Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 Θέματα της 1ης φάσης για την 11η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023 1. Σε κάθε κελί ενός πίνακα $1800 \times 3$ ($1800$ γραμμές και $3$ στήλες) βρίσκεται ένα από τα γράμματα $O,P$ και $T$. Σε κάθε γραμμή όλα τα γράμματα είναι διαφορετικά και σε κάθε στήλη υπάρχουν α...

Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου και ακτίνας και περιγεγραμμένο σε έλλειψη με εστίες και μικρό άξονα μήκους . Να αποδείξετε, ότι

.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 Θέματα της 1ης φάσης για την 6η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023 1. Από το κατάστημα «Όλα για την κουζίνα» ο Αλέξανδρος αγόρασε ένα πιάτο, ένα ποτήρι και μια τσάντα για τοποθετήσει τις αγορές του. Παρατήρησε ότι το κόστος του πιάτου σε σεντς εκφράζεται με ένα τριψ...

Πόσες λύσεις μπορεί να έχει στο σύνολο των ρητών αριθμών η εξίσωση

,

όπου πραγματική παράμετρος;

(Για Γ' Λυκείου)

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $AB=2R.$ Φέρνουμε χορδή $\Gamma \Delta =2\lambda$ παράλληλη στην $AB.$ Ζητείται να βρεθεί α) ο όγκος που παράγεται από το μικτόγραμμο χωρίο $AB\Gamma \Delta A $ όταν περιστραφεί γύρω από την $AB.$ β) ποια σχέση πρέπει να υπάρχει μεταξύ των $R$ και $\lambda$ ώστε ο όγκος ...

Ενδιαφέρον έχει επίσης , ότι ο όγκος της "φλούδας" πλάτους $2 \lambda$ ( ό όγκος του σχήματος εκ περιστροφής που προκύπτει από την καμπύλη $DCED$ στο σχήμα του κ. Κώστα στην προηγούμενη δημοσίευση), είναι ανεξάρτητος της ακτίνας της σφαίρας και δίνεται από την σχέση $V_{\phi}=\dfrac{4}{3} \pi \lambd...

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον abgd για την παρούσα λύση, αλλά και στα υπόλοιπα θέματα των κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων, που έλυσε πρόσφατα. Πιστεύω θα τα βρουν χρήσιμα και οι μαθητές της Γ' Λυκείου για εμπέδοση της ύλης τους.

trapezio.pngΒρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου $ABCD$ . Μπορείτε χωρίς χρήση παραγώγου ; Έστω $C(t,9-t^{2}), \quad 0 < t \leq 3$, τότε για το εμβαδόν του $ABCD$ θα έχουμε $(ABCD)=\dfrac{1}{2}(9-t^2)( t-(-t)+ 3-(-3))=\dfrac{1}{2}(3-t)(3+t)(2t+6)=\dfrac{1}{2}(3-t)(3+t)2(t+3) =$ $= \dfrac{1}{2}(6...

Για δυο μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς $a,b$ η συνάρτηση $f(x)$ ορίζεται ως $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^3-6x+1 \quad \quad \quad \quad (x \leq 2) \\ a(x-2)(x-b)+9 \quad (x>2) \end{matrix}\right.}$. Για έναν πραγματικό αριθμό $t$ ας είναι $g(t)$ ο αριθμός των σημείων στα οποία η γρα...

Για ένα πραγματικό αριθμό $a$, με $a > \sqrt{2}$, ας είναι $f(x)$ η συνάρτηση με τύπο $f(x)=-x^3+ax^2+2x$. Έστω $A$ το σημείο τομής της εφαπτομένης της καμπύλης $y=f(x)$ στο σημείο $O(0,0)$ με την καμπύλη $y=f(x)$, διάφορο του $O$. Έστω $B$ το σημείο τομής της εφαπτομένης της καμπύλης $y=f(x)$ στο σ...

Η πολυωνυμική συνάρτηση τρίτου βαθμού $f(x)$, ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής της οποίας ισούται με $1$, ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη: Για την συνάρτηση $f(x)$, δεν υπάρχει ακέραιος $k$, που ικανοποιεί την $f(k-1)f(k+1)<0$. Αν $f^{\prime} \left ( -\dfrac{1}{4}\right)= -\dfrac{1}{4}$ και $f^{\prime} ...

Ακόμα μπορώ να πω ότι η κατασκευή του σχήματος αυτού είναι πιο ενδιαφέρουσα Καλησπέρα κ. Κώστα, Αν εννοούμε κατασκευή με λογισμικό (GeoGebra), θα μπορούσαμε να εργαστούμε ως εξής: Περιγράφουμε παραμετρικά την καμπύλη της συνάρτησης $y=\sqrt{(1-2x)\cos x} \quad \left ( \dfrac{3 \pi}{4} \leq x \leq \...

Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας για το 2024 στα μαθηματικά, για την ενότητα ανάλυση. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση. 23. Ποιά είναι η τιμή του $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln (1+3x)}{\ln...

Διπλωματούχος.pngΣτο τετράγωνο $ABCD$ διπλώνουμε κατά μήκος της $DP$ και το $C$ έρχεται στη θέση $C'$ . Οι $PC' , DC'$ , τέμνουν την $AB$ στα σημεία $S , T$ . Υπολογίστε το μήκος του $ST$ . Προαιρετικό : Μπορούμε να γενικεύσουμε για πλευρά $AB=a$ και $CP=x , (x<a)$ ; Έστω $Q$ το σημείο τομής των ευ...

Στον πίνακα είναι γραμμένοι όλοι οι τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί, το πρώτο ψηφίο των οποίων είναι περιττός μεγαλύτερος του $1$. Ποιό είναι το μέγιστο πλήθος δευτεροβάθμιων εξισώσεων της μορφής $ax^2+bx+c=0$ που μπορούμε να κατασκαυάσουμε, χρησιμοποιώντας ως $a,b$ και $c$ τους δεδομένους αριθμούς, το πο...

Έναν γράμμένο στον πίνακα αριθμό, επιτρέπεται να τον πολλαπλασιάσουμε με το είτε να αναδιατάξουμε τα ψηφία του (δεν επιτρέπεται τοποθέτση του μηδέν στην πρώτη θέση). Μπορεί άραγε από τον αριθμό με αυτόν τον τρόπο να προοκύψει ο εκατονταψήφιος αριθμός ;

Αν για τους μη αρνητικούς αριθμούς ισχύει και , να αποδείξετε ότι .

Β' Λυκείου Πρόβλημα 4. Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $AB < AC < BC$ και το σημείο τομής των διχοτόμων του $I$. Έστω ότι η ευθεία $AI$ τέμνει την πλευρά $BC$ στο σημείο $D$. Θεωρούμε σημείο $K$ στην πλευρά $AB$ τέτοιο ώστε $BK = BD$, και σημείο $L$ στην πλευρά $AC$ τέτοιο ώστε $AL = AK$. Αν $Μ$ είναι το σ...

Άσκηση 26 . α) Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί $n$ για τους οποίους ισχύει $ \{ \, \sqrt {n} \, \} = \{ \, \sqrt {n+17} \, \} $ . β) Αν $x$ θετικός πραγματικός αριθμός με $ \{ \sqrt {x} \, \} = \{ \sqrt {x+17} \, \} $, να αποδείξετε ότι οι $ x $ και $x+17 $ είναι και οι δύο τετράγωνα ρητών αριθμ...

Σε κάθε κελί ενός πίνακα είναι γραμμένος ένας αριθμός, εξάλλου κάθε αριθμός είναι ίσος με το γινόμενο όλων των αριθμών που βρίσκονται σε γειτονικά κατά πλευρά κελιά. Ποιό μπορεί να είναι το μέγιστο πλήθος διαφορετικών αριθμών σε αυτό το πίνακα;