Η αναζήτηση βρήκε 170 εγγραφές

από ksofsa
Τρί Ιούλ 15, 2014 6:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Χρήσιμο Λήμμα και Εφαρμογή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 544

Re: Χρήσιμο Λήμμα και Εφαρμογή

2Κάνοντας χρήση του λήμματος δείχνω ότι $a^2+b^2+c^2\leq \frac{27}{(ab+bc+ca)^2}$ Αρα αρκεί ν.δ.ό. $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{27}{(ab+bc+ca)^2}\Leftrightarrow 3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq \frac{81}{(ab+bc+ca)^2}$ Ομως $3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac...
από ksofsa
Τρί Ιούλ 15, 2014 4:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Μέγιστο άθροισμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 374

Re: Μέγιστο άθροισμα

Μια τριγωνομετρική λύση: Εστω $<MOB=x,<MOC=y$.Τότε $x+y=$σταθ. Aπό νόμο ημιτόνων ,$MB=2Rsinx,MC=2Rsiny$. Από Jensen,$MB+MC=2R(sinx+siny)\leq 4Rsin(\frac{x+y}{2})=$σταθ., με ισότητα για M σημείο τομής της μεσοκαθέτου του BC με το μικρό τόξο BC. Mια γεωμετρική λύση: Εστω Α το σημείο τομής της μεσοκαθέ...
από ksofsa
Κυρ Ιούλ 13, 2014 11:28 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
Θέμα: Μιγαδικοί
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 428

Re: Μιγαδικοί

Εχω λύση ,αλλά δεν ξέρω πως να συμβολίσω το συζυγή στο latex.Μπορεί κάποιο μέλος να με ενημερώσει;
από ksofsa
Κυρ Ιούλ 13, 2014 11:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
Θέμα: Μιγαδικοί 104
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 236

Re: Μιγαδικοί 104

$2\left|Im(\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{3}}) \right|=\left| \frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{3}}-\frac{\frac{R^2}{z_{3}}-\frac{R^2}{z_{1}}}{\frac{R^2}{z_{2}}-\frac{R^2}{z_{3}}}\right|=\left|\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{3}}-\frac{z_{2}z_{1}-z_{2}z_{3}}{z_{1}(z_{3}-z_{2}} \right|=\left|\frac{z_{1}^2-z_{1}z_{...
από ksofsa
Δευ Ιουν 23, 2014 8:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Χρωματισμός πολυγώνου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 375

Re: Χρωματισμός πολυγώνου

Θα αποδείξω ότι η μικρότερη τιμή του$n$ είναι $30*67+1$. Αντιστοιχίζω τις κορυφές του πολυγώνου με τα στοιχεία του συνόλου $({x_{1},x_{2},...,x_{67}}).$. Aντιστοιχίζω κάθε διαγώνιο ή πλευρά με ένα σύνολο της μορφής $({x_{i},x_{j}),i\neq j$. Για $n=30*67$,θεωρώ όλες τις διαγώνιες εκτός από τις $({x_{...
από ksofsa
Δευ Ιουν 23, 2014 6:49 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2014
Απαντήσεις: 29
Προβολές: 4512

Re: JBMO 2014

Καλή επιτυχία στα παιδιά. Αλλη μια λύση για το τρίτο: Από την ανισότητα $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$ και την ανισότητα AM-GM παίρνω: $LHS\geq \frac{(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{3}\geq \frac{(a+b+c+3)^2}{3}$. Αρκεί ν.δ.ό.: $(a+b+c+3)^2\geq 9(a+b+c+1)$ Θέτω $s=a+b+c$,οπότε α...
από ksofsa
Σάβ Ιουν 14, 2014 1:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Βραζιλιάνικη συνδυαστική
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 394

Re: Βραζιλιάνικη συνδυαστική

Δίνω μια λίγο δυσνόητη και δυσκολοπερίγραπτη λύση. Καλούμε ένα διάστημα ότι έχει μέγεθος $\nu$,όταν είναι της μορφής $[a,b],b-a=\nu$. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ώστε κάθε πλευρά του να αποτελείται από $n$ σημεία,όπως στο συνημμένο για $n=8$. Αντιστοιχίζουμε κάθε σημείο του τριγώνου με κάθε υποδι...
από ksofsa
Τετ Φεβ 05, 2014 8:30 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Νομίσματα σε σκακιέρα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 403

Re: Νομίσματα σε σκακιέρα

Οπως εδειξε ο κυριος Μπαλογλου,μπορούμε να φέρουμε τα νομισματα σε 4 τετράγωνα. Θα δείξω ότι 4 είναι η ελάχιστη τιμή του k. Χρωματίζω τη σκακιέρα ώστε η πρώτη σειρά να έχει εναλλάξ κόκκινα και πράσινα,η δεύτερη κίτρινα και μπλε,η τρίτη κόκκινα και πράσινα ,η τεταρτη κιτρινα και μπλε κ.ο.κ. Μετα από ...
από ksofsa
Κυρ Ιαν 05, 2014 5:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Έυρεση συναρτήσεων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 370

Re: Έυρεση συναρτήσεων

Είναι $f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=\frac{2x-x^2}{e^x}\Leftrightarrow [f(x)g(x)]'=(\frac{x^2}{e^x})'\Leftrightarrow f(x)g(x)=\frac{x^2}{e^x}+c_{1}$.Επειδή $f(0)=0, c_{1}=0.A\varrho \alpha f(x)g(x)=\frac{x^2}{e^x},x\epsilon R.$. Οπως προκύπτει από την πρώτη δεδομένη σχέση ,είναι $g(x)\neq 0$.Ομοια $f(x)\neq 0...
από ksofsa
Παρ Ιαν 03, 2014 9:57 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Ψάχνοντας τη συνάρτηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 641

