Η αναζήτηση βρήκε 3274 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Σάβ Ιαν 20, 2024 8:30 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
- Απαντήσεις: 18
- Προβολές: 1273
Re: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
Εσείς που τα ψάχνετε δεν το προσέξατε; Τι να προσέξω δηλαδή; Υπήρχε λάθος; Λάθος όχι, η μόνη ένσταση που (θα) είχα στην λύση του arqady (Michael Rozenberg) που παρουσιάστηκε και εδώ από τον Ορέστη (#9) είναι το όχι και τόσο προφανές (κατά την ταπεινή μου γνώμη) της $7\sqrt[5]{8}>\sqrt[5]{16}+\sqrt[...
- Παρ Ιαν 19, 2024 11:47 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
- Απαντήσεις: 18
- Προβολές: 1273
Re: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
Εσείς που τα ψάχνετε δεν το προσέξατε; Τι να προσέξω δηλαδή; Υπήρχε λάθος; Λάθος όχι, η μόνη ένσταση που (θα) είχα στην λύση του arqady (Michael Rozenberg) που παρουσιάστηκε και εδώ από τον Ορέστη (#9) είναι το όχι και τόσο προφανές (κατά την ταπεινή μου γνώμη) της $7\sqrt[5]{8}>\sqrt[5]{16}+\sqrt[...
- Κυρ Ιαν 14, 2024 10:17 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
- Απαντήσεις: 18
- Προβολές: 1273
Re: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
[Σε τέτοιου τύπου προβλήματα είναι άγραφος νόμος η μη χρήση λογισμικού, αν αυτή επιτρέπεται τότε μπορούμε ακόμη και να βρούμε την ρίζα απευθείας και το πρόβλημα χάνει το νόημα του, νομίζω.] Μετά από αυτά ΕΔΩ Κοινή ρίζα .png Έχουμε: $\sqrt[3]{x}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+x=1\Leftrightarrow \sqrt[3]{...
- Κυρ Ιαν 14, 2024 1:36 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
- Θέμα: Μια εξίσωση
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 419
Re: Μια εξίσωση
Πολύ ενδιαφέρον που θέτεις αυτό το ερώτημα, Ορέστη! Μας έχει απασχολήσει και στο παρελθόν, βλέπε πχ εδώ
[Οι περισσότεροι, αν όχι όλοι όσοι 'απομείναμε' εδώ στο , θα απαντούσαμε θετικά στο ερώτημα σου...]
[Οι περισσότεροι, αν όχι όλοι όσοι 'απομείναμε' εδώ στο , θα απαντούσαμε θετικά στο ερώτημα σου...]
- Σάβ Ιαν 13, 2024 1:52 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Είναι τετράγωνο;
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 544
Re: Είναι τετράγωνο;
Τι λείπει; Μία γεωμετρική απόδειξη ότι η και συνεπάγεται
- Παρ Ιαν 12, 2024 12:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Είναι τετράγωνο;
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 544
Re: Είναι τετράγωνο;
Γοητευτικά απομυθοποιητική η κατασκευή του Μιχάλη, γενικότερη όμως η κατασκευή του Γιώργου, που καλύπτει και την περίπτωση $0<\theta <\dfrac{\pi}{4}$! [Στο συνημμένο η περίπτωση $\theta \approx 20^0,$ με $AB=\dfrac{\eta \mu 60^0}{\eta \mu 40^0}BD\approx 1,3473BD$ και $DC=\dfrac{\eta \mu 20^0}{\eta \...
- Παρ Ιαν 12, 2024 12:33 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Είναι τετράγωνο;
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 544
Re: Είναι τετράγωνο;
Εν αναμονή πιθανώς κάποιας ομορφης γεωμετρικής κατασκευής, προσφέρω την εξής τριγωνομετρική προσέγγιση: Από Νόμο Ημιτόνων, με $\angle DAC=\angle DBA =\theta $ και $\angle DBC=\angle CAB= \phi,$ προκύπτουν οι ισότητες $\dfrac{AC}{\eta \mu (\theta + \phi)}=\dfrac{AD}{\eta \mu \phi}=\dfrac{DC}{\eta \mu...
