ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν οι $x,y,z$ είναι θετικοί αριθμοί, τότε $\displaystyle \dfrac{x^3}{z^3+x^2y}+\dfrac{y^3}{x^3+y^2z}+\dfrac{z^3}{y^3+z^2x}\geq \frac{3}{2}. $ Eνδιαφέρον, η $f(x)=\frac{1}{x}$ είναι κυρτή συνάρτηση στους θετικούς άρα από Jensen έχουμε $LHS=x^{3}f(z^{3}+x^{2}y)+y^{3}f(x^{3}+y^{...

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν οι $a,b,c$ είναι θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a^2+b^2+c^2=3$, τότε $\displaystyle \dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{5}{c}\geq 4a^2+3b^2+2c^2. $ Πότε ισχύει η ισότητα? Iσοδύναμα αρκεί να δείξω $b^{2}+2c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{3}{b}+\frac{5}{c}\geq 12$ και το αριστερό μέλος γ...

και δείξτε ότι



το είναι υψωμένο στο

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$, το ορθόκεντρο του $H$ και το αντιδιαμετρικό του $A$, $A'$ στον περιγεγραμμένο κύκλο του $ABC$. Η παράλληλη από το $H$ ως προς την $BC$ τέμνει την $AB$ στο $M$ και την $AC$ στο $I$. Αν $N$ είναι το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων $HA'A$ και $AMI$. Να αποδειχτεί $AM\cd...

G2. Έστω τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma$ με κέντρο $O$. Έστω $H$ το ορθόκεντρο του $ABC$ και $K$ το μέσο της $OH$. Η εφαπτομένη του $\Gamma$ στο $B$ τέμνει τη μεσοκάθετο της $AC$ στο $L$ και η εφαπτομένη του $\Gamma$ στο $C$ τέμνει τη μεσοκάθετο της $AB$ στο $M$. Να δειχθεί ότι οι $AK$...

Σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ , είναι σχεδιασμένο τμήμα $CE\perp AB$ . Θέλοντας κάποιος να γράψει κύκλο ο οποίος να εφάπτεται των τμημάτων $EC , EB$ αλλά και του ημικυκλίου , ακολουθεί τα εξής βήματα . Αρχικά γράφει τόξο με ακτίνα $AC$ ,το οποίο τέμνει την $AB$ στο $D$ και στη συνέχεια σχεδιάζει τετρ...

Στο τρίγωνο ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται με τις στα και η τομή των ευθειών . Από φέρνουμε κάθετη (ε) προς την και το σημείο είναι πάνω στην (ε) ώστε . Να εξετάσετε αν ισχύει

G1. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Έστω $D$ και $E$ τα παράκεντρα των τριγώνων $AMB$ και $AMC$ αντίστοιχα ως προς το σημείο $M$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ABD$ τέμνει την ευθεία $BC$ στα σημεία $B$ και $F$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ACE$...

A4. Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ ώστε $abc=1$. Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle 2(a^2+b^2+c^2)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right) \geqslant 3(a+b+c+ab+bc+ca).$ Θέτοντας $a=\frac{x^{2}}{yz},b=\frac{y^{2}}{xz},c=\frac{z^{2}}{xy}$ η ανίσωση γίνεται $2(\frac{x^{6}+y^{6}+z^{6}}...

Πρόβλημα 1 α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $a,b,c,d$ ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$. Να αποδειχθεί ότι: $ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) \leq \frac{8}{27}$. β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών $(a,b,c,d)$ , ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην πρ...

1. Για την μη σταθερή αριθμητική πρόοδο $\displaystyle \left ( a_{n}\right )$ υπάρχει τέτοιος μη μηδενικός φυσικός αριθμός $n$, ώστε $\displaystyle a_{n}+a_{n+1} = a_{1}+…+a_{3n-1}$. Να αποδείξετε, ότι σε αυτή την πρόοδο δεν υπάρχουν μηδενικοί όροι. (Σ. Ιβάνοβ) Πηγή η επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας....

Συντρέχουν.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , το ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ τέμνει τις διαγωνίους $AC,BD$ στα σημεία $T,Q$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι οι ευθείες $AB , DC , QT$ συντρέχουν ( σε σημείο $S$ ) . Μιας και έχουμε το ίδιο σχήμα στην ωραία λύση του κ. Κούτρα δανείζομαι τα γράμματά του δηλαδή $DB...

Μεγάλες κατασκευές 19.pngΚατασκευάστε σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο αν το σημείο $N$ , είναι το μέσο της διαμέσου $AM$ , να προκύπτει και $NC=AB$ . Μπορούμε με διπλό θεώρημα διαμέσων να βγάλουμε μια σχέσεις μεταξύ των τμημάτων αλλά δεν βοηθά στη κατασκευή Έστω σημείο $S$ στο ημιεπ...

Διχοτόμηση από κοινή χορδή.png Από το έγκεντρο $I$ τριγώνου $ABC$ φέρνουμε κάθετη στην $AI$ που τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στα $P, Q.$ Οι κύκλοι $(P, I, B)$ και $(Q, I, C)$ επανατέμνονται στο $S.$ Να δείξετε ότι η $SI$ διχοτομεί τη γωνία $P\widehat SQ.$ $CI,BI$ ξανατέμνουν τον κύκλο στα $N,M...

Εύρεση σημείου.png Δίδονται ένας κύκλος , Ένα σημείο $A$ εκτός αυτού και μια ευθεία . Να βρεθεί σημείο $M$ της ευθείας ώστε το $MA$ να ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα $MB$ προς τον κύκλο . O κύκλος, το σημείο και η ευθεία είναι σταθερά σημεία οπότε τα $K,A$ θα απέχουν από την ευθεία $h_{1},h_{2}$ κα...

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας Πρόβλημα 5. Η διχοτόμος της γωνίας $ABC$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ του τριγώνου $ABC$ στα σημεία $B$ και $L$. Το σημείο $M$ είναι το μέσο του τμήματος $AC$. Στο τόξο $ABC$ του κύκλου $\omega$ δίνεται σημείο $E$ τέτοιο, ώστε $EM || BL$. Οι ευθείες $A...

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας Πρόβλημα 3. Σε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ φέρουμε τα ύψη $AA^{\prime}$ και $BB^{\prime}$. Έστω $O$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$. Να αποδείξετε, ότι η απόσταση του σημείου $A^{\prime}$ από την ευθεία $BO$ είναι ίση με την απόσταση του σημείου...

XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019. 11η τάξη, Δεύτερη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης 8. Στις πλευρές $AB$ και $AC$ τριγώνου $ABC$ βρέθηκαν σημεία $D$ και $E$ αντίστοιχα τέτοια, ώστε $DB=BC=CE$. Τα ευθύγραμμα τμήματα $BE$ και $CD$ τέμνονται στο σημείο $P$. Να αποδείξετε, ότι οι περιγε...

Σημασία δεν έχει μόνο τι θα κάνουμε στην αυξημένες ώρες αλλά έχει σημασία και τι θα βγάλουν. Οι περισσότεροι έχουν μεγάλες ελλείψης σε βασικές γνώσεις τις καθημερινότητας όπως τον ηλεκτρισμό, το οποίο πλέον μας περιβάλλει, μόνο και μόνο επειδή δεν είναι μάθημα που δίνουν στις πανελλήνιες. Βέβαια ο λ...

Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος θέμα 1ο των μεγάλων Έχει λάθος η λύση $a_{n}=5a_{n-1}+3^{n-1},,,,5a_{n-1}=5^{2}a_{n-2}+5\cdot 3^{n-2},...5^{n-1}a_{2}=5^{n}a_{1}+5^{n-1}3^{0}$ προσθέτοντάς τα όλα έχουμε $a_{n}=5^{n}a_{1}+5^{n-1}+5^{n-2}\cdot 3+...3^{n-2}\cdot 5+3^{n-1}=5^{n}+\frac{5^{n}-3^{n}}{5-3}=\fr...