Re: Ψάχνοντας τη συνάρτηση

Με μελέτη της συνάρτησης $g(x)=xlnx$, βρίσκω ότι είναι γνησίως φθίνουσα άρα 1-1 στο $(0,\frac{1}{e}]$ και γνησίως αύξουσα ,άρα 1-1 στο $[\frac{1}{e},\propto )$. Εστω $x_{1},x_{2}\epsilon (o,\frac{1}{e}] \mu \varepsilon f(x_{1})=f(x_{2}).$. Τότε $f(x_{1})lnf(x_{1})=f(x_{2})lnf(x_{2})\Leftrightarrow x...
από ksofsa
Πέμ Μάιος 02, 2013 7:15 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια σκακιέρα 999χ999
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 557

Re: Μια σκακιέρα 999χ999

Ακολουθώντας την υπόδειξη του κυρίου Μιχάλη Λάμπρου,συμπέρανα τα εξής: Το $C_{2}$ μπορεί να μπει στη θέση οποιουδήποτε κόκκινου κελιού. Αρα όλες οι θέσεις στις οποίες μπορεί να μπει το $C_{2}$ είναι όσα και τα κόκκινα κελιά ,έστω $k$.Για κάθε κόκκινο κελί ,δηλαδή για κάθε θέση του $C_{2}$, οι δυνατέ...
από ksofsa
Τετ Μάιος 01, 2013 10:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια σκακιέρα 999χ999
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 557

Re: Μια σκακιέρα 999χ999

Η άσκηση αυτή με ταλαιπωρεί εδώ και τρεις ημέρες,χωρίς να έχω κάνει σημαντική πρόοδο.Αν και δεν έχει περάσει πολύς καιρός από τη δημοσίευση της,θα μπορούσατε κύριε Θανάση (socrates) να δώσετε κάποια υπόδειξη;
από ksofsa
Κυρ Μαρ 17, 2013 6:17 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα από Crux
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 379

Re: Ανισότητα από Crux

Επειδή η ανισότητα είναι ομογενής μπορώ να υποθέσω ότι $a+b+c=3$. Από την ανισότητα B.C.S. και την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου παίρνουμε: $\sqrt{\dfrac{a(a^2+bc)}{b+c}}=\sqrt{\dfrac{(a^3+abc)(a+abc)}{(b+c)(a+abc)}}\geq \dfrac{a^2+abc}{\sqrt{(b+c)(a+abc)}}\geq \dfrac{a^2+abc}{\dfrac{a+b+c...
από ksofsa
Παρ Μαρ 08, 2013 3:17 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια ωραία ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 326

Re: Μια ωραία ανισότητα!

Αν προσθέσουμε σε κάθε κλάσμα του πρώτου μέλους τη μονάδα και στο δεύτερο μέλος το 4,τότε η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα: $\frac{bc+ca+a}{bc+c+1}+\frac{cd+db+b}{cd+d+1}+\frac{da+ac+c}{da+a+1}+\frac{ab+bd+d}{ab+b+1}\geq 4$ Από την ανισότητα B.C.S. παίρνουμε ότι: $(bc+ca+a)(bc+\frac{c}{a}+\frac{1}{a})...
από ksofsa
Δευ Φεβ 25, 2013 3:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Mια συνδυαστική!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 467

Mια συνδυαστική!

Προσδιορίστε αν είναι δυνατό να διατάξουμε τους αριθμούς 1,1,2,2,...,n,n έτσι ώστε να υπάρχουν j αριθμοί μεταξύ δύο j's,1\leq j\leq n, όταν n=2000,n=2001,n=2002.(Για παράδειγμα, για n=4, 41312432 είναι μια τέτοια διάταξη.)
από ksofsa
Δευ Φεβ 25, 2013 3:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια γεωμετρία!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 175

Μια γεωμετρία!

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και έστω σημεία $D , E$ στις πλευρές $AB, AC$ αντίστοιχα ώστε $DE//BC.$Εστω $P$ ένα εσωτερικό σημείο του τριγώνου $ADE$.Υποθέτουμε ότι οι ευθείες $BP,CP$ τέμνουν την $DE$ στα $F,G$ αντίστοιχα.Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $PDG ,PFE$ τέμνονται στα $P,Q$.Να δειχθεί ότι τ...
από ksofsa
Σάβ Φεβ 23, 2013 4:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2012 - ΛΥΚΕΙΟ
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 5984

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2012 - ΛΥΚΕΙΟ

Ποια εικαζετε ότι θα είναι η βάση για τους μεγαλους;
από ksofsa
Κυρ Ιαν 27, 2013 11:52 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!
Απαντήσεις: 242
Προβολές: 32923

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Για την 94: Αφού η ανισοτητα είναι συμμετρική, μπορούμε να υποθέσουμε ,χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι $a\geq b\geq c$. Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα: $(\sqrt{a^2+bc}-\sqrt{ca+ab})+(\sqrt{b^2+ca}-\sqrt{ab+bc})+(\sqrt{c^2+ab}-\sqrt{bc+ca})\geq 0\Leftrightarrow \frac{(a^2+bc)-(ca+ab)}{\sqrt{a^2+bc}+...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση