Επιτρέπεται να απαιτήσουμε ότι η εξίσωση $\displaystyle{P(x)=ax+b}$ έχει πολλαπλή ρίζα; NAI :clap2: [Ή τουλάχιστον έτσι το βλέπω εγώ, οι κατέχοντες την Ιστορία ίσως να έχουν να πουν κάτι παραπάνω...] Στην περίπτωση της παραβολής -- αλλά και κάθε κωνικής τομής -- είναι ξεκάθαρο, λόγω βαθμού $2$, ότι...

matha έγραψε: ↑

Παρ Δεκ 01, 2023 2:59 pm

Επιτρέπεται να απαιτήσουμε ότι η εξίσωση έχει πολλαπλή ρίζα;

NAI

[Ή τουλάχιστον έτσι το βλέπω εγώ, οι κατέχοντες την Ιστορία ίσως να έχουν να πουν κάτι παραπάνω...]

Είστε μαθηματικός σε κάποια Ευρωπαϊκή Αυλή λίγο μετά την εισαγωγή/ανακάλυψη της Αναλυτικής Γεωμετρίας* ... και η νεαρή Πριγκήπισσα σας ρωτάει αν μπορείτε να της δείξετε έναν τρόπο εύρεσης της εξίσωσης εφαπτομένης σε τυχόν σημείο πολυωνυμικής καμπύλης: ζωγραφίζει ίσως μία συγκεκριμένη τριτοβάθμια ή ...

Είστε μαθηματικός σε κάποια Ευρωπαϊκή Αυλή λίγο μετά την εισαγωγή/ανακάλυψη της Αναλυτικής Γεωμετρίας* ... και η νεαρή Πριγκήπισσα σας ρωτάει αν μπορείτε να της δείξετε έναν τρόπο εύρεσης της εξίσωσης εφαπτομένης σε τυχόν σημείο πολυωνυμικής καμπύλης: ζωγραφίζει ίσως μία συγκεκριμένη τριτοβάθμια ή τ...

Τελικά υπάρχει λίστα έτοιμη στο Wikipedia. Μια που το έκανα pdf το δίνω και παρακάτω. https://www.docdroid.net/o2XCzXp/list-of-unsolved-problems-in-mathematics-pdf Λείπει το πρόβλημα της Απεριοδικής Μονοψηφίδας, που λύθηκε φέτος και παρουσίασα κάπως εδώ . Κατά ευτυχή σύμπτωση, μόλις τον περασμένο μ...

Τολη λίγο δύσκολο το βλέπω να λύνεται με το χέρι, το λογισμικό μού δίνει, πέραν του , τις λύσεις και

Ας γράψουμε $s(m)$ για το άθροισμα των ψηφίων του $m$. Αν $n \equi 1 \bmod 3$, τότε $n^2 \equiv n^3 \equiv 1 \bmod 3$, άρα $s(n^2) + s(n^3) \equiv 2 \bmod 3$, άτοπο αφού $s(n) + s(n^2) = 45$. Ομοίως απορρίπτονται οι $n \equiv 2,5 \bmod 9$. Απορίπτοντας επίσης τους λήγοντες σε $0,1,5,6$ μένει να ελέ...

Δεν ξέρω τι λύση παρουσίασε η εφημερίδα ('Βήμα") στο πρόβλημα που μου ανέφερε φίλος, ας προσπαθήσουμε εδώ να την κάνουμε όσο το δυνατόν λιγότερο 'εξοντωτική' (κατά το exhaustive search): Να βρεθεί ο μοναδικός ακέραιος με την εξής ιδιότητα: μαζί στο τετράγωνο του και στον κύβο του εμφανίζονται και τα...

Διπλή εφαρμογή τριγωνικής ανισότητας στα τρίγωνα

όπου ... καθώς

Για διάμετρο $2R$ ... προκύπτει εμβαδόν $E$ σταθερά ίσο προς $\dfrac{R^2}{2}:$ Θέτοντας $O=(0,0), T=(a,0), P=(a,\sqrt{R^2-a^2}), S=(a-\sqrt{R^2-a^2}),$ παρατηρούμε ότι η εξίσωση της $SL$ είναι η $y=-x+a-\sqrt{R^2-a^2},$ οπότε η τομή της με το (άνω) ημικύκλιο $x^2+y^2=R^2$ προκύπτει, μέσω $x^2+(a-x)^...

