Μου είχε δημιουργηθεί και εμένα η ίδια απορία πριν λίγες μέρες προσπαθώντας να λύσω μια συναρτησιακή εξίσωση :? Άλλη μία, δεν έχω απάντηση. Γίνεται μια συνεχής συνάρτηση $f$ να έχει περιόδους $A,B\not\equiv 0$ ώστε να μην υπάρχουν $K,L\in \mathbb{N}$ ώστε $A=KB,LA=B$ και αν πάρουμε οποιοδήποτε υποδι...

Επαναφορά, αν δεν δημοσιευθεί λύση σε λίγες μέρες θα την ανεβάσω εγώ το
δεν χρειάζεται (ολά χρειάζεται ότι είναι θετικοί)

$ED\cap BC\equiv P$ $\widehat{CAS}=\widehat{DES}=\widehat{SBC}$ άρα $ESPB$ εγγράψιμο δηλαδή $\widehat{SPB}=90^{\circ}$ Προφανώς τώρα $MPSN$ εγγράψιμο και έχουμε $\widehat{ESD}=\widehat{CAB}=\widehat{BSC}$ ΚΑΙ $\widehat{DES}=\widehat{DAS}=\widehat{CBS}$ άρα $ESD,BSC$ (i) όμοια τρίγωνα. $\widehat{NSM}...

.

$MS\cap AD\equiv E$ το οποίο είναι μέσο του $AD$ και $SM$. k μέσο $BC$ τότε το $ENKL$ είναι πλάγιο παραλληλόγραμμο αφού $EN,LK$ ΕΊΝΑΙ ίσες και παράλληλες με το μισό της AC. Επιπροσθέτως έχουμε E,M,K συνευθειακά. $(MDSP)=(MDS)+(PSM)=\frac{(PSMB)+(MASD)}{2}=$ $=(SBM)+(MAD)=2(MED)+2(BME)=2(BMDE)$ $2(BE...

Δεν την έχω κοιτάξει ακόμα αλλά το geogebra μου βγάζει πως ισχύει οπότε δεν είμαι σίγουρος για το αν είναι στο σωστο επίπεδο. Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και ο εγγεγραμμένος του κύκλος τέμνει τις $BC,AC,AB$ στα $D,E,Z$ αντίστοιχα. $(O)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABC. Οι εφαπτομένες του $(O)$ στα σημεία...

διαγραφή λανθασμένης απάντησης

Γεια τους θετικούς $x,y,z$ δείξτε ότι $11\sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq 6(2\sum x-\sum \dfrac{3x^{2}+4x-y-z}{y+z+1})^{3}+(\sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}})^{6}$ Τα $\sum$ : $\sum \dfrac{x^{6}}{yz}=\dfrac{x^{6}}{yz}+\dfrac{y^{6}}{zx}+\dfrac{z^{6}}{xy}$ $\sum x=x+y+z$ $\sum \dfrac{3x^{2}+4x-y-z}{y+z+1}=\dfrac...

Πρόβλημα 2. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma$ κέντρου $Ο$. Έστω $I$ το έκκεντρο του $ABC$ και $D, E, F$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ με τις $BC, AC, AB$, αντίστοιχα. Αν $S$ είναι το ίχνος της κάθετης από το σημείο $D$ προς την ευθεία $EF$, να αποδ...

G5. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB<AC<BC$ και έστω $D$ σημείο στην προέκταση του $BC$ από τη μεριά του $C$. Ο κύκλος $c_1$ με κέντρο το $A$ και ακτίνα $AD$ τέμνει τις ευθείας $AC,AB$ και $CB$ στα $E,F$ και $G$ αντίστοιχα. Ο περιγεγραμμένος κύκλος $c_2$ του τριγώνου $AFG$ τέμνει ξανά τις ευθείας...

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:Z^{+} \rightarrow Z^{+}$ ,ώστε $xf(x)+f(y)|yf(x)^2+f(y)^2$ για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων $(x,y)$. Έχει λάθος Θα δημιουργήσουμε διαφορά τετραγώνων ώστε να εμφανιστεί το "κάτω" μέλος. Θέτω όπου y το $g(x)-x^{2}$ με g(x) τέτοιο ώστε να επαληθεύει τους περιοριμούς (...

Πολωνέζικη πεταλούδα.png Στο εσωτερικό εγγεγραμμένου τετραπλεύρου $ABCD$ υπάρχει σημείο $S$ ώστε $\displaystyle A\widehat SD = B\widehat SC$ και $\displaystyle A\widehat DS = C\widehat BS.$ Αν η διχοτόμος της γωνίας $A\widehat SB$ τέμνει τον κύκλο στα $P, Q,$ να δείξετε ότι $SP=SQ.$ Θα το γράψω λύγ...

Συνευθειακά και ομοκυκλικά.pngΠάνω στη διάμετρο $AB$ , κύκλου $(O,r)$ , θεωρούμε σημεία $P,Q$ , ώστε : $AP=QB<r$ . Από τυχαίο σημείο $S$ της προέκτασης της $AB$ φέραμε την εφαπτομένη $ST$ και ονομάσαμε $T'$ το αντιδιαμετρικό του $T$ . Οι ημιευθείες $TP,TQ$ τέμνουν τον κύκλο και την $TS$ στα σημεία ...

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ φέρουμε τη διχομόμο $AD$ και έστω $M$ το μέσο του $AD$.Στο τμήμα $BM$ παίρνουμε σημείο $ N$ , ώστε $\angle ANM=\angle DAC$. Να αποδειχθεί ότι $ AN\perp NC$. Δουλεύω σε σχήμα AB<AC ΚΑΙ N μέσα στο τρίγωνο Θα τη λύσω με αρμονικότητα. Έστω $R\equiv BM\cap AC$ και από το $B...

.

Για τους θετικούς να αποδειχθεί



και να εξεταστεί αν χρειάζεται η ισότητα.

Βασικά είναι μια μορφή γενίκευσης της τριγωνομετρικής μορφής Ceva. Mια άλλη γενίκευση για την μετρική σχέση ceva στο κύκλο είναι πως αν τα σημεία $A,B,C,D,E,F$ είναι σημεία της περιμέτρου κύκλου τοποθετημένα με αρκιβώς αυτήν την σειρά τότε οι $AD,BE,CF$ συντρέχουν αν και μόνο αν $\frac{AB}{BC}\cdot ...

S.E.Louridas έγραψε: ↑

Τετ Ιουν 26, 2019 8:42 am

Β) Για τις εξετάσεις προς το πρότυπο Γυμνάσιο θα πρέπει κατά την εκφώνηση και ρητά να απαγορεύεται η χρήση άλγεβρας.

Aυτό μου φαίνεται πολύ καταπιεστικό. Γιατί να μην αφήσουμε τον μαθητή να την λύση με τον δικό του τρόπου; Με τον τρόπο που ίσως να τον εκφράζει και περισσότερο;

ΘΕΜΑ 4. Να δειχθεί ότι αν οι $a,b,c$ είναι θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $ab+bc+ca=3$ τότε $\displaystyle \dfrac{1}{1+a^2(b+c)}+\dfrac{1}{1+b^2(c+a)}+\dfrac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc}. $ Από την ισότητα έχουμε $a(b+c)=3-bc\Leftrightarrow a^{2}(b+c)=3a-abc$ κάνοντάς το κυκλικά έχουμε $LHS=\sum ...