Αν θυμάμαι καλά, την ισότητα αυτή πιο παλιά την έλεγαν '' Θεώρημα των προβολών ''.

Η μουσική υπόκρουση είναι υπέροχη.
Είμαι άλλωστε θαυμαστής του Μότσαρτ...
Οι συνθέσεις του με έχουν συντροφεύσει από τα δεκαεπτά μου.

Πολύ ωραίο και στοχευμένο...

Σε ευχαριστούμε Παναγιώτη.
Ο κόπος σου, ο χρόνος σου, οι προσπάθειες που καταβάλλεις , όλα αυτά δεν πάνε χαμένα....

Noμίζω ότι πρέπει να δώσω τη λύση... Από το νόμο του συνημιτόνου έχουμε ότι $a^{2}+b^{2}-c^{2}=2abcosC, b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bccosA, a^{2}+c^{2}-b^{2}=2accosB$ Έτσι λοιπόν $\displaystyle\frac{\left ( a^{{2}} +b^{2}-c^{2}\right )\left ( c^{2}+b^{2}-a^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2}-b^{2} \right )}{a^{...

Χρήστο, το έχουμε δει
viewtopic.php?f=171&t=65007&p=314813&hi ... 24#p314813

Η παρακάτω ανισότητα βρέθηκε καθώς ήμουν στο γραφείο των καθηγητών του σχολείου μας... Σε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ να αποδείξετε ότι $\displaystyle \frac{ \left ( a^{2} +b^{2}-c^{^{2}}\right )\left ( c^{2}+a^{2}-b^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}< \frac{8E^{2}r^{2}}{...

Αυτή η άσκηση Γιώργο δόθηκε σε τμήμα Γ Γυμνασίου για το σπίτι με υπόδειξη "Εφαρμόστε τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων". Αν ο διδάσκων διέθεσε αρκετό χρόνο για να διδάξει τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, αν έδωσε στην αίθουσα αρκετά παραδείγματα, τότε καλά έκανε και την έθεσε στα παιδιά. Για τα όσα...

$\left ( x-a \right )^{2}+\left ( x-\beta \right )^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}+x^{2}-2\beta x+\beta ^{2}= 2x^{2}-2\left ( a+\beta \right )x+a^{2}+\beta ^{2}.$ Aπό τη θεωρία που υπάρχει τυπωμένη στο βιβλίο της Γ' Γυμνασίου γνωρίζουμε ότι η ζητούμενη ελάχιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle x=-\frac{-\...

Nα ευχαριστήσω το Θάνο για τη λύση του. Αυτή ήταν και η δική μου σκέψη.
Η ισότητα στην οποία κατέληξε ο Θάνος , η , μας υποδεικνύει
άπειρα τρίγωνα τα οποία έχουν την ιδιότητα που ζητά το θέμα.

Δίνεται τρίγωνο με
.

Nα αποδειχθεί ότι η διάμεσος , το ύψος και η συμετροδιάμεσος συντρέχουν.

O Θάνος έχει μακρά ιστορία στις ανισότητες και φυσικά έπιασε αμέσως την αρχική ιδέα που χρησιμοποίησα για την εύρεση της ανισότητας αυτής... Ας δούμε λίγο την πορεία της σκέψης μου... Ξεκινώ φυσικά από την ανισότητα $\displaystyle\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$ ...

Θα απαντήσω μόνο στο πρώτο ερώτημα.

Πρόκειται για την καμπύλη με εξίσωση

Θα ήθελα να γράψω κάτι για έναν άνθρωπο που γνώρισα πριν από ενάμιση χρόνο. Ο άνθρωπος αυτός λέγεται Παναγής Μαυρογιάννης, συνταξιούχος καπετάνιος του Εμπορικού Ναυτικού. Γεννήθηκε πριν 76 χρόνια στην Κεφαλονιά, τελείωσε το Βαλλιάνειο Γυμνάσιο Κεραμειών το 1965. Τα πήγαινε εξαιρετικά στα Μαθηματικά ...

Aυτό το φαινόμενο που περιγράφεται στη δημοσίευση, με εντυπωσίασε από την εποχή που ήμουν υποψήφιος.

Aν δεν έκανα λάθος...

Nα ευχαριστήσω το Βαγγέλη Μουρούκο για τη λύση. Την άσκηση τη σκέφτηκα βασιζόμενος στο Θεώρημα Ceva. Oι $m_{b},n_{a},g_{c}$ συντρέχουν αν και μόνον αν $\displaystyle \frac{AE}{EC}\cdot \frac{CD}{DB}\cdot \frac{BF}{FA}=1\Leftrightarrow 1\cdot \frac{s-b}{s-c}\cdot \frac{s-b}{s-a}=1\Leftrightarrow...\L...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $\displaystyle a=5, b=\frac{17}{4}, c=3.$ Να αποδειχθεί ότι η $m_{b}$, η σεβιανή $n_{a}$ και η σεβιανή $g_{c}$ συντρέχουν. ΔΙΕΥΚΡΙΝΗΣΗ H σεβιανή $n_{a}$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει την κορυφή $A$ με το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου κύκλου που αντιστοιχεί στην ...

Δίνεται τρίγωνο για το οποίο ισχύει
Nα αποδειχθεί ότι η διάμεσος η διχοτόμος και η συμετροδιάμεσος συντρέχουν.

Oρέστη, στη δημοσίευση που παραπέμπω υπάρχει δική μου λύση χωρίς συντεταγμένες, με Ευκλείδεια Γεωμετρία.