Μια προσπάθεια εύρεσης της συνάρτησης του εμβαδού χωρις αναλυτική γεωμετρία. $(STP)=2(ETP)=2*TP*PE*sin(2\phi)/2=TP*PK*sin(2\phi)$ Εστω $R=1$, οπότε $TP*PK=R^{2}-x^{2}=1-x^{^{2}}$ $sin(2\phi)=\dfrac{2tan\phi}{1+tan^{2}\phi}=\dfrac{2x}{1+x^{2}}$ Αρα $(SPT)=f(x)=\dfrac{2x(1-x^{2})}{1+x^{2}}$ Τα υπόλοιπ...

Καλημέρα,
Φέρνουμε τις καθέτους προς την διάμετρο. Προφανώς . Εστω σημείο της διαμέτρου με . Από τα ίσα ορθογώνια έχω .

Σημ. Το μήκος της ακτίνας δεν χρειάστηκε πάντως

Καλησπέρα,

Δημιουργούμε τον ομόκεντρο κύκλο του αρχικού που εφάπτεται στην χορδή στο μέσο της, έστω . Γράφουμε τον κύκλο που τέμνει τον εσωτερικο κύκλο έστω στο . Οι παράλληλες προς την είναι οι ζητούμενες γιατί

Καλησπέρα,

Περιστρέφω το όλο σχήμα κατά 90 γύρω από το . Αρα . Από π.θ. στο προκύπτει ορθογώνιο δηλ. κάθετη στην . Αλλά λόγω περιστροφής κάθετη στην . Αρα συνευθειακά με .

Καλημέρα, Παίρνω το συμμετρικό του $\triangle SAB$ ως προς την $AS$ και σχηματίζω το $\triangle ABC$ το οποίο είναι ισοσκελές και ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος αυτού. Αρα έχουμε $(ABC)_{min}$ όταν το $\triangle ABC$ είναι ισόπλευρο. Τότε $(ABC)_{min}=r^{2}.3\sqrt{3}\Rightarrow (SAB)_{min}=\dfrac{3\sq...

Καλησπέρα, Παίρνω τμήμα $BD=k, BQ=m$ και τον κύκλο $(D,m)$. Η μεσοκάθετη του $QD$ τέμνει τον κύκλο έστω στο $P$. Η $BP$ επανατέμνει τον κύκλο στο ζητούμενο $A$. Από το $A$ φέρνω παράλληλη προς την $PD$ η οποία τέμνει την προέκταση της $BD$ στο $C$. Η απόδειξη είναι απλή με τις γωνίες. Προϋπόθεση κατ...

Γιώργο καλησπέρα, Ελπίζω να μην έμεινα από απουσίες. Περιστρέφουμε το $\triangle ABC$ κατά $60$ γύρω από το $A$. Το $\triangle ASP$ είναι ισόπλευρο και επομένως το ζητούμενο $\triangle KLM = \triangle PBS$. $\angle ASC = \angle APB = 360-\theta-\omega$ Ευκολα τώρα υπολογίζουμε τις γωνίες: $\angle M=...

Ώρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές με βάση : $BC=6$ και σκέλη : $AB=AC=5$ . Από το σημείο $B$ διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος $AD$ στο σημείο $T$ και την πλευρά $AB$ στο $S$ . A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου : $BT\cdot BS$ B) Να υπολογισ...

Αρα οι συνολικές σωστές είναι $190$. Μια μικρή αλλά σημαντική διόρθωση. Οι συνολικές σωστές είναι τουλάχιστον 190. (Τα υπόλοιπα που ακολουθούν είναι σωστά.) Φυσικά και είναι τουλάχιστο 190 μέχρι 192. Μετά θέλουμε και άλλη ερώτηση Αλλά πήραμε την καλύτερη δυνατή περίπτωση με τις λιγότερες δυνατές ερ...

Είκοσι μαθητές έγραψαν τεστ. Κάθε μαθητής απάντησε σωστά σε διαφορετικό αριθμό ερωτήσεων και κάθε ερώτηση απαντήθηκε σωστά από το πολύ τρεις μαθητές. Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό ερωτήσεων του τεστ (δώστε και σχετικό παράδειγμα για το οποίο η τιμή αυτή είναι εφικτή). Καλημέρα, Αφού ενδιαφερόμαστε ...

Για το ερώτημα της μεγιστοποίησης: Εστω ότι η προέκταση της $MS$ επανατέμνει τον κύκλο στο $N$. $\angle NSA=45$ άρα το $N$ είναι μέσο του τόξου $AB$. Το $MNOB$ είναι εγγράψιμο σε σταθερό κύκλο διαμέτρου $NB$. Επομένως ο γ.τ. του $M$ είναι το (πράσινο) τόξο $NB$ του κύκλου $(K,KB)$. Επομένως το $AM$ ...

Ας μου επιτρέψει ο Γιώργος και ένα επιπλέον ερώτημα. Να βρεθούν οι ακτίνες των κύκλων (K) και (L) . Μετά τις δύο εξαιρετικές λύσεις του Νίκου, προσθέτω μία λύση ακόμα: $\bigtriangleup ABS\sim \bigtriangleup ASC\Rightarrow \dfrac{x}{a}=\dfrac{b}{x}=\dfrac{7}{5}\Rightarrow x^{2}=ab,..b=\dfrac{49}{25}...

Καλησπέρα σε όλους και Χρόνια Πολλά,





To τώρα γίνεται μέγιστο όταν η είναι κάθετη στην . Επομένως

Καλησπέρα, Φέρνουμε από το $C$ παράλληλη προς την $DS$. Εστω ο κύκλος $(A,3)$ και μεταβλητός κύκλος $(O,x)$ που έχει ως χορδή την $BF$. Προφανώς η ζητούμενη γωνία μεγιστοποιείται (άρα και το ημίτονο αυτής) όταν το $x$ γίνει ελάχιστο αρκεί οι δύο κύκλοι να έχουν κοινά σημεία (τα $C$). Αυτό συμβαίνει ...

Καλημέρα,

Κατσκευάζω το τρίγωνο με πλευρές . Με βάση την κατασκευάζω το ισόπλευρο .
Με βάση την κατασκευάζω το ισόπλευρο . Προφανώς .
Αρα το ζητούμενο τρίγωνο είναι το

Γιώργο καλησπέρα, Περιστρέφουμε το ισόπλευρο $KLM$ κατά 60 μοίρες δεξιόστροφα γύρω από το $M$ όπως στο σχήμα. Εύκολα προκύπτει ότι $\angle KSM=90+60=150$. Από ν. συνημιτόνων έχω: $k^{2}=3^{2}+4^{2}-2*3*4*cos(150)=25+12\sqrt{3}$ $(KLM)=\dfrac{k^{2}\sqrt{3}}{4}$. Από την Ασκηση του Μιχάλη έχω ότι $(AB...

Καλησπέρα Νίκο, Μια ιδέα για να υπολογίσουμε την $\angle ADC$ Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο $ADE$. Ευκολα προκύπτει ότι $\triangle ADB=\triangle ACE\Rightarrow EC=DB=5$ Αρα το $\triangle EDC$ ορθογώνιο άρα $\angle ADC=90-60=30$. Μετά $a^{2}=25-12\sqrt{3}$ $(ABC)=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ $(ADC)=3$ Τελ...

Γιώργο καλησπέρα,

Αν το δούμε γεωμετρικά είναι κάθε ευθεία (εδώ 2 ευθείες) που τα ισαπέχουν από αυτή και διέρχεται από το .

Επομένως πρόκειται για την ευθεία που διέρχεται από το και από το μέσο της καθώς και την παράλληλη στην

Χρόνια πολλά, με υγεία σε όλους τους εορτάζοντες και ιδιαιτέρως στους:

Γιώργο Βισβίκη και
Γιώργο Μήτσιο (πατρίδα)

Καλησπέρα σε όλους,