- Τρί Ιαν 09, 2024 10:45 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Μία ενδιαφέρουσα ανισότητα!
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 1154
Re: Μία ενδιαφέρουσα ανισότητα!
αριστερή.png Για την αριστερή ανισότητα , μπορούμε να πετύχουμε ουσιωδώς καλύτερη προσέγγιση . Η ευθεία $AB , (y=\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}x+1 )$ , βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της $f$ , ( εκτός των άκρων Α , Β ) , συνεπώς ( τραπέζιο ) : $\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}<\ell n(1+\sqrt{2})$ . Εύκολα τώ...
- Τρί Ιαν 09, 2024 9:21 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Μία ενδιαφέρουσα ανισότητα!
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 1154
Re: Μία ενδιαφέρουσα ανισότητα!
Επειδή υπάρχουν σοβαρά προβλήματα στην ως άνω προσέγγιση, το προχωρώ χωρίς Λογισμό, με χρήση όμως των $e<2,72$ και $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2 }+\dfrac{x^3}{6}$: H δεξιά ανισότητα γράφεται ως $ln\left(1+\sqrt{2}\right)<\sqrt{2}-\dfrac{1}{2},$ ισοδύναμα $1+\sqrt{2}<\displaystyle e^{\sqrt{2}-1/2},$ άρα αρκ...
- Κυρ Ιαν 07, 2024 11:52 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
- Απαντήσεις: 18
- Προβολές: 1273
Re: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
Κύριε Γιώργο, εφάρμοσα Bolzano στο $\left[ 0.2,\,\,\,\displaystyle\frac{\sqrt[5]{2}}{4} \right]$ στην αρχική και μου βγάζει $f\left( 0.2 \right)\cdot f\left(\displaystyle \frac{\sqrt[5]{2}}{4} \right)<0$, άρα τελειώσαμε. ... ΠΩΣ όμως δείχνουμε, ΜΕ ΤΟ ΧΕΡΙ, ότι $f\left(\displaystyle \frac{\sqrt[5]{2...
- Κυρ Ιαν 07, 2024 11:29 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
- Απαντήσεις: 18
- Προβολές: 1273
Re: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
Κύριε Γιώργο, εφάρμοσα Bolzano στο $\left[ 0.2,\,\,\,\displaystyle\frac{\sqrt[5]{2}}{4} \right]$ στην αρχική και μου βγάζει $f\left( 0.2 \right)\cdot f\left(\displaystyle \frac{\sqrt[5]{2}}{4} \right)<0$, άρα τελειώσαμε. ... ΠΩΣ όμως δείχνουμε, ΜΕ ΤΟ ΧΕΡΙ, ότι $f\left(\displaystyle \frac{\sqrt[5]{2...
- Κυρ Ιαν 07, 2024 10:45 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
- Απαντήσεις: 18
- Προβολές: 1273
Re: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
Γοητευτικά διεστραμμένο :-) Ιδού η δεύτερη προσπάθεια με το χέρι, η πρώτη απέτυχε (όπως εκ των υστέρων κατέδειξε το λογισμικό): Οι όποιες πραγματικές ρίζες βρίσκονται στο $(0,1):$ πράγματι, γράφοντας την εξίσωση ως $(x^2+1)\sqrt[3]{x}=1-x,$ βλέπουμε ότι η μεν $x>1$ καθιστά αρνητικό το δεξιό σκέλος ...
- Κυρ Ιαν 07, 2024 2:10 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
- Απαντήσεις: 18
- Προβολές: 1273
Re: Μια ανισότητα από ρίζα εξίσωσης
Γοητευτικά διεστραμμένο :-) Ιδού η δεύτερη προσπάθεια με το χέρι, η πρώτη απέτυχε (όπως εκ των υστέρων κατέδειξε το λογισμικό): Οι όποιες πραγματικές ρίζες βρίσκονται στο $(0,1):$ πράγματι, γράφοντας την εξίσωση ως $(x^2+1)\sqrt[3]{x}=1-x,$ βλέπουμε ότι η μεν $x>1$ καθιστά αρνητικό το δεξιό σκέλος κ...
