Η αναζήτηση βρήκε 1453 εγγραφές

από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Οκτ 29, 2017 10:00 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Άσκηση στα όρια (1)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 746

Άσκηση στα όρια (1)

Έστω f,g δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το \mathbb R. Εξετάστε αν είναι πάντα αληθής ο ισχυρισμός:

Αν \displaystyle{\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty} τότε \displaystyle{\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]=+\infty}

Αφιερωμένη στον Νίκο Ζανταρίδη
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Οκτ 29, 2017 8:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γωνία από μεσοκάθετο.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 476

Re: Γωνία από μεσοκάθετο.

Φάνης.png Παρόμοια με το Μιχάλη: $P\hat{Z}\Gamma =E\hat{K}P=90^o-\omega$ από το ορθογώνιο τρίγωνο $EKP$ $Z\hat{\Gamma }P=90^o-\omega$ από το ορθογώνιο τρίγωνο $E\Gamma P$ οπότε $P\hat{Z}\Gamma=Z\hat{\Gamma }P$ και επομένως το τρίγωνο $PZ\Gamma$ είναι ισοσκελές με $PZ=P\Gamma.$ Άρα το τρίγωνο $ZOP$ ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Οκτ 29, 2017 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 974

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 121

Αν $x,y> 0$ με $x^{2}+y^{2}=1$ , αποδείξτε ότι $x^{3}+y^{3}\geq \sqrt{2}xy.$ Ας δοκιμάσουμε ομογενοποίηση. Αρκεί να δείξουμε ότι $(x^3+y^3)^2\geq 2x^2y^2(x^2+y^2)$ $x^6-2x^4y^2+2x^3y^3-2x^2y^4+y^6\geq 0$ $(x^6-2x^4y^2+x^2y^4)+(x^4y^2-2x^2y^4+y^6)\geq x^4y^2-2x^3y^3+x^2y^4$ $x^2(x+y)^2(x-y)^2+y^2(x+...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Οκτ 27, 2017 10:05 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1062

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)

Για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ ορίζουμε το κλασματικό μέρος $\{ x \}$ ως το μοναδικό στοιχείο του $[0,1)$ τέτοιο ώστε $x - \{ x \} \in \mathbb{Z}$. 1. Αν $N$ θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακέραιοι $x, y, z$ μεγαλύτεροι του $N$ τέτοιοι ώστε $\left\{ \sqrt{x} \right\} + \left\{ \sqrt{y...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Οκτ 27, 2017 12:41 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1062

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)

Για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ ορίζουμε το κλασματικό μέρος $\{ x \}$ ως το μοναδικό στοιχείο του $[0,1)$ τέτοιο ώστε $x - \{ x \} \in \mathbb{Z}$. 1. Αν $N$ θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακέραιοι $x, y, z$ μεγαλύτεροι του $N$ τέτοιοι ώστε $\left\{ \sqrt{x} \right\} + \left\{ \sqrt{y...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Οκτ 26, 2017 11:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Και λίγη τριγωνομετρία-11.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 644

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-11.

Σύμφωνα με το θεώρημα Μενελάου για το τρίγωνο B\Gamma M και την τέμνουσα A\Delta P ισχύει \dfrac{AM}{A\Gamma }\cdot \dfrac{\Delta B}{\Delta M}\cdot \dfrac{P\Gamma }{PB}=1 οπότε \Delta B=4\Delta M ή MB=5\Delta M.
Επομένως \tan \theta =\dfrac{AM}{\Delta M}=\dfrac{MB}{\Delta M}=5.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Οκτ 26, 2017 11:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Χρόνια Πολλά στους Δημήτρηδες
Απαντήσεις: 28
Προβολές: 1616

Re: Χρόνια Πολλά στους Δημήτρηδες

Χρόνια Πολλά σε όλους τους φίλους που γιορτάζουν σήμερα!
Ιδιαιτέρως να ευχηθώ στους
Δημήτρη Ιωάννου
Δημήτρη Σκουτέρη και
Δημήτρη Χριστοφίδη.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Οκτ 23, 2017 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Στροφές
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 1178

