Η αναζήτηση βρήκε 1821 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Κυρ Μαρ 12, 2023 6:14 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 942
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)
Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023, 3η φάση. Θέματα της 1ης μέρας για την 10η τάξη. 13 Φεβρουαρίου 2023. 5. Στο οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ φέρθηκε το ύψος $BD$ και σημειώθηκε το σημείο τομής των υψών του $H$. Η μεσοκάθετος του τμήματος $HD$, τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $BCD$, στα σημε...
- Κυρ Μαρ 12, 2023 5:19 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 942
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)
Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023, 3η φάση. Θέματα της 1ης μέρας για την 10η τάξη. 13 Φεβρουαρίου 2023. 4. Δίνονται τρεις φυσικοί αριθμοί $a,b,c$ τέτοιοι, ώστε $a>1, b> c>1$ και ο αριθμός $abc+1$ διαιρείτε με τον αριθμό $ab-b+1$. Να αποδείξετε, ότι ο $b$ διαιρείται με τον $a$. (Μ. Αντίποβ) Από το...
- Κυρ Μαρ 12, 2023 3:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 942
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)
Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023, 3η φάση. Θέματα της 1ης μέρας για την 10η τάξη. 13 Φεβρουαρίου 2023. 4. Δίνονται τρεις φυσικοί αριθμοί $a,b,c$ τέτοιοι, ώστε $a>1, b> c>1$ και ο αριθμός $abc+1$ διαιρείτε με τον αριθμό $ab-b+1$. Να αποδείξετε, ότι ο $b$ διαιρείται με τον $a$. (Μ. Αντίποβ) Από το...
- Κυρ Μαρ 12, 2023 1:51 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 544
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023, 3η φάση. Θέματα της 2ης μέρας για την 10η τάξη. 14 Φεβρουαρίου 2023. 4. Δίνεται ένας φυσικός αριθμός $k$. Κατά μήκος ενός δρόμου είναι τοποθετημένες $n$ κολόνες ανά ίσα διαστήματα. Ο Μιχάλης τις χρωμάτισε με $k$ χρώματα και για κάθε ζεύγος κολόνων του ίδιου χρώμ...
- Κυρ Μαρ 05, 2023 11:03 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 857
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021/22. Θέματα της 1ης μέρας της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 4 Φεβρουαρίου 2022. 5. Στον κύκλο $\Omega$ είναι εγγεγραμμένο το εξάγωνο $AECDBF$. Είναι γνωστό ότι το σημείο $D$ είναι το μέσο του τόξου $BC$ και τα τρίγωνα $ABC$ και $FED$ έχουν κοινό εγγεγραμμέν...
- Σάβ Μαρ 04, 2023 1:51 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 625
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)
2. Στον πίνακα έγραψαν $99$ αριθμούς, μεταξύ των οποίων δεν υπάρχουν ίσοι. Στο τετράδιο έγραψαν $\dfrac{99 \cdot 98}{2}$ αριθμούς, όλες τις διαφορές δυο αριθμών του πίνακα (κάθε φορά από μεγαλύτερο αριθμό αφαιρέθηκε μικρότερος). Προέκυψε, ότι στο τετράδιο ο αριθμός $1$ είναι γραμμένος ακριβώς $85$ ...
- Παρ Φεβ 24, 2023 12:04 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 851
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO
Πρόβλημα 3: Δίνονται κύκλοι $(K_1, R_1)$ και $(K_2, R_2)$ με $R_1 \neq R_2$, που εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο $A$. Έστω $(\varepsilon)$ μια κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων που δεν διέρχεται από το σημείο $A$. Η κάθετη στην ευθεία $(\varepsilon)$ που διέρχεται από το σημείο $A$ τέμνει τη μεσοκάθε...