Re: Ένα όριο
Μία προσέγγιση βασισμένη στις $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq 2$ και $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{(a-b)^2}{ab}+2:$ Χρησιμοποιώντας την βασική ανισότητα $1=\dfrac{1}{n}\left(2+2+...\right)\leq \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{ln(n+1)}{ln2}+\dfrac{ln2}{ln(n+1)}+\dfrac{ln(n)}{ln3}+\dfrac{ln3}{ln(n)}+...\r...
Re: Ένα όριο
Μία προσέγγιση βασισμένη στις $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq 2$ και $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{(a-b)^2}{ab}+2:$ Χρησιμοποιώντας την βασική ανισότητα $1=\dfrac{1}{n}\left(2+2+...\right)\leq \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{ln(n+1)}{ln2}+\dfrac{ln2}{ln(n+1)}+\dfrac{ln(n)}{ln3}+\dfrac{ln3}{ln(n)}+...\ri...
- Σάβ Δεκ 30, 2023 1:27 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
- Θέμα: Ανισότητα
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1030
Re: Ανισότητα
Γιώργο καλημερα για την ασκηση ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ του διαφορικου γινεται περίπου με διωνυμο 1) δειχνουμε οτι η ακολουθια τείνει στο $\displaystyle{e^{-2/3}}$ 2) αρκει $\displaystyle{ln2>2/3}$ 3) για $\displaystyle{0<x<1 }$ δείξε $\displaystyle{<1+x+x^2/2<1/(1-x)}$ 4) ολοκληρωσε απο 0 ως χ 5) χ=1/2 και Ο.Κ Δ...
- Παρ Δεκ 29, 2023 11:33 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
- Θέμα: Ανισότητα
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1030
Re: Ανισότητα
Kαταληγεις $\displaystyle{x+x^2/2+x^3/3<-ln(1-x)}$ αρα $\displaystyle{1/2+1/8+1/24<-ln(1<2)}$ η$\displaystyle{ 2/3<ln2}$ Έτσι ακριβώς, πως όμως βοηθάει αυτό στην απόδειξη της προταθείσης ανισότητας, $\left(\dfrac{3n-1}{3n+1}\right)^n\geq \dfrac{1}{2};$ Τώρα που το ξαναβλέπω ... εντάξει είμαστε, είχ...
- Πέμ Δεκ 28, 2023 9:43 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά
- Θέμα: ln2 < 0,699
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 460
Re: ln2 < 0,699
Αναλόγως η μέθοδος μου μπορεί να δώσει και πιο σφικτά άνω φράγματα, μειονεκτεί όμως έναντι της μεθόδου του Λάμπρου, αν μη τι άλλο επειδή είναι πολύ πιο δύσκολο να υπολογισθεί εκ των προτέρων 'πόσους όρους' χρειαζόμαστε για 'δεδομένο' άνω φράγμα. (Ίσως επανέλθω επ' αυτού αργότερα.) Όχι ακριβώς, η 'π...
- Πέμ Δεκ 28, 2023 7:30 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά
- Θέμα: ln2 < 0,699
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 460
Re: ln2 < 0,699
Λάμπρο πολύ ωραία! Ιδού η αρχική μου προσέγγιση: Θέτοντας $x=ln2$ στην 'ημισχολική' ανισότητα $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}$ (που προκύπτει με δύο ολοκληρώσεις από την $e^x>1+x$) ... λαμβάνουμε την ανισότητα $(ln2)^3+3(ln2)^2+6(ln2)-6<0.$ Επειδή η συνάρτηση $f(t)=t^3+3t^2+6t-6$ είναι προφαν...
- Πέμ Δεκ 28, 2023 3:06 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά
- Θέμα: ln2 < 0,699
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 460
Re: ln2 < 0,699
Λάμπρο πολύ ωραία, πράγματι κατέβασες το άνω φράγμα στο 'περίπου'! Με μία μικρή 'επέκταση' της μεθόδου μου πιάνω υποθέτω πως κάτι ανάλογο θα συμβαίνει και με την δική σου μέθοδο. Θα επανέλθω αργότερα, αναμένοντας και άλλες λύσεις.