλαμβάνονται περιοδικά. Αφού το $5$ διαιρεί το $2^m + 3^n$ τότε: Αν $m \equiv 1 \bmod 4$, τότε $n \equiv 1 \bmod 4$. Τότε και ο $2^n + 3^m$ θα είναι πολλα...
- Πέμ Σεπ 14, 2023 10:22 am
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Παιχνίδι σε πλέγμα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1120
Re: Παιχνίδι σε πλέγμα
Με 1 άτομο κερδίζει ο Κόκης αλλιώς κερδίζει ο Καρλίτος. Αν υπάρχει μόνο ένα μέλος να κυνηγάει τον Κόκη απλά ο Κόκης σε κάθε κίνηση του επιλέγει να βρίσκεται σε διαφορετική γραμμή και διαφορετική στήλη από αυτό το μέλος. Άρα ποτέ δεν θα καταφέρει αυτό το μέλος να πιάσει τον Κόκη. Επεξεργασία: Το υπογ...
- Τετ Σεπ 13, 2023 5:45 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ιαπωνική ανισότητα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 492
Re: Ιαπωνική ανισότητα
Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \int_{-1}^{0} \frac{1+b^{|x|}}{1+a^x} \,\mathrm{d}x = \int_{-1}^{0} \frac{1+b^{-x}}{1+a^x} \,\mathrm{d}x = -\int_{1}^{0} \frac{1+b^{x}}{1+a^{-x}} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} a^x \cdot \frac{1+b^{x}}{1+a^x} \,\mathrm{d}x $ Άρα $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1+b^{|x...
- Τετ Σεπ 13, 2023 5:04 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Πέντε αριθμοί, δέκα αθροίσματα, τρεις απαντήσεις
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 431
Re: Πέντε αριθμοί, δέκα αθροίσματα, τρεις απαντήσεις
Αν όλοι ήταν διαφορετικοί μεταξύ τους, έστω οι $a < b < c < d < e$ τότε τα $a+b,a+c,a+d,a+e$ είναι τέσσερα διαφορετικά αθροίσματα, άτοπο. Άρα ένας αριθμός, έστω ο $x$ εμφανίζεται τουλάχιστον δύο φορές. Τότε θα έχουμε το άθροισμα $2x$ και επειδή $x$ φυσικός, πρέπει $x=35$. Κάθε άλλος αριθμός που εμφα...
- Τρί Σεπ 12, 2023 11:49 am
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Αθροίσματα ανά δύο σύνθετοι αριθμοί: Γενίκευση
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 552
Re: Αθροίσματα ανά δύο σύνθετοι αριθμοί: Γενίκευση
Ενδιαφέρον. Έχω λύση με Θεώρημα Bertrand (βλέπε εδώ ). Αυτό έχεις κατά νου, ή έχεις στοιχειώδη λύση; Το ρωτάω, λόγω φακέλου. Δεν «μπορούμε» να έχουμε λύση χωρίς Bertrand. Αν πάρουμε το υποσύνολο $\{n,n+1,\ldots,2n\}$ με $n+1$ στοιχεία, για να δείξουμε ότι δεν μας κάνει, πρέπει να δείξουμε ότι τουλά...
- Δευ Σεπ 11, 2023 9:14 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: μικρότερος και μεγαλύτερος διαιρέτης
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 459
Re: μικρότερος και μεγαλύτερος διαιρέτης
Ο μικρότερος που μένει, είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του $N$, έστω ο $p$. Ο μεγαλύτερος που μένει θα είναι ο $N/p$. Έχουμε $ N/p = 35p $, άρα $N = 35p^2$. Τότε $5|N$ και άρα $p=2,3,5$. Αυτό δίνει τις τιμές $N = 140, 315, 875$ οι οποίες είναι όλες αποδεκτές. (Οι μικρότεροι και μεγαλύτεροι αριθ...