Ένα τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι $AD$ ένα από τα ύψη του. Αν $G$ είναι το βαρύκεντρο του $ABC$ και η ευθεία $DG$ τέμνει τον (C) στο $P$ , να αποδειχθεί ότι $GP=2GD$. thmima2019.PNG Δεν είναι άμεσο από την αρνητική ομοιοθεσία κέντρου G που στέλνει τον κύκλο Euler στον π...

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑

Σάβ Μαρ 30, 2019 5:35 pm

Συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες! Έχω την εντύπωση ότι τα θέματα δεν έπρεπε να δημοσιευτούν. Αν επιτρέπεται όμως έχω και στην κατοχή μου των μεγάλων! Ας μας διαφωτίσει κάποιος

Των μεγάλων δεν επιτρέπεται από ό,τι άκουσα.

Βάζω τα θέματα σε φωτογραφίες όπως πάντα γιατί είμαι στο εξεταστικό κέντρο...καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά!!IMG_20190223_111022.jpgIMG_20190223_110955.jpg Θα κάνω τον δικηγόρο του διαβόλου και θα πω ότι το 4o θέμα σηκώνει μεγάλες παρεξηγήσεις. Η εκφώνηση λέει «τον ελάχιστο αριθμο μαύρων πιονιώ...

Δόθηκε διευκρίνιση ότι δεν ισχύει το παραπάνω (αρκεί). Βέβαια έπειτα από ερώτηση μαθητή

Για το $4$ των μικρών. Σε καμία περίπτωση δεν γίνεται οι $5a-2b$, $3a-4b$ να είναι και οι δύο πολλαπλάσια των $3$ εκτός αν $3|a,b$. Συνεπώς, πάντα θα υπάρχει κάποιος που δεν διαιρείται με το $3$, αφού αν wlog $x$ ο τελευταίος που δεν διαιρείται από αυτό τότε θα επιλεχθεί μαζί με πολλαπλάσιο του $3$...

Για το $4$ των μικρών. Σε καμία περίπτωση δεν γίνεται οι $5a-2b$, $3a-4b$ να είναι και οι δύο πολλαπλάσια των $3$ εκτός αν $3|a,b$. Συνεπώς, πάντα θα υπάρχει κάποιος που δεν διαιρείται με το $3$, αφού αν wlog $x$ ο τελευταίος που δεν διαιρείται από αυτό τότε θα επιλεχθεί μαζί με πολλαπλάσιο του $3$ ...

Διαφορετικά με δύναμη σημείου και νόμο συνημιτόνων προκύπτει ότι οι εφαπτομένες των δύο γωνιών είναι ίσες από όπου προκύπτει το ζητούμενο.

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑

Πέμ Φεβ 07, 2019 7:29 am

Καλησπέρα σας. Αν για ένα πολυώνυμο ισχύει για κάθε τότε μπορώ να συμπεράνω ότι το πολυώνυμο είναι σταθερό;

Ναι. Αν θεωρήσεις μια ρίζα (υποθέτεις ότι δεν είναι μηδενικό) τότε παίρνεις άπειρο πλήθος ριζών, που είναι άτοπο. Άρα σταθερό.

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την

http://11dim-evosm.thess.sch.gr/old/online/glossa/orthpoly/index.htm Το επίθετο πολύς - πολλή - πολύ συνοδεύει |ουσιαστικά| και κλίνεται και στα τρία γένη. Το επίρρημα πολύ δεν κλίνεται και συνοδεύει ρήματα, επιρρήματα, επίθετα ή μετοχές.

Τόλη, δεν κάνεις καλά να δίνεις λύση, έστω σε hide, για απλές ασκήσεις όταν κάποιος είναι σε διαδικασία μάθησης. Μία υπόδειξη θα ήταν αρκετή (και ΠΟΛΛΗ χρήσιμη στον ίδιο). Π.χ. δες τι έγραψα παραπάνω: Γράψε το ποστ σου σε Latex όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας (τους διάβασες άραγε;), και ...

Αρκεί κάθετη της ή ισοδύναμα διάμετρος του κύκλου . Από γνωστή ομοιοθεσία διχοτομεί την . Άρα . Συνεπώς, ο είναι απολλώνιος κύκλος ως προς την άρα το κέντρο του θα είναι στην .

Δεν χρειάζεται καν το δεδομένο ότι πρώτος.

Το γνωρίζω και ζητώ συγνώμη.

Να βρεθούν όλες οι ώστε για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων να ισχύει ότι . Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και το ορθόκεντρο . Αν η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο και είναι η προβολή του στην διάμεσο , να προσδιοριστεί σημείο πάνω στην ώστε ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.

Είναι άμεσο με επαγωγή στο πλήθος των ψηφίων και λίγη φαντασία για το πώς θα κολληθούν τα κομμάτια στην περίπτωση που έχουμε δύο εξωτερικά $1$αρια ή δύο $0$ικα.(ουσιαστικά και αυτό άμεσα προκύπτει αφού διαφορετικά θα πρέπει σε κάθε substring με αρχή ένα από τα δύο εξωτερικά να υπερτερεί το πλήθος τω...

Κάτι δεν πάει καλά με την εκφώνηση... (μάλλον είναι οι προβολές του $E$ στις $AB$ και $CD$) Λίγο βιαστικά: Έστω $S, T$ οι προβολές του $E$ στις $AB, CD$ αντίστοιχα και $R$ το σημείο τομή των $FG$ και $OE$. Έστω ακόμη $K$ το σημείο τομής των $AB, CD$. Καταρχάς αφού $\widehat{ESK}=\widehat{ETK}=90^o$...

Δίνεται τετράπλευρο $ABCD$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma$ κέντρου $O$. Έστω $E$ το σημείο τομής των $CD$ και $BA$ και $EF$, $EG$ τα εφαπτόμενα στον $\Gamma$ τμήματα. Να αποδειχτεί ότι το σημείο τομής των $OE$ και $FG$, οι προβολές του $E$ στις $AD$ , $BC$ και το $E$ είναι ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχ...