Αναπαράσταση σχημάτων στην στερεομετρία Στην στερεομετρία αναπαράσταση ενός σχήματος (πρωτότυπου) θα ονομάζουμε οποιοδήποτε σχήμα, όμοιο με την παράλληλη προβολή του δοθέντος σχήματος σε κάποιο επίπεδο. Για δοθέν σχήμα η μορφή της αναπαράστασής του εξαρτάται από την θέση του πρωτότυπου (σχήματος) ω...

(Με χειροποίητο σχήμα παλιάς κοπής). Με αφορμή τα σχήματα των κ. Σωτήρη και Γιώργου θα ήθελα να παρουσιάσω μερικές ιδιότητες και κανόνες που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση τρισδιάστατων σχημάτων. Αν και τα παρακάτω μπορούν να βρεθούν σε διάφορα βιβλία, για λόγους εμπλουτισμού της βιβλιογραφι...

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Γιώργο για τις λύσεις, τα σχήματα και τον χρόνο που διέθεσε. Από την πλευρά μου, το κίνητρο για αυτά τα βασικά θέματα της γεωμετρίας του τετράεδρου δεν ήταν τόσο η πρωτοτυπία, καθώς μπορούν να βρεθούν σε πολλά βιβλία στερεομετρίας, αλλά η απουσία αναφοράς στο ελληνικό ...

Το παρακάτω θέμα τέθηκε στον τρίτο γύρο της 27ης Πολωνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας την περίοδο 1975-1976. Πρόκειται για το τρίτο θέμα της πρώτης μέρας. Αποδείξτε ότι για κάθε τετράεδρο , τα τρία γινόμενα των ζευγών των απέναντι εδρών είναι μήκη πλευρών τριγώνου. Χρόνια Πολλά για την εθνική μας εορτή...

Φιλολογικά να σημειώσουμε, ότι το πρόβλημα αυτό είναι σχετικά παλιό (μεταφέρω κείμενο από το περιοδικό Κβαντ τεύχος 11, 2017 σελ. 4-5): Τον Δεκέμβριο του 1966 στην εφημερίδα "Κομσομόλσκαϊα Πράβντα" είχαν δημοσιοποιηθεί προβλήματα μαθηματικών ολυμπιάδων. Εκείνη την εποχή δεν υπήρχε διαδίκτυο και μόνο...

Μια ορθή ακόμη.pngΣτο σκαληνό και οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ , φέραμε τα ύψη $AD , BE , CZ$ . Στην $BC$ θεωρούμε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $SC=BD$ . Ο κύκλος $(D , S , E)$ τέμνει το $AD$ , στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι : $\widehat{TZD}=90^\circ$. Έστω $F$ το δεύτερο σημείο τομής του κύκλου $(D , S , E)$...

Θεωρούμε την εξίσωση $a{x^2} + bx + c = 0,\;a,b,c \in {\Cal R}.$ Δίνεται επιπλέον ότι $ac > 0$ και $4\sqrt {ac} \leqslant 2\left| b \right| < 3\left| a \right| + \left| c \right| - \left| {\left| a \right| - \left| c \right|} \right|.$ Να αποδείξετε ότι εξίσωση αυτή έχει πραγματικές ρίζες με απόλυτ...

LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 10 Μαρτίου 2024 $\bullet $ 10η τάξη Πρόβλημα 1. Η Άννα και η Ελένη παίζουν στο διάστημα $[0,1]$, στο οποίο είναι σημειωμένα τα σημεία $0$ και $1$. Οι παίκτριες κινούνται με την σειρά, ξεκινάει η Άννα. Με κάθε κίνηση μια παίκτρια σημειώνει ένα μη ήδη σημειωμένο ση...

Υστερόγραφο: εύκολα βλέπουμε ότι η ανισότητα γενικεύεται για $n$ μεταβλητές στο $[0,1],$ αναγόμενη κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο στην $nt^n-nt^{n-1}+1>0$ για $0\leq t\leq 1:$ με χρήση παραγώγων -- φεύγουμε λίγο εκτός φακέλου εδώ, δεν το προσπάθησα και πολύ αλλιώς* -- λαμβάνουμε ελάχιστη τιμή συνάρτησ...

Αν δούμε προσεκτικά την σχέση ισότητας πρόκειται για πολλαπλάσια και δυνάμεις απο το σύνολο $2,3,5,7$.Αυτά που δεν παράγονται απο το το σύνολο $2,3,5,7$ είναι το $11,13,17,19$ και αυτοί είναι οι αριθμοί που λείπουν απο την ισότητα. :coolspeak: Είναι καθαρό ότι οι έδρες είναι ίσα τρίγωνα. Θα εργαστο...

Για το Π1) εφόσον απο τον λογαριθμικό κανόνα έχουμε lna+lnb =ln(a*b) ψάχνουμε να βρούμε όρους ανάμεσα στους 2,3...,20 ώστε το γινόμενο στην μια πιατέλα να είναι ίσο με την άλλη πιατέλα. Κάνοντας δοκιμές βρήκα ότι $4\cdot8\cdot14\cdot10\cdot15\cdot12\cdot9=2\cdot16\cdot7\cdot20\cdot3\cdot5\cdot6\cdo...

Μπορείς να μας γράψεις την λύση που βασίζεται στην ισότητα με τους λογαρίθμους; Καλησπέρα Σιλουανέ. Μεταφέρω την λύση χωρίς να την έχω μελετήσει διεξοδικά, οπότε ζητώ την κατανόηση για πιθανά λάθη. Η απόδειξη είναι από το προαναφερθέν βιβλίο με τα προβλήματα της ολυμπιάδας. Λύση Θεωρούμε για συντομ...

Ορισμός. Θα ονομάσουμε ένα τετράεδρο $ABCD$ ισοεδρικό, αν όλες οι έδρες του είναι ίσα μεταξύ τους τρίγωνα. Την ύπαρξη τέτοιων τετραέδρων μπορούμε να την φανταστούμε έυκολα με την ακόλουθη κατασκευή. Κατασκευάζουμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $D_{1}D_{2}D_{3}$ και φέρουμε σε αυτό τις μεσοπαράλληλες ευθείες...

Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης Θέματα των τάξεων 10η και 11η για το έτος 2002. 7. Να αποδείξετε ότι για τους θετικούς αριθμούς $a_{1}, a_{2}, a_{3},a_{4}, a_{5}$ ισχύει η ανισότητα: $\dfrac{a_{1}+a_{2}}{2} \cdot \dfrac{a_{2}+a_{3}}{2} \cdot \dfrac{a_{3}...

LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 10 Μαρτίου 2024 $\bullet $ 11η τάξη, 1η μέρα Πρόβλημα 1. Ένας μαθηματικός έχει $19$ διαφορετικά σταθμά, οι μάζες των οποίων σε χιλιόγραμμα είναι ίσες με $\ln 2, \ln 3, \ln 4, \ldots , \ln 20$, και έναν απόλυτα ακριβή ζυγό ισορροπίας δυο πιατέλων. Τοποθέτησε μερικ...

Για το Π1) χρησιμοποιώντας τον Desmos βρήκα 1 σημείο. Φαντάζομαι μαθηματικά παίρνεις ένα σύστημα 3 γραμμικών εξισώσεων και αφου αντιστρέψεις κλίση με σταθερό όρο δείχνεις ότι το σύστημα έχει μια λύση. Τα πράματα είναι σχετικά απλά εδώ, δεν είναι απαραίτητο να λύσει κανείς σύστημα. Αν $y=ax+b_{1}, y...

LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 10 Μαρτίου 2024 $\bullet $ 8η τάξη Πρόβλημα 1. Η δασκάλα υπαγόρευσε στον Τοτό την κλίση και τον σταθερό όρο τριών διαφορετικών γραμμικών συναρτήσεων, οι γραφικές παραστάσεις των οποίων είναι παράλληλες. Ο απρόσεκτος Τοτός στο γράψιμο κάθε μιας συνάρτησης αντάλλαξ...

Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης Θέματα των τάξεων 10η και 11η για το έτος 2002. 1. Σε μια ευθεία είναι τοποθετημένο ένα πιόνι. Ο Νίκος και ο Γιώργος παίζουν το εξής παιχνίδι: Ο Νίκος ανακοινώνει αριθμούς, που δεν υπερβαίνουν το $1$, και ο Γιώργος μετακιν...

Ορισμός Το τετράεδρο, στο οποίο τα τέσσερα ύψη του διέρχονται από το ίδιο σημείο, ονομάζεται ορθοκεντρικό τετράεδρο και το σημείο τομής των υψών του ορθόκεντρο του τετράεδρου. Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες: 5. Σε ένα ορθοκεντρικό τετράεδρο και μόνο σε αυτό τα γινόμενα των συνημιτόνων των διέ...

Στο Π4 εαν πάρω $p=2$ και $q=4$ το γινόμενο τους είναι κύβος του 2 ωστόσο $p^2-q=0$ Μήπως υπάρχει λάθος στην εκφώνηση ? Ευχαριστώ για την παρατήρηση. Αν και έχω μεταφέρει σωστά από την πηγή την άσκηση, πιθανόν εδώ εννοείται για $p^2 \neq q$. Θα το μελέτήσω παραπέρα και θα επανέρθω αν είναι. Edit: Α...