Re: Στροφές

στροφή.png Τι ωραίο πρόβλημα! Το σχήμα κρύβει ένα κανονικό εξάγωνο, ισόπλευρα τρίγωνα και συμμετρίες ως προς κέντρο και ως προς ευθεία. Ο κάτω κόκκινος κύκλος στρίβει κατά $60^0$ μοίρες για γίνει ο πράσινος κύκλος, κυλώντας πάνω στον κάτω αριστερά μπλε κύκλο. Ο πράσινος κύκλος στρίβει κατά $60^0$ μ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Δευ Οκτ 23, 2017 1:47 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Πρόβλημα 54
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 819

Re: Πρόβλημα 54

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Κυρ Οκτ 22, 2017 11:10 pm

Επ' άπειρον;
Ας αφήσουμε μία εβδομάδα περιθώριο στους μαθητές του γυμνασίου, από την ώρα της δημοσίευσης.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Οκτ 22, 2017 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τεμαχισμός τετραγώνου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 733

Τεμαχισμός τετραγώνου

Ζεύγη ίσων τετραγώνων.jpg
Ζεύγη ίσων τετραγώνων.jpg (11.01 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές
Το μεγάλο τετράγωνο του παραπάνω σχήματος έχει χωρισθεί σε τετράγωνα με ακέραιο μήκος πλευρών. Κάθε μικρότερο τετράγωνο εμφανίζεται ακριβώς δύο φορές. Γνωρίζουμε ακόμα ότι το γραμμοσκιασμένο τετράγωνο έχει πλευρά 10. Βρείτε την πλευρά του μεγάλου τετραγώνου.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Οκτ 22, 2017 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Πρόβλημα 54
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 819

Πρόβλημα 54

Πρόβλημα 54 Σε κάποιο γυμνάσιο τα $\dfrac{5}{7}$ των μαθητών της Β΄ γυμνασίου διδάσκονται ως δεύτερη ξένη γλώσσα τα γαλλικά. Ήρθαν με μεταγραφή 5 νέοι μαθητές και οι 2 από αυτούς εντάχθηκαν σε τμήμα γαλλικών. Τελικά οι μαθητές που διδάσκονται γαλλικά είναι τα $\dfrac{7}{10}$ του συνόλου. Βρείτε πόσ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Κυρ Οκτ 22, 2017 8:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τετράπλευρο 12.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 373

Re: Τετράπλευρο 12.

Ας είναι $E$ το συμμετρικό του $\Delta$ ως προς την $A\Gamma.$ Τότε $\Gamma E=\Gamma\Delta$ και $A\widehat{\Gamma }E=A\widehat{\Gamma }\Delta =20^0$ οπότε $E\widehat{\Gamma }B =60^0.$ Tα τρίγωνα $A\Gamma E,AEB$ είναι ίσα οπότε το τρίγωνο $EB\Gamma$ είναι ισόπλευρο. Επομένως $\Gamma \Delta =B\Gamma.$...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σάβ Οκτ 21, 2017 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Παραλληλόγραμμα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 654

Παραλληλόγραμμα

παραλληλόγραμμα.jpg
παραλληλόγραμμα.jpg (19.82 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

Οι σημειωμένοι αριθμοί είναι οι περίμετροι των μικρών παραλληλογράμμων που τους περιέχουν.
Αν το μεγάλο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 46 βρείτε την περίμετρο του γκρι παραλληλογράμμου.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Σάβ Οκτ 21, 2017 12:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Όριο με παράμετρο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 859

Re: Όριο με παράμετρο

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\dfrac {\sin x-x}{x^3}=-\dfrac{1}{6}}$ οπότε και $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\dfrac {\sin (x+ax^3)-(x+ax^3)}{x^3(1+ax^2)^3}=-\dfrac{1}{6}}$ $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\dfrac {\sin (x+ax^3)-(x+ax^3)}{x^3}=-\dfrac{1}{6}}$ $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\dfrac {\sin (x+ax^3)-x...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Οκτ 20, 2017 1:16 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1165