H ιδέα στα παραπάνω είναι να μελετήσουμε τις Πτολεμαϊκές διαφορές τύπου $AB\cdot CD+BC\cdot AD-AC\cdot BD$ επί κύκλων με κέντρο το περίκεντρο $O$ του $ABC,$ $\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{5}{2}\right)$ στην συγκεκριμένη περίπτωση. Πρωτίστως στον περίκυκλο του $ABC$ (ακτίνας $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\appro...

[Βεβαίως οι παραπάνω δύο ανισότητες μπορεί να είναι αυστηρές ακόμη και όταν το $ABCD$ είναι εγγράψιμο (τετράγωνο πχ), γενικώς θεωρώ ότι δεν έχω κατανοήσει 'πλήρως' το θέμα, ίσως επανέλθω..] Διάφοροι πειραματισμοί και η απαραίτητη τριγωνομετροποίηση του προβλήματος (και του αρχικού παραδείγματος $A=...

Το ότι υπήρχε λάθος πριν, μπορούσαμε να το φανταστούμε από την περίπτωση της ισότητας. Πράγματι, τώρα η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $(x - 1/2)^2 + (y + 5/2)^2 = 25/2$, δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο $(x,y)$ ανήκει στον κύκλο που περνάει από τα τρία δοθέντα σημεία. Υ.Γ. Με προλάβατε με την πλήρη ...

Μια και κάτι έγραψα εδώ περί αναλυτικής απόδειξης (και 'γενίκευσης') Ανισότητας Πτολεμαίου, ας το δούμε λίγο ... αν και η απόδειξη δεν έχει ολοκληρωθεί ... καθώς κάποια θέματα που τίθενται μπορεί να έχουν μεγαλύτερη αξία από την ίδια την απόδειξη ;) Ας πάρουμε λοιπόν ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, $A...

Μια και κάτι έγραψα εδώ περί αναλυτικής απόδειξης (και 'γενίκευσης') Ανισότητας Πτολεμαίου, ας το δούμε λίγο ... αν και η απόδειξη δεν έχει ολοκληρωθεί ... καθώς κάποια θέματα που τίθενται μπορεί να έχουν μεγαλύτερη αξία από την ίδια την απόδειξη ;) Ας πάρουμε λοιπόν ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, $A...

Σκέφθηκα λοιπόν, με βάση τα παραπάνω περιπετειώδη, να εξετάσω όχι την συνάρτηση (δύο μεταβλητών) στην οποία ανάγεται (ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο) η $BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD $ ... αλλά την συνάρτηση που εκφράζει άμεσα την μη αρνητική διαφορά $AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD$,...

Σκέφθηκα λοιπόν, με βάση τα παραπάνω περιπετειώδη, να εξετάσω όχι την συνάρτηση (δύο μεταβλητών) στην οποία ανάγεται (ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο) η $BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD $ ... αλλά την συνάρτηση που εκφράζει άμεσα την μη αρνητική διαφορά $AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD$,...

Σκέφθηκα λοιπόν, με βάση τα παραπάνω περιπετειώδη, να εξετάσω όχι την συνάρτηση (δύο μεταβλητών) στην οποία ανάγεται (ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο) η $BC\cdot AD\leq AB\cdot CD+AC\cdot BD $ ... αλλά την συνάρτηση που εκφράζει άμεσα την μη αρνητική διαφορά $AB\cdot CD+AC\cdot BD-BC\cdot AD$, ...

Μια και κάτι έγραψα εδώ περί αναλυτικής απόδειξης (και 'γενίκευσης') Ανισότητας Πτολεμαίου, ας το δούμε λίγο ... αν και η απόδειξη δεν έχει ολοκληρωθεί ... καθώς κάποια θέματα που τίθενται μπορεί να έχουν μεγαλύτερη αξία από την ίδια την απόδειξη ;) Ας πάρουμε λοιπόν ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, $A...

Μια και κάτι έγραψα εδώ περί αναλυτικής απόδειξης (και 'γενίκευσης') Ανισότητας Πτολεμαίου, ας το δούμε λίγο ... αν και η απόδειξη δεν έχει ολοκληρωθεί ... καθώς κάποια θέματα που τίθενται μπορεί να έχουν μεγαλύτερη αξία από την ίδια την απόδειξη ;) Ας πάρουμε λοιπόν ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, $A...