Η αναζήτηση βρήκε 5780 εγγραφές

από socrates
Κυρ Ιουν 11, 2017 10:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κλασική και εύκολη!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 1145

Re: Κλασική και εύκολη!

Επαναφορά!
από socrates
Κυρ Ιουν 11, 2017 9:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Βρείτε συναρτήσεις
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 2541

Re: Βρείτε συναρτήσεις

socrates έγραψε:Άλλη μία είναι η f(x)=e^x. Δείξτε το!
Επαναφορά!
από socrates
Κυρ Ιουν 11, 2017 2:33 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 2781

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

Θα συνεχίσω την προσπάθεια του Γιάννη. Χρειάζομαι μόνο ότι έδειξε στο πρώτο του post. Μπορεί κάποιος να ελέγξει; Θανάση ποια είναι η λύση σου; Σιλουανέ, η λύση σου μού φαίνεται μια χαρά! :) Η λύση μου: Η δοθείσα γράφεται $\displaystyle{f(f(x)-4χ+2y)=f(y)+2y-4χ, }$ για κάθε $y>2x>0.$ Έστω $a,b>0.$ Γ...
από socrates
Κυρ Ιουν 11, 2017 2:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Με αφορμή το Γ4_2017
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1162

Re: Με αφορμή το Γ4_2017

Η \displaystyle{ \ln 2<\dfrac{\sqrt{2}}{2}} προκύπτει και από την \displaystyle{\sqrt{x}\ln x \leq x-1,} για x\geq 1.
από socrates
Κυρ Ιουν 11, 2017 1:19 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Βρείτε τις συναρτήσεις
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 2317

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Ωραία, Γιάννη!

Λίγο πιο αυστηρά μπορούμε να πούμε:
Είναι \displaystyle{f(x)\geq \frac{B^2+1}{2}} οπότε, από τον ορισμό του B, είναι \displaystyle{\frac{B^2+1}{2}\leq B} δηλαδή B=1.
Αντίστοιχα για το A.
από socrates
Κυρ Ιουν 11, 2017 12:02 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Βρείτε τις συναρτήσεις
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 2317

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Επαναφορά!
από socrates
Δευ Ιουν 05, 2017 12:06 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εύκολη συναρτησιακή (10)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1310

Re: Εύκολη συναρτησιακή (10)

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε f(x+y+f(y))=f(f(x))+2y , για κάθε x,y \in \mathbb{R}^+.

Hint:
από socrates
Κυρ Ιουν 04, 2017 11:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Βρείτε τις συναρτήσεις!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 2781

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

Επαναφορά!
από socrates
Κυρ Ιουν 04, 2017 12:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Είναι συνεχής;
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 803

Re: Είναι συνεχής;

Να εξετασθεί αν η συνάρτηση $f:[0,1]\longrightarrow[0,1]$, με $f\big([0,1]\big)\subseteq[0,1]$ και τέτοια ώστε για κάθε $x,y\in[0,1]$ να ισχύει $|f(x)-f(y)|\geqslant|x-y|$ είναι αναγκαστικά συνεχής. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν έχω πλήρη λύση: Εύκολα δείχνεται ότι η $f$ είναι αναγκαστικά αύξουσα. Επομένως για κάθ...
από socrates
Σάβ Ιουν 03, 2017 11:48 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 814

Re: Ανισότητα

Είναι το άθροισμα των ανισοτήτων:

\displaystyle{\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\leq \frac{a+b+c}{2}}

και

\displaystyle{\frac{a}b+\frac{b}c+\frac{c}a \geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}}

(δείτε πχ εδώ.)
από socrates
Σάβ Ιουν 03, 2017 3:37 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή από Ινδία
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1905

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Αυτή μου φάνηκε πιο δύσκολη, εκτός αν χάνω κάτι. Βάζω τα βασικά βήματα τα οποία αφήνω προς απόδειξη για να ασχοληθεί περισσότερο κάποιος με την άσκηση. Αν εντοπιστεί κάποιο λάθος πείτε μου. Βήμα 1: Δείχνουμε ότι αν $x>1$ τότε πρέπει $f(x)>1$ και ότι αν $χ<1$ τότε $f(x)<1$. Βήμα 2: Έστω $x<1$ τότε γ...
από socrates
Σάβ Ιουν 03, 2017 1:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μισή Ινδική - Μισή δική μου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1456

Re: Μισή Ινδική - Μισή δική μου

silouan έγραψε:Έβαλα τη λύση μου εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... l_equation
:coolspeak:
(Έχουμε ίδια λύση )
από socrates
Σάβ Ιουν 03, 2017 3:27 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολύ ωραία συναρτησιακή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 1252

Re: Πολύ ωραία συναρτησιακή

Επαναφορά!
από socrates
Πέμ Ιουν 01, 2017 2:49 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μισή Ινδική - Μισή δική μου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1456

Re: Μισή Ινδική - Μισή δική μου

Παραλλαγή:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε f(x^2+xf(y))=xf(x+y)
από socrates
Πέμ Ιουν 01, 2017 2:27 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή από Ινδία
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1905

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Παραλλαγή:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε f(x^2+yf(x))=xf(x+y)
από socrates
Πέμ Ιουν 01, 2017 1:21 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2015 (2/2) Γεωμετρία-Συνδυαστική
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 3494

Re: JBMO Shortlist 2015 (2/2) Γεωμετρία-Συνδυαστική

silouan έγραψε:Έξτρα ερώτημα με αφορμή τα παραδείγματα:
Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε τους αριθμούς για n=6; (Θεωρούμε ότι το δύο τοποθετήσεις είναι ίδιες αν μετά από στροφή του πίνακα συμπίπτουν.)

Επαναφορά! Φαίνεται ενδιαφέρον...
από socrates
Πέμ Ιουν 01, 2017 1:20 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)
Απαντήσεις: 34
Προβολές: 4009

Re: JBMO 2013 (Shortlisted Problems)

socrates έγραψε:Δεν έχουν απαντηθεί τα θέματα C2, G4,G5,G6.

Και κάπου εδώ ολοκληρώθηκαν τα προταθέντα προβλήματα για την JBMO 2013.
Διαφορετικές λύσεις, παρατηρήσεις, σχόλια είναι πάντα ευπρόσδεκτα... :)

Επαναφορά! :)
από socrates
Πέμ Ιουν 01, 2017 1:19 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Ανοιχτό πρόβλημα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 2191

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Επαναφορά!
από socrates
Πέμ Ιουν 01, 2017 1:17 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Με p,q,r...
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1467

Re: Με p,q,r...

Επαναφορά!

Ποια η πηγή της άσκησης;

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση