Πολλά συγχαρητήρια στους συμμετέχοντες στην κορυφαία μαθητική διοργάνωση για τα μαθηματικά στον κόσμο!! Όλα τα παιδιά της αποστολής είναι ένας κι ένας!! Χαρηκα ιδιαίτερα που φύγατε όλοι με έπαινο και μετάλλιο... Δεν είναι και λίγο πράγμα να λύνεις πλήρως ένα ολόκληρο πρόβλημα όταν τα θέματα είναι τό...

Χρόνια πολλά αγαπητέ Στάθη!! Πολύχρονος και καλόχρονος!

Αλέξανδρος

Θερμά συγχαρητήρια σε όλη την ελληνική αποστολή καθώς και σε αρχηγό, υπαρχηγό για τις εξαιρετικές επιδόσεις των μαθητών μας (6 στα 6 μετάλλια) στη (διαδικτυακή) JBMO 2020. Να σημειώσω επίσης ότι η Ελληνική Αποστολή κατέλαβε την 3η θέση με συνολικά 137 βαθμούς που είναι η καλύτερη θέση που έχει πετύχ...

Πρόβλημα 4 (Αλβανία) Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί $p$ και $q$ έτσι ώστε ο αριθμός $1+\dfrac{p^q-q^p}{p+q}$ να είναι πρώτος. Αλέξανδρος Η δική μου προσέγγιση στο θέμα: Έστω $1+\dfrac{p^q-q^p}{p+q}=r$, $r$ πρώτος. Τότε $p^q-q^p=(p-1)(p+q) \ \ (1)$. Παίρνοντας $mod p$ και με τη βοήθεια του μικρού...

Καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές μας και ιδιαίτερα της Ελλάδας και της Κύπρου! Συγχαρητήρια στο Δημήτρη Χριστοφίδη για το πρόβλημα 3 του διαγωνισμού!! Τα θέματα: Πρόβλημα 1 (Αλβανία) Να βρεθούν όλες οι τριάδες πραγματικών αριθμών $(a,b,c)$ που αποτελούν λύση του συστήματος των εξισώσεων: $a+b+c=\...

Αγαπητοί φίλοι σας ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σας!! Να είμαστε πάντα καλά, υγιείς, ευτυχισμένοι και δημιουργικοί! Εύχομαι να έχουμε μία καλή σχολική χρονιά με όσο το δυνατόν λιγότερα προβλήματα!

Τις ευχές μου και στο συνονόματο Αλέξανδρο Κουτσουρίδη!

Αλέξανδρος

Ελάχιστα διαφορετικά:

Αφού άρα ο είναι περιττός, έστω συνεπώς . Αντικαθιστώντας τώρα έχουμε .

Αλέξανδρος

Θεωρώ ότι τώρα αποκαταστάθηκε το πρόβλημα το οποίο δεν είχε να κάνει με το mathematica αλλά με το server ο οποίος δεχόταν DDOS attack από διάφορες IP's στο εξωτερικό. Ευτυχώς εντοπίσθηκε το πρόβλημα και τώρα θεωρούμε (και ευελπιστούμε) ότι δε θα έχουμε κάτι ανάλογο σύντομα. Οφείλω να ευχαριστήσω (εκ...

Το πρώτο μου βγήκε εύκολα, υπέθεσα οτι το $p \in \mathbb{Q}$ ... To ότι η άλλη περίπτωση είναι το p να είναι άρρητος πως θα μπορούσα να το ξεκινήσω; Αρχικά φαντάζομαι ότι τα $\gamma_i$ είναι ακέραιοι. Έχεις ήδη ολοκληρώσει την απόδειξη. Διακρίνεις την περίπτωση $p \in \mathbb{Q}$ και έδειξες ότι $p...

Αγαπητέ Ροδόλφε, Σ' ευχαριστούμε πολύ για την παρουσία σου εδώ για τις σκέψεις σου και για τις όμορφες λύσεις σου! Σου εύχομαι από καρδιάς καλή συνέχεια σε ό,τι κι αν κάνεις και θα μας χαροποιεί ιδιαίτερα η παρουσία σου στο mathematica! Έτσι κι αλλιώς όλοι μας είμαστε πρωτίστως απλά μέλη της μεγάλης...

