Η αναζήτηση βρήκε 74 εγγραφές

από Νικος Αντωνόπουλος
Τετ Δεκ 07, 2011 12:02 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Νικόλαε, Χρόνια πολλά
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 1671

Re: Νικόλαε, Χρόνια πολλά

Μαζί με τις ευχές μου σε όλους τους συνονόματους του Mathematica, θα ήθελα και εγώ με τη σειρά μου να ευχαριστήσω τους συναδέλφους για τις προσωπικές ευχές και να ευχηθώ με τη σειρά μου να έχουν καλή υγεία και όρεξη για δημιουργική ενασχόληση με την κοινή "αρρώστια" μας.
από Νικος Αντωνόπουλος
Κυρ Νοέμ 13, 2011 6:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ποδοσύνδεση
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 480

Re: Ποδοσύνδεση

Με την ευκαιρία της ερώτησης του KARKAR ας δούμε και δυο ακόμα ερωτήματα. Αν CF είναι το τρίτο ύψος του τριγώνου, τότε: α. Η περίμετρος του τριγώνου DEF (ορθικό του τριγώνου ΑΒΓ) είναι $L=4R\eta \mu A\cdot \eta \mu B\cdot \eta \mu C$. β. Το εμβαδόν του ορθικού τριγώνου είναι $S=\frac{{{R}^{2}}}{2}\e...
από Νικος Αντωνόπουλος
Παρ Σεπ 30, 2011 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Λύση εξίσωσης
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 519

Re: Λύση εξίσωσης

Η εξίσωση έχει προφανείς ρίζες το 0 και το 1. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι δεν έχει αρνητική ρίζα. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)={{5}^{x}}-{{4}^{x}}-x$. Η παράγωγός της για $x<0$ είναι ${f}'(x)={{5}^{x}}\ln 5-{{4}^{x}}\ln 4-1=({{5}^{x}}-{{4}^{x}})\ln 4+{{5}^{x}}\ln 1,25-1<0$. Άρα η συνάρτηση είναι γνησίω...
από Νικος Αντωνόπουλος
Δευ Σεπ 26, 2011 4:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Εξίσωση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 476

Re: Εξίσωση

Μια λίγο πιο αναλυτική λύση πάνω στο ίδιο πνεύμα με το Λευτέρη, που με πρόλαβε. Αν ονομάσουμε (1) τη δοσμένη εξίσωση τότε: $(1)\Leftrightarrow {{e}^{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}}}-{{e}^{x}}=\ln \frac{2x}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{e}^{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}}}-{{e}^{x}}=\ln x-\ln \fr...
από Νικος Αντωνόπουλος
Τετ Σεπ 21, 2011 3:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: πεδίο ορισμού σε σύνθεση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 409

Re: πεδίο ορισμού σε σύνθεση

Μάλλον ο παρονομαστής θα πρέπει να είναι ${{e}^{x+1}}+1$. Φυσικά σ’ αυτή την περίπτωση προκύπτει ως πεδίο ορισμού της $g\circ f$ το πεδίο ορισμού της $f$. Αν ο παρονομαστής είναι αυτός που έχεις γράψει, για να προκύψει αυτό το πεδίο ορισμού θέλει πρόσθετα δεδομένα (όπως για παράδειγμα ότι η $f$ είνα...
από Νικος Αντωνόπουλος
Κυρ Σεπ 04, 2011 7:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Λογαριθμική παράσταση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 305

Re: Λογαριθμική παράσταση

Αν προσθέσουμε τις δοσμένες έχουμε $\ln 60-\ln 4=(m+n)\ln 60$ οπότε $\ln 4=(1-m-n)\ln 60$, $\ln 2=\frac{1}{2}(1-m-n)\ln 60$ και $\ln 12=\ln 3+\ln 4=(m+1-m-n)\ln 60=(1-n)\ln 60$. Άρα $\frac{\ln 4}{\ln 3}=\frac{1-m-n}{m}$ και $\frac{\ln 2}{\ln 12}=\frac{1-m-n}{2(1-n)}$ οπότε $\frac{\ln 4}{\ln 3}+\frac...
από Νικος Αντωνόπουλος
Τετ Αύγ 31, 2011 4:18 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Κι άλλη ανισότητα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 209

Κι άλλη ανισότητα!

Η άσκηση του Θάνου μου θύμισε αυτή:

Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει:
\sqrt{\frac{\alpha }{\beta +\gamma }}+\sqrt{\frac{\beta }{\gamma +\alpha }}+\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha +\beta }}\ge 2.
από Νικος Αντωνόπουλος
Δευ Αύγ 29, 2011 6:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 484

Re: Ανισότητα

Και μια διαφορετική προσέγγιση από αυτές του Θάνου. Αν φ, ω γωνίες του $(0,\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}]$ με ${{\alpha }^{2}}=\frac{\text{1}}{\text{ }\!\!\eta\!\!\text{ }{{\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ }}^{2}}\varphi }\text{ }\!\!\kappa\!\!\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!\iota\!\!\text...
από Νικος Αντωνόπουλος
Δευ Αύγ 29, 2011 4:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Η ''απόλυτη'' εργασία 5
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 427

Re: Η ''απόλυτη'' εργασία 5

Είναι φανερό ότι $xyz\ne 0.$ Επίσης από την δεύτερη βρίσκουμε $3x+3|y+2|\le 3$ οπότε $x\le 1$ (η ισότητα μόνο όταν $y=-2$). Τότε όμως η πρώτη γράφεται $|z{{|}^{2}}\le 2|y||z|-|y{{|}^{2}}\Rightarrow {{(|z|-|y|)}^{2}}\le 0\Rightarrow |z|=|y|$. Εύκολα τώρα η πρώτη δίνει $x=1$, οπότε $y=-2$ και $|z|=2$....
από Νικος Αντωνόπουλος
Δευ Αύγ 29, 2011 11:15 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Εξίσωση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 262

Re: Εξίσωση

Η εξίσωση έχει προφανείς (;) ρίζες τους αριθμούς -1, 0 και 1. Θα αποδείξουμε ότι δεν έχει άλλη ρίζα. Αν είχε, τότε η διαδοχική εφαρμογή του Θ. Rolle στην αντίστοιχη συνάρτηση $f(x)={{3}^{x}}({{3}^{x+1}}+1-x)-10{{x}^{2}}-13x-4$ στα διαστήματα που σχηματίζονται θα μας εξασφάλιζε ρίζα της ${{f}^{(3)}}(...
από Νικος Αντωνόπουλος
Κυρ Αύγ 28, 2011 5:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: ΣΥΣΤΗΜΑ
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 486

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Μια, λίγο διαφορετική αντιμετώπιση Είναι: $(a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}})(x+y)=a{{x}^{3}}+b{{y}^{3}}+a{{x}^{2}}y+bx{{y}^{2}}{\Rightarrow 5(x+y)=14+xy(ax+by)}{\Rightarrow 5(x+y)-2xy=14}$ (1) και $(ax+by)(x+y)=a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}+axy+bxy{\Rightarrow 2(x+y)=5+xy}{\Rightarrow 2(x+y)-xy=5$ (2) Αν θέσουμε x+y=...
από Νικος Αντωνόπουλος
Τρί Ιουν 07, 2011 6:21 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικές 2011
Απαντήσεις: 37
Προβολές: 8797

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικές 2011

Στο θέμα Δ όπου δίνονται κάποιες αρχικές ιδιότητες για τη συνάρτηση f μπορεί κάποιος να αναρωτηθεί αν υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Διαφορετικά, αν αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει, μπορούμε να συμπεράνουμε οτιδήποτε. Η επιτροπή στην προσπάθειά της να αποφύγει αυτή την περίπτωση φαίνεται πίσω από την εκφώνησ...
από Νικος Αντωνόπουλος
Δευ Μάιος 30, 2011 5:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εύρεση αριθμών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 197

Re: Εύρεση αριθμών

Η λύση προκύπτει άμεσα από τη σχέση
(a-\frac{b}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}b}{2}-3\sqrt{3})^{2}+(c-4)^2\leq 0 η οποία είναι ισοδύναμη με τη δοσμένη.
από Νικος Αντωνόπουλος
Σάβ Μάιος 28, 2011 7:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Ποιός θα πάρει την άσχημη ;
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 733

