Στο ίδιο πνεύμα με αυτές του Μιχάλη: Άσκηση 3: Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f:R\rightarrow R}$, με $\displaystyle{f(x+y)+f(x-y)=x+y}$, για κάθε $\displaystyle{x , y}$ πραγματικούς αριθμούς. Αν θέσουμε όπου $y$ το $0$, βρίσκουμε $f(x)=\frac{x}{2}$, για κάθε $x$. Επιστρέφοντας ...

Δεν είναι καινούργια λύση, είναι αυτή που σκέφτηκα αρχικά και την θεωρώ μονόδρομο σε αυτό το θέμα. Δεν είχα σκοπό να την βάλω , γιατί δεν μου αρέσει να έχω παρόμοια λύση με άλλους λύτες . Ωστόσο, εφόσον έβαλα μια δεύτερη "λύση " για να δούμε το μελανό της σημείο, όφειλα να βάλω και την λύση που σκέ...

Και γιατί όταν έθεσες αυτή την άσκηση viewtopic.php?f=56&t=74475 δεν έγραψες "Νδο ότι μπορεί το όριο να μην υπάρχει";

Τέλος πάντων, δεν νομίζω να βγάλουμε άκρη.

Υ.Γ. Η "καινούργια" λύση, είναι αυτή που έβαλε και ο κος Μαυρογιάννης.

Για να είμαι ειλικρινής δεν κατάλαβα. Ήξερες πως είναι λάθος η λύση, αλλά την δημοσίευσες για να βρούμε το λάθος;

Για το πρώτο σκέλος, αυτό που παίζει ρόλο είναι ότι η είναι μονότονη, γι' αυτό έχει όριο. Αυτό όμως δεν είναι στη σχολική ύλη απ' όσο ξέρω.

Καλησπέρα. Έχω κάποιες απορίες: Είναι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f\left ( x \right )}{x}^{\left ( \frac{\infty}{\infty} \right )}=\lim_{x\rightarrow \infty}f^{'}\left ( x \right )=0$ Αυτό δεν καταλαβαίνω γιατί ισχύει. Ξέρουμε ότι υπάρχει το όριο της $f'$ για να εφαρμόσουμε de L' ...

Έχω ψάξει λίγο στο παρελθόν για ναβρω αυτό το θεώρημα με αυτό το όνομα σε ξένη βιβλιογραφία, αλλά δεν βρήκα κάτι. Έχει κάποιος τέτοιου είδους αναφορά;

Επεξεργασία από Γ.Σ. Οι δημοσιεύσεις από του νήματος αποσπάστηκαν από τη δημοσίευση εδώ.

Δεν ξέρω γιατί αυτό που λέω χαρακτηρίζεται ως επίθεση. Πάντως ένας δείκτης για να συγκρίνουμε την δυσκολία των προβλημάτων είναι ο μέσος όρος που βγαίνει στο τέλος. Και πάλι, δεν τον θεωρώ τελείως ασφαλή δείκτη. Δύο-τρία στατιστικά μέχρι τώρα: Πολύ προπονημένες ομάδες, όπως ο Καναδάς και το Ισραήλ, ...

Henri van Aubel έγραψε: ↑

Κυρ Ιούλ 09, 2023 7:42 pm

Πιστεύω πως ήταν κάπως έτσι: Το Π2 πολύ εύκολο για ΙΜΟ. Τα Π1,Π2,Π4 εύκολα , το Π3 οκ, το Π5 δύσκολο και το Π6 πολύ δύσκολο .

Με ποια κριτήρια αποφασίζουμε για το αν ένα πρόβλημα είναι εύκολο ή δύσκολο;

Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς με άθροισμα 0 και άθροισμα τετραγώνων ίσο με 1. Να αποδείξετε ότι

Τόλη, αυτό ζητάς ή μήπως απαιτείς και $\xi \ne \eta$; Ορίζω την $g$ όπως ο κ. Λάμπρου. Τότε, από το ΘΜΤ υπάρχει $\xi\in (0,1/2)$ ώστε $\displaystyle{\frac{g(1/2)-g(0)}{1/2-0}=g'(\xi)=f'(\xi)-\xi.}$ Με όμοιο τρόπο, υπάρχει $\eta\in (1/2,1)$ ώστε $\displaystyle{\frac{g(1)-g(1/2)}{1-1/2}=g'(\eta)=f'(\...

Θεωρούμε ακολουθία $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n+1}$ διακεκριμένων μη μηδενικών πραγματικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{\sum_{j=1}^{n+1}a^2_{j}=1,~~~\sum_{j=1}^{n+1}a_{j}=0.}$ Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{0<\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{|a_{k}|}\prod_{j=1,j\neq k}^{n+1}\dfrac{a_{k}...

Πολύ ωραία! Γενικότερα, από το 1ο πρόβλημα της JBMO 1998 https://artofproblemsolving.com/communi ... 633p358067 έχουμε ότι ένα τετράγωνο μπορεί να λήγει σε 2αρια και ένα 5.

Με βάση το πρόβλημα 2 των μεγάλων, να θέσω το παρακάτω ερώτημα.

Υπάρχει τετράγωνο που να τελειώνει σε 2225;

Δύο-τρία πράγματα θα ήθελα να πω. καταρχάς, χαίρομαι πολύ που συμμετέχουν οι μαθητές στην συζήτηση και θα ήθελα να παραμείνουν ενεργοί και εκτός αυτής της συζήτησης. Ωστόσο καλό θα ήταν να δημιουργηθεί ένας νέο τόπικ για την συζήτηση. Προσπαθήστε να μην κάνετε αυθαίρετες εικασίες για το πόσους πόντο...

Graph theory it is. Λοιπόν, πάμε να το δούμε με γραφήματα. Θεωρώ $2n$ σημεία τα οποία έχουν την εξής ιδιότητα: το γράφημα είναι απλό και κάθε σημείο του έχει βαθμό κορυφής 2. Επίσης, το γράφημα δεν έχει κύκλους περιττού μήκους. Το ότι το συγκεκριμένο γράφημα δεν έχει κύκλους περιττού μήκους πρέπει ...

Για το 4, δείτε και εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 791p713182

Είναι από τα αγαπημένα μου προβλήματα, είναι και στο Μαθ. Διαγ. ΙΙ.

Καλησπέρα. Θα ήθελα να ρωτήσω με ποιο ακριβώς σκεπτικό αυτή η άσκηση μπαίνει στο επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη του Γυμνασίου. Οι διαγωνιζόμενοι σε επίπεδο Γυμνασίου που ξέρουν τον ορισμό της συμμετροδιαμέσου είναι μετρημένοι στα δάκτυλα του ενός χεριού, ενώ ακόμα και οι διαγωνιζόμενοι στο λύκειο δεν είναι ...

Επαναφορά.

Να το γράψω και λίγο διαφορετικά.
Αν στην αρχική θέσουμε όπου το (και χρησιμοποιώντας την συνθήκη στο αριστερό μέλος) παίρνουμε: . (*)
Αν θέσουμε όπου το στην τελευταία παίρνουμε .

Σιλουανέ, για τον αριθμητή χρειάζεται η υπόθεση ύπαρξης του ορίου του. Τέλος πάντων το θέμα είναι στο φάκελο των Μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου και συνεπώς, για μια απόδειξη στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου, είναι απαραίτητο να διακρίνουμε τις περιπτώσεις. Για το δεύτερο κομμάτι δεν είπα κάτι διαφορετι...