Από την εστία.png Οι εφαπτόμενες στα σημεία $A, B$ μιας παραβολής τέμνονται στο $S,$ ενώ οι εφαπτόμενες στα $A, B$ του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία $A, B, S$ τέμνονται στο $T.$ Να δείξετε ότι η $ST$ διέρχεται από την εστία $E$ της παραβολής. Έστω $A'$ και $B'$ οι προβολές των σημείων $A$ και ...

Οι θετικοί αριθμοί δεν υπερβαίνουν την μονάδα. Να αποδείξετε την ανισότητα

.

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση. Θέματα της 2ης μέρας για την 11η τάξη. 1 Φεβρουαρίου 2024. 1. Ένας δάσκαλος έχει $100$ σταθμά μάζας $1$ γχρ , $2$ χγρ, …, $100$ χγρ. Θέλει να δώσει από $30$ σταθμά στον Γιώργο και στον Νίκο έτσι, ώστε να ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη: καμία εντεκάδα ...

Ποιοί φυσικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν στην μορφή , όπου διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί;

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση. Θέματα της 2ης μέρας για την 10η τάξη. 1 Φεβρουαρίου 2024. 1. Ο Κωνσταντίνος ισχυρίζεται, ότι βρήκε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς $x,y,z$ τέτοιους, ώστε $\dfrac{1}{x^2+x+1} +\dfrac{1}{y^2+y+1} +\dfrac{1}{z^2+z+1} =4 $. Μπορεί άραγε να αληθεύει ο ι...

3. Στην πλευρά $BC$ ενός οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ δίνονται δυο σημεία $P$ και $Q$ τέτοια, ώστε $BP=PQ=QC$. Τα σημεία $X$ και $Y$ των πλευρών $AC$ και $AB$ αντίστοιχα είναι τέτοια, ώστε $PX \perp AC$ και $QY \perp AB$. Να αποδείξετε, ότι το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου $ABC$ ισαπέχει από τ...

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση. Θέματα της 2ης μέρας για την 9η τάξη. 1 Φεβρουαρίου 2024. 1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι $7$ διαφορετικοί αριθμοί, το άθροισμα των οποίων ισούται με $10$. Ο Γιώργος πολλαπλασίασε τον καθένα τους με το άθροισμα των υπόλοιπων έξι και κατέγραψε στο τετράδι...

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση. Θέματα της 1ης μέρας για την 11η τάξη. 31 Ιανουαρίου 2024. 1. Ο Χάρης έχει μια συλλογή από $2024$ διαφορετικά τετραγωνισμένα ορθογώνια διαστάσεων $1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3, \ldots, 1 \times 2024$ (από ένα ορθογώνιο κάθε μεγέθους). Μπορεί άραγε...

(Μάλλον τους ξέφυγε ως θέμα. Για την ποιότητα του εν λόγω διαγωνισμού, μια άσκηση ρουτίνας είναι αστοχία). Δεν είμαι σίγουρος αν ξέφυγε, γιατί τα τελευταία χρόνια τα θέματα είναι πιο εύκολα, ειδικά όταν έγιναν από τέσσερα, πέντε για αυτήν την φάση (αντίστοιχος Ευκλείδης σε μας) και όταν άρχισαν να ...

4. Σε μια σειρά με κάποια διάταξη είναι γραμμένοι από μια φορά όλοι οι φυσικοί αριθμοί από το $1$ έως το $1000$. Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε μερικούς διαδοχικούς στη σειρά γραμμένους αριθμούς, το άθροισμα των οποίων είναι μεγαλύτερο από $100000$, αλλά δεν υπερβαίνει το $100500$. (Σ. Μ...

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση. Θέματα της 1ης μέρας για την 9η τάξη. 31 Ιανουαρίου 2024. 1. Ο Άρης έχει μια συλλογή από $2024$ διαφορετικά τετραγωνισμένα ορθογώνια διαστάσεων $1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3, \ldots, 1 \times 2024$ (από ένα ορθογώνιο κάθε μεγέθους). Μπορεί άραγε, ...

Αρχικά διατυπώνουμε τρεις προτάσεις , που έχουν συζητηθεί εδώ ( η πρώτη μπορεί να δειχθεί από μαθητές ) $1)$ Το εμβαδόν οποιουδήποτε εγγραψίμου τετραπλεύρου με πλευρές $a , b , c , d$ , είναι ανεξάρτητο από την σειρά με την οποία τοποθετούνται οι πλευρές . $2)$ Το εμβαδόν οποιουδήποτε τετραπλεύρου ...

2. Στο τετράεδρο $ABCD$ οι γωνίες $BAD$ και $BCD$ είναι ορθές. Στο επίπεδο $ABC$ από το σημείο $B$ φέρουμε την εφαπτομένη προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABC$. Να αποδείξετε, ότι είναι κάθετη προς την ευθεία $BD$. Εφόσον $BAD=BCD=90^0$, τότε τα σημεία $A,B,C,D$ βρίσκονται σε σφαίρα διαμ...

Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239, Αγίας Πετρούπολης Θέματα των τάξεων 8η και 9η για το 2007. 1. Το καθένα από δυο μονικά (μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με $1$) δευτεροβάθμια τριώνυμα έχει από δυο ρίζες. Η ρίζα της διαφοράς αυτών των τριώνυμων είναι ίση με το ημιάθροισμα όλω...

Θα ήθελα να κάνω ένα σχόλιο ή μάλλον μία σύγκριση των θεμάτων Γεωμετρίας της Β Λυκείου και της Β Γυμνασίου. Από τη μια έχουμε ένα πανεύκολο θέμα στο Λύκειο, το οποίο λύνεται σε μία σειρά με γυμνασιακή τριγωνομετρία και στον αντίποδα ένα θέμα Γυμνασίου που οι μαθητές δεν μπορούν καν να σχεδιάσουν το...

Α' Λυκείου. Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι το πηλίκο $A = \dfrac{n^{10} -n^6-n^4+1}{n^7-n^6-n+1}$ είναι σύνθετος ακέραιος, για κάθε ακέραιο $n \geq 2$. Λύση. Εκτελούμε την διαίρεση των πολυωνύμων του αριθμητή προς τον παρονομαστή του ζητούμενου κλάσματος και βρίσκουμε: $\begin{tabular}{c|l} n^{10} -...

Να βρεθεί ο γεωμ. τόπος των σημείων των οποίων το άθροισμα των δυνάμεων ως προς τρεις δοσμένες σφαίρες $\left( {{S}_{1}} \right),\,\,\left( {{S}_{2}} \right),\,\,\left( {{S}_{3}} \right)\,\,$ είναι ίσον προς μηδέν. Έστω $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ τα κέντρα και $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ τα μήκη των ακτινών τ...

4. Στο τρίγωνο $ABC$ φέρθηκε η διχοτόμος $BL$. Στο τμήμα $CL$ διαλέχθηκε τέτοιο σημείο $E$, ώστε $CL \cdot EL = AL^2$. Προέκυψε, ότι $BC=CE+AB$. Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές. Θεωρούμε σημείο $D$ στην πλευρά $BC$, ώστε $BA=BD$. Για τα τρίγωνα $ABL$, $DBL$ ισχύει $BL$ κοινή πλε...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023 1. Το σχολείο $\text No 1$ του οικισμού Μετέλκινο έχει $800$ θέσεις και φοιτούν σε αυτό $1450$ μαθητές. Το σχολείο $\text No 2$ έχει $900$ θέσεις και φοιτούν $1350$ μαθητές. Αν το ένα τρίτο το κοριτσ...

Για τις αποστάσεις, λοιπόν, του $ P$ από τις ευθείες $AB, CD$ ισχύει η παραπάνω σχέση που, ως γνωστό , δίνει μια ευθεία για γ τ. του $P.$ Τώρα, όμως, η κατασκευή της, λόγω του $S,$ πως μπορεί να γίνει με απλό τρόπο; Πράγματι. Έστω $Q$ το σημείο τομής των ευθειών $AB$ και $CD$. Στις ημιευθείες $QA, ...