Re: Ποιός θα πάρει την άσχημη ;

Μετά την παρέμβαση του Σωτήρη, ας παραθέσω κι' εγώ μια διαφορετική λύση. Η εξίσωση γράφεται $x\cdot {{2}^{\frac{\text{1}}{\text{x}}}}+\frac{\text{1}}{\text{x}}\cdot {{2}^{x}}=4$ απ’ όπου συνάγουμε ότι δεν έχει αρνητική λύση. Με $x>0$, αν θέσουμε $x\cdot {{2}^{\frac{\text{1}}{\text{x}}}}=u$ και $\fra...
από Νικος Αντωνόπουλος
Παρ Μάιος 27, 2011 6:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Εκθετικό σύστημα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 578

Re: Εκθετικό σύστημα

Μια διαφορετική προσέγγιση του θέματος. Η πρώτη από τις δοσμένες εξισώσεις με εφαρμογή της ${{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}\ge 2\alpha \beta$, γράφεται ${{2}^{x+y+1}}\ge {{2}^{y+1}}\Rightarrow {{2}^{x}}\ge 1\Rightarrow x\ge 0$. Ομοίως βρίσκουμε $y\ge 0$ και $z\ge 0.$ Επίσης: ${{2}^{x+y+1}}=1+{{4}^{y}...
από Νικος Αντωνόπουλος
Τετ Μάιος 25, 2011 8:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Υπολογισμός τιμής πολυωνύμου
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 692

Re: Υπολογισμός τιμής πολυωνύμου

Πράγματι, το αποτέλεσμα που βρήκε ο Γιώργος είναι το σωστό. Επειδή όμως, σε ότι αφορά στα "μαθηματικά σχεδιάσματα" ασπάζομαι τη γνώμη του Hardy ο οποίος στην "απολογία" του αναφέρει ότι «Τα μαθηματικά σχεδιάσματα πρέπει να είναι όμορφα. Η ομορφιά είναι το πρώτο κριτήριο. Δεν υπάρχει μόνιμη θέση στον...
από Νικος Αντωνόπουλος
Τετ Μάιος 25, 2011 6:33 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Υπολογισμός τιμής πολυωνύμου
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 692

Υπολογισμός τιμής πολυωνύμου

Έστω P(x) πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές είναι μη αρνητικοί ακέραιοι. Αν ισχύουν P(1)=6 και P(7)=3438, να υπολογίσετε την τιμή του πολυωνύμου για x=3.
από Νικος Αντωνόπουλος
Σάβ Μάιος 21, 2011 5:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 2057

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ

Την προηγούμενη εβδομάδα, στο Πειραματικό ΓΕΛ ΙΛΙΟΥ, μαζί με το συνάδελφο Βανταράκη Νίκο, βάλαμε το επόμενο διαγώνισμα. Σκοπός μας ήταν να φτιάξουμε θέματα τα οποία να χαρακτηρίζονται όχι τόσο για την δυσκολία τους, αλλά αφενός για την εσωτερική και τη συνολική διαβάθμιση ους και αφετέρου την κάλυψη...
από Νικος Αντωνόπουλος
Σάβ Μάιος 14, 2011 8:35 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Αφιερωμενο στις σημερινές εξετάσεις.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1739

Re: Αφιερωμενο στις σημερινές εξετάσεις.

Ο δαίμων της πληκτρολόγησης! Παρακαλώ το Το 20 στη θερμοκρασία να αντικατασταθεί με το 30 βαθμούς κελσίου
από Νικος Αντωνόπουλος
Σάβ Μάιος 14, 2011 8:30 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Αφιερωμενο στις σημερινές εξετάσεις.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1739

Αφιερωμενο στις σημερινές εξετάσεις.

Στη μυθική χώρα ΚΑΦΡΙΣΤΑΝ η οποία αιωρείται ανάμεσα στο Βόρειο πόλο και τον Ισημερινό, η καταγραφή της θερμοκρασίας, για ένα συγκεκριμένο εικοσιτετράωρο, έδειξε ότι αυτή ακολουθεί περίπου την κανονική κατανομή με μέση θερμοκρασία 10οC. Αν για 72 λεπτά του εικοσιτετραώρου η θερμοκρασία ήταν είτε κάτω...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση