Η αναζήτηση βρήκε 6077 εγγραφές

από socrates
Τετ Ιαν 12, 2011 10:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου
Απαντήσεις: 91
Προβολές: 9833

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Άσκηση 26 Αν $a_1,a_2, \cdots, a_n\in [0,1]$, $n\geq 2$ νδο $\displaystyle \frac{a_1}{a_1a_2+n-1}+\frac{a_2}{a_2a_3+n-1}+...+\frac{a_n}{a_na_1+n-1}\leq 1$. Παρατηρούμε $(a_1-1)(a_2-1)\geq 0$ ή $a_1a_2+1\geq a_1+a_2$, οπότε $a_1a_2+n-1\geq a_1+a_2+n-2\geq a_1+a_2+...+a_n$, με συνέπεια $\displaystyle...
από socrates
Τρί Ιαν 11, 2011 12:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)
Απαντήσεις: 173
Προβολές: 19181

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

53. Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{\geq 0}\rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$, τέτοιες ώστε $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz}) = f(x+y+z)$, για όλα τα $x,y,z \in \mathbb{R}_{\geq 0}$, τέτοια ώστε $x+y\ge z$. 54. Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+\rightarrow ...
από socrates
Κυρ Ιαν 09, 2011 1:04 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου
Απαντήσεις: 91
Προβολές: 9833

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Υπόδειξη: 12. Σχηματίζουμε τα ζεύγη $\{1,2n\},\{2,2n-1\},...,\{n,n+1\}$. Αρκεί νδο τoυλάχιστον $n+1$ από τους αριθμούς είναι $\leq 2n$. 21. $99(a_2^2+a_3^2+...+a_{100}^2)\geq (a_2+...+a_{100})^2$. Πότε το τριώνυμο $\frac{100}{99}x^2+2ax+2a^2$ γίνεται ελάχιστο; 11. Αν $s$ τα κοινά προβλήματα δύο οποι...
από socrates
Σάβ Ιαν 08, 2011 3:17 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 211

Ανισότητα

Αν x,y,z θετικοί αριθμοί,

να δείξετε ότι

\displaystyle \left(x^2+\frac{3}{4}\right)\left(y^2+\frac{3}{4}\right)\left(z^2+\frac{3}{4}\right)\geq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}.
από socrates
Σάβ Ιαν 08, 2011 3:12 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γινόμενο διαδοχικών ακεραίων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 909

Γινόμενο διαδοχικών ακεραίων

Να βρείτε όλους τους ακέραιους n ώστε ο αριθμός 36^n-6 να γράφεται ως γινόμενο (δύο ή περισσότερων) διαδοχικών ακεραίων.
από socrates
Σάβ Ιαν 08, 2011 2:24 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ζεύγη ακεραίων
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1086

Ζεύγη ακεραίων

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (m,n) ώστε 2mn|m^2+n^2-m.
από socrates
Σάβ Ιαν 08, 2011 2:19 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ακέραια ζεύγη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 294

Ακέραια ζεύγη

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (m,n) ώστε mn|m^2+n^2+m.
από socrates
Σάβ Ιαν 08, 2011 1:40 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου
Απαντήσεις: 91
Προβολές: 9833

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Άσκηση 26 Αν $a_1,a_2, \cdots, a_n\in [0,1]$, $n\geq 2$ νδο $\displaystyle \frac{a_1}{a_1a_2+n-1}+\frac{a_2}{a_2a_3+n-1}+...+\frac{a_n}{a_na_1+n-1}\leq 1$. Άσκηση 27 Αν $x,y,z>0$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$, νδο $(x+1)(y+1)(z+1)\leq (x+y)(y+z)(z+x)$. Άσκηση 28...
από socrates
Τετ Ιαν 05, 2011 7:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)
Απαντήσεις: 173
Προβολές: 19181

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

51. Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, τέτοιες ώστε $(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$. 52. Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$, τέτοιες ώστε $x^2(f(x)+f(y))=(x+y)f(yf(x))$, για κάθε $x,y ...
από socrates
Τρί Ιαν 04, 2011 8:27 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)
Απαντήσεις: 173
Προβολές: 19181

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

36. Ελπίζω να μην έχει συζητηθεί Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ η οποία ικανοποιεί την $\displaystyle{f\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right) = f\left( x \right)f\left( y \right)}$ για όλους τους πραγματικούς x,y. Να βρείτε την f Έχει συζητηθεί και εδώ . ΑΣΚΗΣΗ 50 Να βρεθούν ό...
από socrates
Τρί Ιαν 04, 2011 8:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου
Απαντήσεις: 91
Προβολές: 9833

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Άσκηση 20η Αν $a_1,a_2,\cdots,a_n>0$ τέτοιοι ώστε $a_1+a_2+...+a_n+a_1a_2...a_n=n+1$, νδο $a_1+a_2+...+a_n\geq \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n}.$ Άσκηση 21η Αν οι πραγματικοί αριθμοί $a_1,a_2,\cdots,a_{100}$ είναι τέτοιοι ώστε $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{100}^{2}+( a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{100}...
από socrates
Δευ Ιαν 03, 2011 6:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου
Απαντήσεις: 91
Προβολές: 9833

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Άσκηση 17η Θεωρούμε την ακολουθία μη αρνητικών ακεραίων $\{a_n\}_{n\geq 1}$ τέτοια ώστε i) $a_{mn} = a_{m}+a_{n}$ για κάθε $m,n \in \mathbb{N}^*$ ii) $a_{n} =0$, αν το ψηφίο των μονάδων του $n$ είναι $9$ Να δείξετε ότι αν το $n$ δεν έχει κοινό παράγοντα με το $10$, δηλαδή $(n,10)=1$, τότε $a_{n} = ...
από socrates
Δευ Ιαν 03, 2011 5:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)
Απαντήσεις: 173
Προβολές: 19181

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

47. Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$, τέτοιες ώστε (i) $f(x+1)=f(x)+1$ και (ii) $f(x^3)=\left [ f(x) \right]^3$, για κάθε $x \in \mathbb{Q}^+$. 48. Θεωρούμε την ακολουθία μη αρνητικών ακεραίων $\{a_n\}_{n\geq 1}$ τέτοια ώστε i) $a_{mn} = a_{m}+a_{n}$ γι...
από socrates
Δευ Ιαν 03, 2011 4:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου
Απαντήσεις: 91
Προβολές: 9833

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Ασκηση 14) Mπορουμε να γραψουμε την ανισωση ως εξης. $\sum{\frac{(1+a^2)-a^2}{1+a^2}}\geq \frac{5}{2}$ Αφου σπασουμε το κλασμα και αλλαξουμε μελη καταληγουμε στην: $\sum{\frac{a^2}{1+a^2}}\leq \frac{1}{2}$ Η τελευταια ομως ισχυει διοτι: $\sum{\frac{a^2}{1+a^2}}\leq \sum{\frac{a^2}{2a}}=\sum{\frac{a...
από socrates
Δευ Ιαν 03, 2011 3:22 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου
Απαντήσεις: 91
Προβολές: 9833

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Άσκηση 14η Αν $a,b,c$ μη αρνητικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a+b+c=1$, νδο $\displaystyle {\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq \frac{5}{2}.}$ Πότε ισχύει η ισότητα; Άσκηση 15η Αν $a \in \mathbb{R}$ νδο ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς $a+\sqrt{2}$ και $a^3+\sqrt{2}$ είναι άρρητος.
από socrates
Κυρ Ιαν 02, 2011 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου
Απαντήσεις: 91
Προβολές: 9833

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

socrates έγραψε: Άσκηση 9η

Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους n για τους οποίους ο αριθμός n^4+n^3-8 είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Μια λύση στην 9, εδώ.
Ευκαιρία να επαναφέρω το θέμα... :lol:
από socrates
Κυρ Ιαν 02, 2011 8:13 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 404

Re: Τέλειο τετράγωνο

Είναι η άσκηση 9, εδώ...

Ωραία λύση Dreamkiller...
από socrates
Παρ Δεκ 31, 2010 3:26 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συστήματα
Απαντήσεις: 36
Προβολές: 5300

Συστήματα

Με αφορμή αυτό το τόπικ , ανοίγω το παρόν... 1. Να λυθεί στο $\mathbb{R}^{3}$ το σύστημα: $\begin{cases} \displaystyle 5^x+12^y=13^x , \\ \displaystyle 5^y+12^z=13^y, \\ \displaystyle 5^z+12^x=13^z \end{cases}$. 2. Να λυθεί το σύστημα: $\begin{cases} \displaystyle |x|+|y|=1340 , \\ \displaystyle x^3...
από socrates
Παρ Δεκ 31, 2010 2:58 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)
Απαντήσεις: 173
Προβολές: 19181

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

45. Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, τέτοιες ώστε $\displaystyle { f(x)-f(y)=(x-y)(g(x)+g(y))}$, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$. 46. Να προσδιοριστούν όλες οι ακολουθίες θετικών ακεραίων $\displaystyle \{a_n\}_{n\geq 1}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle { a_n+...
από socrates
Παρ Δεκ 31, 2010 2:06 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Διοφαντική εξίσωση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 428

Re: Διοφαντική εξίσωση

Πάρα πολύ ωραία! :)


Εναλλακτικά, τα συστήματα (Σ1) και (Σ2) μπορούν να προκύψουν παρατηρώντας ότι (7^w+2,7^w-2)=1.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση