Ο δε Figalli είναι "δικός μας" (normalista) .

Κατ' αρχάς μια απαραίτητη διόρθωση: Το πρόβλημα αναφέρεται σε τετράγωνο πίνακα με ρητά στοιχεία, όχι ακέραια. Έστω $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & -a & -1 & 0 \\ a & -a & 0 & -1 \\ 1 & 0 & a & -a \\ 0 & 1 & a & -a \end{pmatrix}$ και $B^2 = A(a)$. Μετά από πράξεις διαπιστώνουμε ότι το χαρακ...

Θέτουμε $\displaystyle b \equiv \frac{x^2}{a}$ και παίρνουμε $\displaystyle f'(x) = \frac{f(x^2/a) - f(a)}{x^2/a - a}$ για $x \neq a$. Εύκολα αποδεικνύουμε τώρα με επαγωγή ότι η $f$ έχει παράγωγο οποιασδήποτε τάξης. Γράφουμε $f(x) = f(a) + (x-a) f'(\sqrt{ax})$. Παραγωγίζοντας τρεις φορές ως προς $x$...

$( \Longrightarrow )$ Αφού συγκλίνουν οι σειρές $\displaystyle \frac{a_n}{c_n}, \frac{c_n}{b_n}$, προφανώς θα συγκλίνει και ο αριθμητικός μέσος τους $\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{a_n}{c_n} + \frac{c_n}{b_n} \right)$ (στον αριθμητικό μέσο των ορίων). Έτσι, από κριτήριο σύγκρισης, θα συγκλίν...

Ακριβώς γι'αυτό, αν ζητούσες το όριο της -οστής ρίζας της δεδομένης παράστασης δεν θα υπήρχε πρόβλημα. Κάνω λάθος;

Τόλη, πού την ψάρεψες; Αν δεν κάνω λάθος είναι γνωστό αποτέλεσμα από τις ιδιότητες της δεύτερης συνάρτησης Chebyshev ότι το όριο δεν υπάρχει. Συγκεκριμένα, υπάρχει υπακολουθία που τείνει στο και υπακολουθία που τείνει στο .

Προφανώς η ταυτοτική συνάρτηση είναι λύση. Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδική. Έστω $f$ μη ταυτοτική λύση και έστω $n$ ο ελάχιστος αριθμός για τον οποίο $f(n) \neq n$. Ισχύει $f(n) > n$ λόγω του 1-1. Η τροχιά $\mathcal{O}_n$ του $n$ (οι αριθμοί $n, f(n), f(f(n)),...$) είναι υποσύνολο του $\{ n, n+1,....

Μπράβο, στον κύριο Δαφέρμο που παρέβει τον κανόνα του συνεδρίου "The languge to be used is English". Απέδειξε με τον καλύτερο τρόπο πως μπορείς να τιμάς την πατρίδα σου και ταυτόχτονα το πόσο κακή ήταν αυτή η απόφαση της ΕΜΕ. κ. Καλαφάτη, οι υπόλοιποι ομιλητές που έδωσαν ή θα δώσουν την ομιλία τους...

Πολύ ωραία μέχρι εδώ (και το τελικό προϊόν καθόλου άσχημο!). Να προσθέσω, βέβαια, ότι οι μαθητές, για να αναπαραστήσουν το πλακάκι, θα πρέπει να εργαστούν στην μονοτονία, ακρότατα και σημεία καμπής της συνάρτησης.

Σε αναμονή για την υπόλοιπη λύση.

Έστω $\displaystyle x^n + \frac{1}{x^n} = r_n \in \mathbb{Q}$ και $\displaystyle x^{n+1} + \frac{1}{x^{n+1}} = r_{n+1} \in \mathbb{Q}$. Οι ρίζες του πολυωνύμου $P_n (t) \equiv t^{2n} - r_n t^n + 1 \in \mathbb{Q}[t]$ είναι $\displaystyle x e^{2k \pi i / n}, \ \frac{1}{x} e^{2k \pi i / n} \ (k = 0,......

