Προφανώς σωστός.

Όταν το είδα θυμήθηκα το παράδοξο του είχαμε στην εργασία με τον Χρήστο, εδώ:

viewtopic.php?f=45&t=53553

Δίνεται η συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f'(x)=\frac{e^x}{x},x>0.}$ Να υπολογίσετε το όριο: $\displaystyle{\lim_{a \rightarrow 0^+}[f(2a)-f(a)].}$ ΛΥΣΗ Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $[a,2a] \subset (0,+\infty),$ οπότε ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο $[a,2a]$ και κ...

Σας ευχαριστώ όλους για τις ευχές. Καλές γιορτές σε όλους με υγεία και γρήγορα επιστροφή σε πιο νορμάλ ρυθμούς.

Χρόνια πολλά σε όλους τους εορτάζοντες!!!

Θεωρούμε $M(x,y)=3x+2y+y^2,$ $N(x,y)=x+4xy+5y^2,$ οπότε $M_y=2+2y,$ $N_x=1+4y.$ Επίσης $\displaystyle{\frac{M_y-N_x}{N-M}=-\frac{1}{2(x+y)},}$ οπότε ένας ολοκληρώνοντας παράγοντας είναι: $\displaystyle{e^{\int \left(-\frac{1}{2(x+y)}\right)d(x+y)}=\frac{1}{\sqrt{x+y}}.}$ Πολλαπλασιάζοντας την αρχική...

Καλησπέρα Γιώργη. Ωραία άσκηση. Δίνω μια προσέγγιση. Οι ανισότητες των εμβαδών αποδεικνύονται με τραπέζια, τρίγωνα, ορθογώνια. Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη $C_{f'},$ τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=2$ και $x=4$ είναι μικρότερο των 6 τετραγωνικών μονάδων, δηλαδή $\disp...

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση
Πρωτοπαπάς Ελευθέριος
Μαθηματικός

Το σκεπτικό μου ήταν εντελώς διαφορετικό. Στο μυαλό μου έχω το πως λύνονται οι $f''(x)=f(x)$ και $f''(x)=4f(x)$ με όρους Λυκείου. Εξηγώ το σκεπτικό για την $f''(x)=4f(x)$ : Είναι φανερό ότι άμεσα δεν μπορεί να λυθεί, αλλά χρειάζεται να υπάρξει κάπως η πρώτη παράγωγος. Ψάχνουμε λοιπόν ποιος είναι ο ό...

Επειδή βλέπω μεγάλη κουβέντα δίνω τη λύση μου: $\displaystyle{(x^2+1)^2f''(x)=f(x) \Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}f''(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}^3}f(x) \Leftrightarrow}$ $\displaystyle{\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}f''(x)+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}^3}f(x) +\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}f'(x)...

Όπως έγραψα την άσκηση την είδα στο Facebook ως προτεινόμενη για Γ΄ Λυκείου.

Έχω δώσει μια λύση με σχολικά μαθηματικά και έχω δει και μια δεύτερη.

Μια υπόδειξη για τη λύση μου: Όλοι έχουμε λύσει με σχολικά μαθηματικά τις εξισώσεις Η ιδέα είναι η ίδια...

Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ για την οποία για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει $(x^2+1)^2f''(x)=f(x),$ με $f(1)=\sqrt{2},$ $\displaystyle{f'(1)=\frac{\sqrt{2}}{2}.}$ Την είδα το πρωί στο Facebook, αλλά κάποιος την κατέβασε και είπα να τη δούμε εδώ (αν δεν την έχουμε ξαναδεί)...

α) H διατύπωση του προβλήματος οφείλεται στον R. P. Agnew. Έστω $x(t)$ η συνάρτηση θέσης του εκχιονιστικού τη στιγμή $t$ (σε $km),$ $h(t)$ το ύψος του χιονιού τη στιγμή $t$ (σε $km),$ $t$ o χρόνος σε ώρες, όπου $t \in [t_0,+\infty),$ ($t_0<0$ η ώρα που άρχισε να χιονίζει). Συνεπώς $v(t)=x'(t)$ και μ...

Χρόνια πολλά καλά στους εορτάζοντες.

Χρόνια πολλά Φωτεινή Καλδή και Φώτη Μαραντίδη!

Χρόνια πολλά και καλά. Με υγεία.

Να χαιρόμαστε τους Βασίληδες του !!!

Μιχάλη καλησπέρα και χρόνια πολλά! Ναι πράγματι είναι γνωστό πρόβλημα (ειδικά το α ερώτημα που είναι λυμένο σε δύο από τις τρεις παραπομπές που έδωσες και αντίστοιχο είναι λυμένο και στο :logo: ). Το β ερώτημα έχει το δικό του ενδιαφέρον και δεν κυκλοφορεί ευρέως (η λύση του δεν υπάρχει σε κανένα λι...

Χρόνια πολλά και καλά στους εορτάζοντες Χρήστους και Χριστίνες.

Ειδικότερα στους Κυριαζή (μια κατηγορία μόνος του), Τσιφάκη, Λαζαρίδη, Καρδάση, Κανάβη, Ντάβα (που έχω γνωρίσει).

Χρόνια πολλά σε όλους. Μια Χριστουγεννιάτικη. α) Μια ημέρα άρχισε να πέφτει πυκνό χιόνι με σταθερό ρυθμό. Ένα εκχιονιστικό όχημα ξεκίνησε να καθαρίζει το χιόνι στις 12:00 το μεσημέρι. Την πρώτη ώρα διένυσε $2\;km$, ενώ την δεύτερη ώρα μόνο $1km$. Τι ώρα άρχισε να χιονίζει $;$ Υ.Γ. 1. Θα μπορούσε να ...

Σας ευχαριστώ για τις ευχές σας.

Καλές γιορτές σε όλο το

Με το καλό να έρθει το 2020, το οποίο να εκπληρώσει τα όνειρα όλων.

Μου την έστειλαν και νομίζω ότι είναι ενδιαφέρουσα!!! Μια καραμέλα έχει σφαιρικό σχήμα. Όταν κάποιος την τοποθετήσει στο στόμα του λιώνει μεταβάλλοντας τον όγκο της, ώστε ο ρυθμός μεταβολής του όγκου να είναι αριθμητικά ανάλογος με την επιφάνειά της. Αν τα πρώτα 4 λεπτά μειώνει τον όγκο της κατά $87...

Χρόνια πολλά και καλά στους εορτάζοντες!