Λογαριθμίζουμε με βάση το $2021$ και καταλήγουμε άμεσα στην εξίσωση $\left(\log_{2021}x\right)^2=9\log_{2021}x$ με ρίζες τις $x=1, \ x=9^{2021}$ ( Edit: Η εξίσωση δεν είναι σωστή λόγω λάθους στην εφαρμογή ιδιότητας λογαρίθμων. Το αφήνω για τα 3 τελευταία ψηφία του $9^{2021}$. Για τη σωστή λύση δείτε...

Μία προτεινόμενη ιδέα πίσω από αυτή την άσκηση είναι η εξίσωση Pell $x^2-3y^2=1 \ \ (1)$ η οποία έχει άπειρες λύσεις $(x_n,y_n)$. Τότε επιλέγοντας $(a,b,c)=(2y_n-x_n,2y_n,2y_n+x_n)$ παίρνουμε ότι $ab+1=4y_n^2-2x_ny_n+1=3y_n^2+y_n^2-2x_n+1 \stackrel{(1)}{=} x_n^2-1+y_n^2-2x_ny_n+1 = (x_n-y_n)^2$ $bc+...

Προφανώς το ζητούμενο ανάγεται στον προσδιορισμό του $\sqrt{ab}$ με τη χρήση τριχιάς η οποία ταυτόχρονα μπορεί να παίξει και το ρόλο του διαβήτη. Φαντάζομαι ότι αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, τον κλασσικότερο από τους οποίους παρουσιάζω παρακάτω. Λοιπόν αρχικά θεωρούμε τα σημεία $O(0,0),...

Θέτουμε η οποία είναι αντιστρέψιμη με . Έτσι η εξίσωση γίνεται

και η συνέχεια είναι γνωστή!

Αλέξανδρος

Συμφωνώ μαζί σου τη στιγμή που πχ το $\lambda=-\dfrac{19}{6}$ αποτελεί αντιπαράδειγμα με 2 αρνητικές (και ρητές) ρίζες. Μάλιστα τη στιγμή που οι ρίζες είναι ετερόσημες (άρα $\alpha \gamma <0$) είναι περιττό να απαιτήσουμε τη διακρίνουσα θετική. Πρέπει και αρκεί λοιπόν να είναι $P<0$ και $S<0$. Αλέξα...

Αγαπητοί φίλοι καλημέρα, Δυστυχώς ο καλός συνάδελφος Δημήτρης Κατσίποδας δεν είναι πια μαζί μας!! Άφησε χθες την τελευταία του πνοή ξαφνικά στα 42 του χρόνια! Το Δημήτρη τον γνωρίσαμε εδώ στο mathematica και μας φιλοξένησε στο συνέδριο της ΕΜΕ στην Καλαμάτα το 2012 κάνοντας τα πάντα για να νιώσουμε ...

Αλέξανδρε έχω την περιέργεια πως δοκίμασες αυτήν την τιμή, δηλαδή πως έφτασες σε αυτό το συμπέρασμα; Χρήστο καλημέρα. Ο Μ. Λάμπρου τα είπε όλα παραπάνω! Ήθελα μια σχέση που να μην έχει $b$ για να τη συνδέσω με την $P(0)\geq 0$. Απομόνωσα λοιπόν τους όρους του πολυωνύμου που το περιείχαν και είδα τι...

Έστω $P(x)=\alpha x^4+bx^3+cx^2+\frac{4\sqrt{2}-b}{2}x+\frac{8-\alpha-2c}{8}$ ένα πολυώνυμο με $\alpha, b, c \epsilon \mathbb{R}}$. Αν για κάθε $x\epsilon \left [ -1,1 \right ]$ ισχύει $P(x)\geq 0$. Να βρείτε τους $\alpha, b, c.$ Απρόσμενα δύσκολη άσκηση (ως προς την επιλογή των κατάλληλων τιμών το...

κ. Θωμαΐδη ευχαριστούμε για το εξαιρετικά καλογραμμένο και διαφωτιστικό κείμενό σας!

Αλέξανδρος

Πολύ ωραία! Ευχαριστώ τους φίλους που ασχολήθηκαν. Την άσκηση την κατασκεύασα στη τάξη εξηγώντας στους μαθητές ότι καμιά φορά όταν σου προδίδουν (σε κάποιο ερώτημα της άσκησης) τη συνάρτηση που πρέπει να βγάλεις (εγώ τους την έδινα) και δε "πιάνουν" άλλες γνωστές μέθοδοι, τότε προσπαθείς να προσαρμό...