Περνάμε στο πρώτο πρόβλημα, "πρακτικής" υφής. Βάζω σε bold τα ερωτήματα. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Πρέπει να προγραμματίσετε τη λειτουργία μίας μηχανής που χρησιμοποιείται στη βιομηχανική παραγωγή πλακακιών για πατώματα. Τα πλακάκια είναι σχήματος τετραγώνου και τα βήματα της διαδικασίας είναι τα ακόλουθα: - Επιλέ...

Μπράβο σε όλα τα παιδιά, ένα τεράστιο μπράβο στον Ορέστη.

Και τελειώνουμε με τις ασκήσεις... 8. Σε ένα παιχνίδι για δύο, κάθε παρτίδα που κερδίζεται αποφέρει $1$ πόντο. Κερδίζει το παιχνίδι ο πρώτος παίκτης που συγκεντρώνει $10$ πόντους. Παίζουν δύο παίκτες που έχουν ίσες πιθανότητες νίκης σε κάθε παρτίδα. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ένας από τους ...

Πάντως για όποιον θέλει σύγκριση με το Γ των Πανελληνίων, η άσκηση 5 είναι ιδανική. 5. Με σύρμα μήκους 2 μέτρων θέλουμε να περιφράξουμε μία έκταση μορφής ορθογωνίου παραλληλογράμμου που συνορεύει με ημικύκλιο, όπως στην εικόνα. matur.png Υπολογίστε τις πλευρές του ορθογωνίου που μας επιτρέπουν να πε...

Τώρα που έχει αρχίσει να κατακάθεται ο...κουρνιαχτός των Πανελληνίων, θεωρώ καλό να δώσω εδώ τα θέματα των Μαθηματικών στις Ιταλικές απολυτήριες εξετάσεις. Αυτές οι εξετάσεις είναι για τους μαθητές των λεγόμενων "Επιστημονικών Λυκείων" και αποτελούνται από 2 προβλήματα και 10 ασκήσεις. Οι μαθητές κα...

Καλή επιτυχία και από εμένα στις ομάδες της Ελλάδας και της Κύπρου. Ιδιαίτερες ευχές στον Ορέστη Λιγνό.

Τα $n+1$ διανύσματα $v_1, v_2, ..., v_{n+1}$ είναι προφανώς γραμμικώς εξαρτημένα υπεράνω του $\mathbb{R}$. Γράφουμε (μεταθέτοντας κατάλληλα τα διανύσματα) $\displaystyle v_{k+1} = \sum_{i=1}^k c_i v_i$ με $c_i \in \mathbb{R}$ και $v_1,...,v_k$ γραμμικώς ανεξάρτητα $(k \leqslant n)$. Παίρνουμε εσωτερ...

Πρόβλημα 3 Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle f:{{\mathbb{Z}}_{>0}}\to {{\mathbb{Z}}_{>0}}$, όπου ${{\mathbb{Z}}_{>0}}$ είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων, που είναι τέτοιες ώστε ο αριθμός $\displaystyle xf(x)+(f(y))^2+2xf(y)$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, για όλους τους θετικούς...

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n(n+5)} \sum_{k=1}^{n} \;\; \sum \limits_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} \frac{2^k}{\left ( i_1+1 \right )\left ( i_2+1 \right )\cdots \left ( i_k+1 \right )}}$ Γράφουμε $\displaystyle 1 + \sum_{k=1}^{n} \;\; \sum...

Καλημέρα Γιώργο. Το ξέρω, γι' αυτό και ανέφερα ότι πρόκειται για μονότονη σύγκλιση θετικών όρων (μη αρνητικών, αν συνυπολογίσουμε τα μηδενικά στην περίπτωση $k > n$) σε όρια με υπαρκτό άθροισμα στο άπειρο, ώστε να μπορέσω να αντιστρέψω τα όρια. Στην ουσία χρησιμοποιώ το λήμμα Αν για μια μη αρνητική ...