- Σάβ Φεβ 11, 2023 10:55 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Ανισότητα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 761
Re: Ανισότητα
Να δειχθεί ότι για θετικούς αριθμούς $a,b, c$ ισχύει: $\displaystyle{\left ( ab + bc + ca \right ) \sqrt{\frac{a+b+c}{abc}} \leq \sqrt{3} \left ( \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \right )}$ Από το Μαθηματικό Εργαστήρι ... Θέτουμε $a+b+c=p, \, ab+bc+ca=q$ και $abc=r$, οπότε αρκεί να αποδεί...
- Σάβ Φεβ 11, 2023 10:47 pm
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Διπλή ανισότητα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 504
Re: Διπλή ανισότητα
Για $n>2$, να αποδείξετε την παρακάτω διπλή ανισότητα: $\displaystyle\frac{1}{2}<\int_{0}^{\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{1-{{x}^{n}}}}\,dx<\displaystyle\frac{\pi }{6}}$. Αρχικά, θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_{0}^{1/2} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} ...
- Πέμ Φεβ 02, 2023 8:55 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
- Απαντήσεις: 11
- Προβολές: 1261
Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
β) Αρκεί η εν λόγω εφαπτομένη να είναι παράλληλη στην $BC,$ αρκεί δηλαδή $\angle ATP=\angle APT\Leftrightarrow AT=AP.$ Μετά έχω λύση με τριγωνομετρία, θέλω γεωμετρική.. :) :) Είναι $\angle CTE=\angle ADB/2$ και $\angle ZPB=\angle ADC/2$. Από εδώ και πέρα αγνοούμε τα σημεία $N,L$. Έστω $M,N$ τα μέσα...
- Κυρ Ιαν 29, 2023 8:00 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 698
Re: Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!
Ευχαριστώ πολύ κ. Μιχάλη για τη λύση. Βάζω και τη δική μου. Έστω $\epsilon>0$. Υποθέτουμε πως $f(q) \leq M-\epsilon$ για κάθε ρητό $q \in (0,1)$. Αφού $M=\sup \{ f(x) : x \in (0,1) \}$, υπάρχει $r \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $f(r)>M-\epsilon$. Θεωρούμε ακολουθία $(a_n)$ ρητών αριθμών τέτοια ώστε $a_n \ri...
- Σάβ Ιαν 28, 2023 1:53 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 698
Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!
Το παρακάτω πρόβλημα αποτέλεσε θέμα της χθεσινής εξέτασης του μαθήματος πρώτου εξαμήνου "Ανάλυση Ι & Εφαρμογές" του Φυσικού τμήματος του ΕΚΠΑ. Έχω βρει μια λύση αλλά πιστεύω υπάρχει κάτι απλούστερο που μου διαφεύγει. Έστω $f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ μια συνεχής και άνω φραγμένη συνάρτηση, και ...
- Σάβ Ιαν 28, 2023 9:34 am
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- Θέμα: Είναι ακέραιος!
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 899
Re: Είναι ακέραιος!
Αν ο $[1,2, \dots, 2n]$ δηλώνει το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των αριθμών $1,2, \dots, 2n$ τότε να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{\left [ 1, 2, \dots, 2n \right ]}{\binom{2n}{n}} \in \mathbb{N}}$ Έστω $p$ τυχαίος πρώτος και $k \in \mathbb{N}$ τέτοιο, ώστε $p^k \leq n < p^{k+1}$. Τότε, είναι $p^k ...
- Τρί Ιαν 24, 2023 8:57 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Περίεργα φυσικός
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 991
Re: Περίεργα φυσικός
Οι αριθμοί ${{a}_{1}},\,\,{{a}_{2}},\,\,{{a}_{3}},\,\,\ldots ,\,\,{{a}_{n}}$ προκύπτουν από τους ${{a}_{0}}=0,\,\,{{a}_{1}}=1$ και της αναδρομικής σχέσης ${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}}$ για $n\ge 2$. Να δειχθεί ότι η $\displaystyle\sqrt[3]{2a_{n}^{6}-2a_{n-1}^{6}+{{(-1)}^{n}}}$ είναι φυσικός αρ...
- Τρί Ιαν 17, 2023 11:36 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 15389
Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 16 Δείξτε ότι για κάθε άρρητο αριθμό $a$, υπάρχουν άρρητοι πραγματικοί αριθμοί $b, b'$, τέτοιοι ώστε $a+b$ και $ab'$ να είναι ρητοί ενώ $ab$ και $a+b'$ να είναι άρρητοι Πηγή: Asian Pacific Math Olympiad 2005 Προφανώς $a \neq 0$, αφού ο $a$ είναι άρρητος. Ισχυρισμός 1: Είτε το $b=1-a$ είτε το...
- Δευ Ιαν 09, 2023 12:13 pm
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Μηδενική συνάρτηση
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 475
Re: Μηδενική συνάρτηση
Έστω $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε $\lambda \in \mathbb R$ ισχύει $\displaystyle{\int_0^1f(\lambda x)dx=0}$. Δείξτε ότι η $f$ είναι η μηδενική συνάρτηση. Για $\lambda \neq 0,$ θέτουμε $\lambda x =u$, οπότε $\lambda dx=du$ και συνεπώς $\displaystyle 0...
- Δευ Ιαν 09, 2023 12:08 pm
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
- Απαντήσεις: 389
- Προβολές: 128386
Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 122 Να βρεθεί το $ \displaystyle{\int \dfrac {\sin ^3 x + \cos ^3 x}{\sin x+\cos x} \, dx$ Είναι, $\displaystyle \int \dfrac {\sin ^3 x + \cos ^3 x}{\sin x+\cos x} \, dx=\int (\sin^2 x -\sin x \cos x+\cos^2 x) \, dx = \int (1-\sin x \cos x) \, dx=$ $\displaystyle \int (1-\dfrac{\sin 2x}{2}) ...
- Κυρ Ιαν 08, 2023 1:03 pm
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Ολοκλήρωμα (3)
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 394
Re: Ολοκλήρωμα (3)
Να αποδείξετε την παρακάτω διπλή ανισότητα. $\displaystyle\ln \frac{\sqrt{2009}+\sqrt{2010}}{\sqrt{2008}+\sqrt{2009}}<\displaystyle\int_{\sqrt{2008}}^{\sqrt{2009}}{\frac{\sqrt{1-{{e}^{-{{x}^{2}}}}}}{x}}dx<\sqrt{2009}-\sqrt{2008}$. Είναι, $\dfrac{\sqrt{1-e^{-x^2}}}{x} < \dfrac{\sqrt{1-(-x^2+1)}}{x}=...
- Σάβ Δεκ 31, 2022 10:44 am
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Κάθε ένας διαιρείται με μια τέλεια δύναμη
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 768
Re: Κάθε ένας διαιρείται με μια τέλεια δύναμη
Ονομάζουμε έναν φυσικό αριθμό $n$ όμορφο αν ο $n$ διαιρείται με ένα τέλειο τετράγωνο, ο $n+1$ με έναν τέλειο κύβο και ο $n+2$ με μια τέλεια τέταρτη δύναμη. (α) Να δείξετε ότι ο $2023$ είναι όμορφος. (β) Αποφασίστε αν υπάρχουν άπειροι όμορφοι αριθμοί ή όχι. (α) Είναι $17^2 \mid 2023$, $2^3 \mid (202...
- Δευ Δεκ 26, 2022 10:25 am
- Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
- Θέμα: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
- Απαντήσεις: 51
- Προβολές: 7331
Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Άσκηση 14 (Ιούνιος 1964) . Έστω $ABC$ δεδομένο τρίγωνο με $b\ne c$ και $c\ne b$. Μία μεταβλητή ευθεία τέμνει τις πλευρές $AB, \, AC$ στα σημεία $P,\, Q$, αντίστοιχα, και χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά μέρη. Δείξτε ότι όταν το μήκος $PQ$ πάρει την ελάχιστη τιμή του τότε το τρίγωνο $APQ$ είναι ...