Re: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

Για το (γ) ερώτημα $h(x)=f^4(x)-2f^3(x)+f^2(x)-f^2(x)+f(x)+1=(f^2(x)-f(x))^2-(f^2(x)-f(x))+1$ $h(x)=(f^2(x)-f(x)-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}\geq \dfrac{3}{4}$ Το ζητούμενο ελάχιστο είναι το $\dfrac{3}{4}$ και επιτυγχάνεται όταν $f^2(x)-f(x)-\dfrac{1}{2}=0.$ (Η τελευταία έχει ακριβώς δύο λύσεις αφού...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Οκτ 19, 2017 3:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΤΟ ΜΕΓΑΛΟ ΚΟΛΠΟ ! ΑΛΛΟΙ ΤΟ ΨΑΧΝΟΥΝ ΚΑΙ ΑΛΛΟΙ ΤΟ ΕΧΟΥΝ ΕΤΟΙΜΟ !
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1372

Re: ΤΟ ΜΕΓΑΛΟ ΚΟΛΠΟ ! ΑΛΛΟΙ ΤΟ ΨΑΧΝΟΥΝ ΚΑΙ ΑΛΛΟΙ ΤΟ ΕΧΟΥΝ ΕΤΟΙΜΟ !

Ορέστη διάβασα προσεκτικά το κείμενό σου. Κατάλαβα τον προβληματισμό σου αλλά νομίζω πως τα πράγματα έχουν και άλλη ανάγνωση. Αντιγράφω από τον κανονισμό: Σκοποί του mathematica είναι η προαγωγή της μαθηματικής παιδείας , της μαθηματικής επιστήμης, η επικοινωνία των μαθηματικών και η αλληλοβοήθεια. ...
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Οκτ 19, 2017 12:36 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Τετραγωνάκια μέσα σε τετράγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 931

Τετραγωνάκια μέσα σε τετράγωνο

εμβαδόν.jpg
εμβαδόν.jpg (20.39 KiB) Προβλήθηκε 931 φορές
Στο παραπάνω σχήμα όλα τα μικρά τετράγωνα είναι του ίδιου μεγέθους. Βρείτε ποιο ποσοστό του μεγάλου τετραγώνου είναι γραμμοσκιασμένο.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Πέμ Οκτ 19, 2017 11:29 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1165

Re: Εύρεση αντίστροφης συνάρτησης

Για το (β):
f(x)=x+\ln (e^{2x}+3e^x+3)>x+\ln e^{2x} ή
f(x)>3x για κάθε x\in \mathbb R οπότε
f(f^{-1}(x))>3f^{-1}(x) ή
x>3f^{-1}(x) και τελικά
f(x)>3x>9f^{-1}(x) για κάθε x\in \mathbb R.
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Οκτ 18, 2017 3:53 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ισόπλευρο μέσα σε κανονικό εξάγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 801

Ισόπλευρο μέσα σε κανονικό εξάγωνο

Ισόπλευρο μέσα σε κανονικό εξάγωνο.png
Ισόπλευρο μέσα σε κανονικό εξάγωνο.png (75.9 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές
Να βρείτε το λόγο των εμβαδών του ισοπλεύρου προς το κανονικό εξάγωνο. Οι κορυφές του ισοπλεύρου είναι μέσα των πλευρών του εξαγώνου.

Για να δούμε πόσες λύσεις θα βρεθούν. :)
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Τετ Οκτ 18, 2017 3:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αναδρομική ακολουθία (15)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 526

Re: Αναδρομική ακολουθία (15)

Πολλαπλασιάζω κατά μέλη με $4^n$ οπότε $4^na_n=8\cdot 4^{n-1}a_{n-1}+4$ ή $b_n=8b_{n-1}+4$ όπου $b_n=4^na_n$ $b_n+\dfrac{4}{7}=8b_{n-1}+\dfrac{32}{7}$ $b_n+\dfrac{4}{7}=8(b_{n-1}+\dfrac{4}{7})$ $b_n+\dfrac{4}{7}=8^n(b_{0}+\dfrac{4}{7})=\dfrac{11}{7}8^n$ $4^na_n+\dfrac{4}{7}=\dfrac{11}{7}8^n$ $\boxed...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση