Μια λύση εντός φακέλου μέσω της ταυτότητας $x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+...+y^{n-1}).$ Είναι $2^{2n-1}(a^{2n}+b^{2n})-4^na^nb^n=2^{2n-1}(a^n-b^n)^2=(a-b)^2k$ όπου $k$ ακέραιος $(a+b)^{2n}-4^na^nb^n=[(a+b)^2-4ab]m=(a-b)^2m$ όπου $m$ ακέραιος. Αφαιρώντας έπεται το ζητούμενο. Επίσης $2^{2n}(a^{2n+1}+b^{2n+1}...

Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι οι οποίοι είναι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους.

Μπάμπη, να είσαι πολύχρονος! Σου εύχομαι υγεία, δύναμη και δημιουργική διάθεση!

Ο πίνακας των τριγωνομετρικών αριθμών του σχολικού βιβλίου έχει στο τέλος την εντυπωσιακή τιμή
Η αριθμομηχανή μου λέει πως

Να αποδειχθεί ότι

Μια ακόμα σκέψη: Η αρχική γράφεται $\left(\dfrac{a-2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{b+5}{3}\right)^2=1.$ Υπάρχει $\theta\in [0,2\pi)$ ώστε $\cos\theta=\dfrac{a-2}{3}$ και $\sin\theta=\dfrac{b+5}{3}$ οπότε $a-b-7=3(\cos\theta-\sin\theta)=3\sqrt2\cos(\dfrac{\pi}{4}-\theta).$ Άρα $a-b-7\in[-3\sqrt2,3\sqrt2]$

Θέτουμε
Απαλείφοντας το από τη αρχική σχέση βρίσκουμε

Η τελευταία έχει μη αρνητική διακρίνουσα οπότε και τελικά

Γρηγόρη, να είσαι πολύχρονος!

Διαβάζοντας τη λύση τoυ Αχιλλέα για το 4o θέμα της Α Λυκείου έκανα την εξής σκέψη: Μπορεί να λυθεί χωρίς να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης $2007x=10.000k+2008$ αλλά παρατηρώντας την μορφή των λύσεων. Εφόσον οι $2007,10.000$ είναι πρώτοι μεταξύ τους η εξίσωση έχει σίγουρα ακέραια λύση $(x_0,...

Χρόνια Πολλά σε όλους τους φίλους που γιορτάζουν σήμερα! Πολλές ευχές στους Μάγκο Θάνο, Κοντογεώργη Αθανάσιο, KARKAR και Μπεληγιάννη Αθανάσιο όλοι τους σπουδαίοι θεματοδότες και λύτες, έκαστος στο είδος του, που τους χρωστάω χάρη για όσα έμαθα είτε παλεύοντας να λύσω τα προβλήματα που ανεβάζουν είτε...

Χρόνια Πολλά για την ημέρα σε όλους τους φίλους.
Πολλές ευχές ευχές στη Φωτεινή Καλδή, στο Φώτη Μαραντίδη, και στο Φάνη Θεοφανίδη.

Χρόνια Πολλά !
Ιδιαίτερες ευχές στον Χρήστο Κυριαζή και τον Χρήστο Τσιφάκη!

Χρόνια Πολλά σε όσους γιορτάζουν σήμερα.
Ιδιαίτερες ευχές στους:
Νίκο Μαυρογιάννη,
Νίκο Φραγκάκη και
Νίκο Ζανταρίδη.

Η δύναμη του σημείου $O$ ως προς τον κύκλο $C_2$ είναι $OE^2=R(R+2r)$ ενώ του $E$ ως προς τον $C_1$ είναι $E\Delta ^2=OE^2-O\Delta ^2=R(R+2r)-R^2=2Rr.$ Τέλος η δύναμη του σημείου $\Gamma$ ως προς τον $C_1$ είναι $\Gamma \Delta ^2=(R+2r)^2-R^2=4r(R+r).$ Είναι $BE\parallel O\Delta$ αφού και οι δύο είν...

Συγχαρητήρια στους συναδέλφους του παραρτήματος Κέρκυρας για αυτήν την πρωτοβουλία. Γνώρισα από κοντά τον Κώστα λίγο καιρό πριν φύγει. Τον επισκέφτηκα κάποιες φορές στο νοσοκομείο που νοσηλευόταν. Ήταν παλικάρι. Αντιμετώπισε με γενναιότητα την ασθένειά του έως το τέλος. Ο Κώστας θέλησε να αφήσει το ...

Ας είναι $\overrightarrow{AZ}=\overrightarrow{a}$ και $\overrightarrow{ZS}=\overrightarrow{b}.$ Τότε $\overrightarrow{SE}=x\overrightarrow{b}$ και $\overrightarrow{DB}=y\overrightarrow{b}$ όπου $x,y$ θετικοί αριθμοί. Με ομοιότητα, $\overrightarrow{ZC}=\dfrac{x+1}{y}\overrightarrow{a}$ και $\overrigh...

Χρόνια πολλά σε όλους στους εορτάζοντες του !!

Τις καλύτερες ευχές μου στο Μιχάλη Λάμπρου, στο Μιχάλη Νάννο, στο Μιχάλη Τσουρακάκη, στο Μιχάλη Σουλάνη, στο Ραφαήλ Τσιάμη και στο Ραφαήλ Ψυρούκη.

Έστω Από τα όμοια τρίγωνα προκύπτει Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου Το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο δίνει οπότε και

Σας ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας. Νομίζω πως η λύση του Μιχάλη είναι αυτό που έψαχνα. Σταύρο συμφωνώ με το σχόλιό σου. Είναι μια συζήτηση που πρέπει να ανοίξει. Ας γράψω τη σκέψη μου: Αρκεί να δείξω ότι η $\rm f$ είναι φραγμένη κοντά στο $\rm x_0.$ Διαφορετικά υπάρχει ακολουθία $\rm (x_n)$ ...

Έστω $\rm f,g$ δύο συναρτήσεις με $\displaystyle{\rm \lim_{x\to x_0}g(x)=0}$ και $\rm \displaystyle{\lim_{x\to x_0}(f^3(x)+g(x)f(x))=0}.$ Είναι πάντα αληθές ότι $\displaystyle{\rm \lim_{x\to x_0}f(x)=0}$; Προσπάθησα αρκετά να βρω λύση σχολική, με αλγεβρική ανάλυση που λέει κι ο Σταύρος Παπαδόπουλος ...

Σταύρο σε ευχαριστώ! Θα χρησιμοποιήσω την εξής παρατήρηση: Αν $\rm a,b>0$ και $\rm x=min \left \{a,b \right \}$ τότε $\rm \dfrac{1}{x}=max \left \{\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right \}.$ Είναι $\rm f(x),g(x)>0$ κοντά στο $\rm x_0.$ Θέτοντας $\rm h(x)=min \left \{f(x),g(x) \right \}$ είναι $\rm \dfrac{1...