ΘΕΜΑ 1 Δύο μαθητές παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Στο πρώτο τετράγωνο (από αριστερά) ενός ορθογωνίου $1\times 2011$ βρίσκεται ένα πιόνι. Οι παίκτες μπορούν να μετακινήσουν το πιόνι προς τα δεξιά κατά $1,2,3,4$ ή $5$ τετράγωνα. Κερδίζει όποιος τοποθετήσει το πιόνι στο τελευταίο τετράγωνο. Ποιος έχει ...

ΘΕΜΑ 1 Υποθέτουμε ότι οι διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί $a, b, c, d$ ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{(a^2 + b^2 − 1)(a + b) = (b^2 + c^2 − 1)(b + c) = (c^2 + d^2 − 1)(c + d).}$ Προσδιορίστε όλες τις δυνατές τιμές του αθροίσματος $a + b + c + d.$ ΘΕΜΑ 2 Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ και ...

ΘΕΜΑ 1 Στις κάθετες πλευρές $CA$ και $CB$ ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ επιλέγονται τα σημεία $D$ και $E$ , αντίστοιχα, έτσι ώστε $CD=CE$. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία $D$ και $C$ στην ευθεία $AE$ τέμνουν την υποτείνουσα $AB$ στα σημεία $K$ και $L$. Να δειχθεί ότ...

ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε τετράγωνο $ABCD.$ Έστω $P$ σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου $ABCD$ που βρίσκεται στο κυρτογώνιο τόξο $AB$ (διαφορετικό από τα $A$ και $B$). Έστω $M$ το σημείο τομής της $DP$ με τη διαγώνιο $AC$ και $N$ το σημείο τομής της $CP$ με την $AB.$ Να δείξετε ότι $MN \paralle...

2nisic έγραψε: ↑

Τετ Μαρ 09, 2022 4:18 pm

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί που είναι τέτοιοι ώστε να είναι δυνατόν να καλύψουμε σκακιέρα με ίσο αριθμό ορθογωνίων και (Τα σχήματα μπορούν να περιστραφούν)

Επαναφορά!

socrates έγραψε: ↑

Παρ Δεκ 31, 2021 8:10 pm

ΘΕΜΑ 3
Έστω θετικός ακέραιος. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι , ώστε
.

https://artofproblemsolving.com/communi ... 3p15564517

socrates έγραψε: ↑

Παρ Δεκ 31, 2021 8:12 pm

ΘΕΜΑ 1
Έστω ισοσκελές τρίγωνο με με περίκεντρο το και έγκεντρο το Το σημείο βρίσκεται στην έτσι ώστε η ευθεία να είναι κάθετη στην ευθεία Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι παράλληλες.

Επαναφορά! Γιατί να μένει άλυτο;

ΘΕΜΑ 4 Θεωρούμε τετράπλευρο $ABCD$ τέτοιο ώστε $\angle DAB + \angle ABC = 120^{\circ}$. Κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα $ACE, \ BDF, \ CDG,$ με τα σημεία $E,F,G$ να βρίσκονται στο ημιεπίπεδο που ορίζουν οι $AC,BD,CD$ αντίστοιχα, που δεν ανήκει η $AB.$ Να αποδείξετε ότι τα σημεία $E,F,G$ είναι συνε...

ΘΕΜΑ 3 Οι κύκλοι $\Omega_{1},$ κέντρου $Q,$ και $\Omega_{2},$ κέντρου $R,$ εφάπτονται εξωτερικά στο $B .$ Ένας τρίτος κύκλος, ο $\Omega_{3},$ που περιέχει στο εσωτερικό του τους $\Omega_{1}$ και $\Omega_{2},$ εφάπτεται στον $\Omega_{1}$ και στον $\Omega_{2}$ στα σημεία $A$ και $C,$ αντίστοιχα. Η ευ...

ΘΕΜΑ 4 Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του $a$ και την ελάχιστη τιμή του $b$ ώστε για κάθε $x,y,z \in \Bbb{R}_{\geq 0}$ να ισχύει $\displaystyle{a(x+y+z)^2\leq x^2+y^2+z^2+yz\leq b(x+y+z)^2.}$ Μια λύση: Είναι $\displaystyle{x^2+y^2+z^2+yz\geq x^2+\frac{3}{4}(y+z)^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{1+\frac{4}{3}}=\fr...

Οι κύκλοι $\Omega_{1},$ κέντρου $Q,$ και $\Omega_{2},$ κέντρου $R,$ εφάπτονται εξωτερικά στο $B .$ Ένας τρίτος κύκλος, ο $\Omega_{3},$ που περιέχει στο εσωτερικό του τους $\Omega_{1}$ και $\Omega_{2},$ εφάπτεται στον $\Omega_{1}$ και στον $\Omega_{2}$ στα σημεία $A$ και $C,$ αντίστοιχα. Η ευθεία $B ...

Επαναφορά!

Επαναφορά!

Επαναφορά!

$f(x)=x(x-3)(x-1)^2=(x^2-3x)(x-1)^2$ $\displaystyle{f'(x)=(2x-3)(x-1)^2+2(x^2-3x)(x-1)=(x-1)[(2x-3)(x-1)+2(x^2-3x)]=(x-1)(4x^2-11x+3)}$ $(f^2(x))'=2f(x)f'(x)=2x(x-3)(x-1)^3(4x^2-11x+3)$ Το τριώνυμο $4x^2-11x+3$ έχει δύο διαφορετικές ρίζες, έστω $a<b.$ Οπότε το $(f^2(x))'$ έχει ρίζες τα $0, \ 1, \ 3,...

Επαναφορά!

Επαναφορά!

Επαναφορά!

Επαναφορά!

Ωραίο πρόβλημα!
Γιατί να μένει αναπάντητο;