Σε μια συνάντηση $n \geqslant 2$ ατόμων, κάθε δυο άτομα που δεν γνωρίζονται έχουν ακριβώς δύο κοινούς γνωστούς και κάθε δυο άτομα που γνωρίζονται δεν έχουν κανένα κοινό γνωστό. (α) Να δειχθεί ότι υπάρχει $k$ ώστε κάθε άτομο έχει ακριβώς $k$ γνωστούς. (β) Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ n = \frac{\ell...

Λόγω αρκετής δουλειάς έχω χαθεί λίγο τον τελευταίο καιρό. Μια υπόδειξη (λύση) για το πρόβλημα είναι να θέσουμε $c_{ij} = \begin{cases} 1 & \alpha \nu \quad 1 \leqslant j \leqslant a_i \\ 0 & \alpha \nu \quad j > a_i\end{cases}$ και να υπολογίσουμε το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{i,j} c_{ij}}$ με δυ...

"Μια από τις μεγάλες παρανοήσεις σχετικά με τα μαθηματικά την οποία διαπράττουμε στις τάξεις μας είναι ότι ο δάσκαλος φαίνεται πάντα να γνωρίζει την απάντηση σε οποιοδήποτε πρόβλημα το οποίο συζητιέται."

Leon Henkin

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Έστω η συνάρτηση που η γραφική της παράσταση είναι η κανονική κατανομή συχνοτήτων.

Μάκη, μάλλον θες να πεις ότι η είναι η συνάρτηση πυκνότητας της κανονικής κατανομής.

Σπύρο σωστά. Ας βάλω και την απόδειξη ότι κάθε φίλτρο $\mathcal{B}$ (που ικανοποιεί δηλαδή τις συνθήκες (1),(2) και (3)) περιέχεται σε ένα υπερφίλτρο $\mathcal{A}$: Κοιτάζουμε το μερικώς διατεταγμένο σύνολο όλων των φίλτρων που περιέχουν το $\mathcal{B}$ όπου η διάταξη δίνεται από το $\subseteq$. Αν...

Για το (2) διαιρούμε με το $a$. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι η συνάρτηση $g(x) = [x] + c\{x\}$ όπου $|c| \geqslant 1$ είναι επί. Αν $c > 0$, τότε $g([x] + \{x\}/c) = x$. Αν $c < 0$ τότε $g([x] + 1 -\{1-x\}/c) = x$. (Με παρόμοιο τρόπο και για το (1) αρκεί να δείξουμε ότι η $g(x) = c[x] + \{x\}$ όπου ...

Σπύρο σωστά αυτά που γράφεις. (Δεν γνώριζα ότι το θεώρημα είναι του Pospisil αλλά το έψαξα και πράγματι έτσι είναι.) Ήθελα όμως μια πιο "απλή" απόδειξη. Ας δείξουμε πρώτα πως υπάρχει τουλάχιστον άλλο ένα και ύστερα δείχνουμε πως υπάρχουν υπερφίλτρα.

Ένα σύνολο $\mathcal{A}$ υποσυνόλων του $\mathbb{N}$ ονομάζεται υπερφίλτρο αν για κάθε $A,B \subseteq \mathbb{N}$ 1) $\emptyset \notin \mathcal{A}$. 2) $A \in \mathcal{A}, A \subseteq B \Rightarrow B \in \mathcal{A}$ 3)$A,B \in \mathcal{A} \Rightarrow A \cap B \in \mathcal{A}$ 4)$A \in \mathcal{A}$ ...

Υπόδειξη: Δεν χρειάζεται να βρείτε τον γενικό όρο της ακολουθίας. Αρκεί μόνο ότι για κάθε . Μετά μιμηθείτε την απόδειξη ότι ο είναι άρρητος.

Στην ποιότητα του αποτελέσματος δεν μπορεί να υπάρξει καμία σύγκριση. Γράφοντας σε latex έχεις πολύ ανώτερα αποτελέσματα. Δεν είναι τυχαίο που οι μεγάλοι εκδοτικοί οίκοι θέλουν τα άρθρα προς δημοσίευση στα μαθηματικά να είναι γραμμένα σε latex. Σκεφτείτε για παράδειγμα να γράφετε ένα βιβλίο και να έ...

(α) Αν γνωρίζουμε τις τιμές της $f$ στο $\mathbb{Q} \cup (\mathbb{Q} + \sqrt{2})$ τότε γνωρίζουμε και την $f$. Άρα υπήρχουν το πολύ $|\mathbb{R}^{\mathbb{N}}| = |\mathbb{R}|$ τέτοιες συναρτήσεις. (β) Παίρνουμε μια απαρίθμηση $q_1,q_2,\ldots$ των ρητών και για κάθε $n$ παίρνουμε ένα διάστημα $A_n$ με...

Απορία 1η: Γιατί έχω την εντύπωση ότι είναι Τschebychev? :?: Μια ωραία άσκηση συνδυαστικής είναι να βρεις με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί κάποιος να γράψει αυτό το όνομα. Αν κάποιος γνωρίζει την απάντηση ας μου πει και 'μένα. :rotfl: Και οι δύο γραφές πάντως χρησιμοποιούνται. Δες π.χ. εδώ: h...

Έχει συζητηθεί εδώ: viewtopic.php?f=10&t=1799

Ίσως ο Ανδρέας να ζητούσε την πιο κάτω γεωμετρική λύση:

(Στην περίπτωση βέβαια όπου ώστε τα ορθογώνια να μην επικαλύπτονται. Μπορούμε να κάνουμε παρόμοιο σχήμα στην περίπτωση που .)

Ένας σύντομος οδηγός για μαθηματικά κείμενα βρίσκεται εδώ: http://www.ams.org/tex/amslatex.html (Κατεβάστε το άρθρο Short Math Guide for Latex.) Ένας οδηγός με περισσότερες πληροφορίες βρίσκεται εδώ: http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/english/ (Κατεβάστε το άρθρο lshort.pdf) Ένα αρχείο που ...

Ναι.

Είναι πιο εύκολο νομίζω να δειχθεί ότι μπορεί να βρεθεί τέτοια ακολουθία ώστε επιπλέον το πολυώνυμο (για κάθε ν) να έχει ν διακεκριμένες θετικές ρίζες.

Djimmakos έγραψε:12; Aν είναι σωστό πες μου να πω και τη λύση

Τότε δίνει , άτοπο. (Άρα πρέπει σίγουρα .)

Κάνοντας την αντικατάσταση $y = x^2$, βλέπουμε ότι το ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \frac{\sin y}{\sqrt{y}} dy = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \frac{\sin y}{\sqrt{y}} dy + \frac{1}{2} \int_{\pi}^{2\pi} \frac{\sin y}{\sqrt{y}} dy = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin{y} \left(\...

Μπορεί να αποδειχθεί επαγωγικά ότι

1)
2)

Επειδή η παίρνει τιμές στους μη αρνητικούς ακεραίους και συμπεραίνουμε ότι και .

Επαναφέρω το τελευταίο ερώτημα μιας και μάλλον ξεχάστηκε.