Η αναζήτηση βρήκε 168 εγγραφές

από ksofsa
Παρ Ιούλ 20, 2018 7:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τέμνονται στην κάθετη
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1221

Re: Τέμνονται στην κάθετη

Εστω $P$ το σημείο τομής των $AE, BC$. Εστω $Q$ το σημείο τομής των $ED, BC$. Από τα δεδομένα προκύπτει ότι τα τρίγωνα $ABP, CDQ$ είναι ίσα. Εστω $AB=BC=CD=x, AP=CQ=z, PB=DQ=y$. Αρα $<P=<Q$, άρα $EPQ$ ισοσκελές. Εστω $(I_{P},R_{1})$ ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του $APB$. Εστω ότι εφάπτεται της $BC$ στ...
από ksofsa
Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:48 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 474

Re: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

Αλλη μια λύση. Θέτω $P=a_{1}+a_{2}+...+a_{m},Q=a_{m+1}+a_{m+2}+...+a_{n}, R=P+Q$. Από την τριγωνική ανισότητα είναι: $3max(\left | P \right |,\left | R \right |)\geq 2\left | P \right |+\left | R \right |\geq \left | R-2P \right |=\left | P-Q \right |=\left | a_{1}+a_{2}+...a_{m}-a_{m+1}...-a_{n} \r...
από ksofsa
Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο απολύτων τιμών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 487

Re: Μέγιστο απολύτων τιμών

Εστω ότι δεν ισχύει το ζητούμενο. Μπορώ να θέσω $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$. Θέτω $K_{1}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}=1, K_{2}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}-a_{n}=1-2a_{n},...,K_{n}=a_{1}-a_{2}-...-a_{n-1}-a_{n}=1-2a_{n}-2a_{n-1}-...-2a_{2}$. Θα χρησιμοποιήσω τη σχέση $\frac{\left | x-y \right |+\left | x+...
από ksofsa
Πέμ Ιούλ 05, 2018 11:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Οι ρητοί είναι ακέραιοι
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 806

Re: Οι ρητοί είναι ακέραιοι

Εστω $x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d}, a,b,c,d\epsilon Z, (a,b)=1,(c,d)=1$. Τότε $\frac{a^n}{b^n}-\frac{c^n}{d^n} \epsilon Z$. 1)$b>d$.Τότε $d^n(\frac{a^n}{b^n}-\frac{c^n}{d^n})\epsilon Z\Rightarrow (\frac{d^na^n}{b^n}-c^n)\epsilon Z\Rightarrow b^n/a^nd^n\Rightarrow b^n/d^n$ άτοπο, διότι $b>d$. 2)$b<d$....
από ksofsa
Κυρ Μαρ 25, 2018 9:28 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2018
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 996

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2018

Για το 3: Θέτω:$x=a+2b+c, y=a+b+2c, z=a+b+3c$ Τότε: $a=5y-3z-x, b=x-2y+z, c=z-y$ Αρα: $K=\frac{2y-x}{x}+\frac{4x-8y+4z}{y}+\frac{8y-8z}{z}=2(\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}+\frac{2z}{y}+\frac{4y}{z})-17$ Ομως $(\frac{y}{x}+\frac{2x}{y})+(\frac{2z}{y}+\frac{4y}{z})\geq 2\sqrt{2}+4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$. Ισότητ...
από ksofsa
Πέμ Μαρ 22, 2018 7:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εγγραφή ορθογωνίου και λόγος εμβαδών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 520

Re: Εγγραφή ορθογωνίου και λόγος εμβαδών

Δίνω απάντηση και για το β ερώτημα, για να ολοκληρωθεί η λύση:

Είναι y=2x, (ADE)=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}, (DEHZ)=xy=2x^2,  \frac{(ADE)}{(DEHZ)}=\frac{\sqrt{3}}{8}
από ksofsa
Κυρ Μαρ 18, 2018 11:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εγγραφή ορθογωνίου και λόγος εμβαδών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 520

Re: Εγγραφή ορθογωνίου και λόγος εμβαδών

Εστω το ύψος $AF$ και $G$ το σημείο τομής των $AF, DE$.Εστω $DE=x, GF=y$. Από τα δεδομένα είναι $2(x+2AD)=2x+2y\Leftrightarrow y=2AD$ Από θ. Θαλή είναι $\frac{AD}{AG}=\frac{AB}{AF}\Leftrightarrow AG=\frac{AF}{AB}\cdot AD$. Ακόμη, $AF=AG+y=\frac{AF}{AB}\cdot AD+2AD\Leftrightarrow AD=\frac{AF\cdot AB}...
από ksofsa
Παρ Μαρ 16, 2018 8:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολύπλοκη καθετότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1073

Re: Πολύπλοκη καθετότητα

Νομίζω ότι έχω βρει λύση χωρίς να ισχύει απαραίτητα η καθετότητα των $AC,BD$. Απο το $C$ φέρνω παράλληλη στη $BE$ που τέμνει την $AE$ στο $L$. Τα τρίγωνα $ABE, ELC$ όμοια γιατί $AB//EC, AE//EL, BE//LC$. Εστω $I$ το ορθόκεντρο του $ABE$ και $AR, BQ, EP$ τα ύψη. Εστω $\Theta $ το ορθόκεντρο του $ELC$ ...
από ksofsa
Κυρ Σεπ 24, 2017 9:27 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πρώτος και δύναμη!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1272

Re: Πρώτος και δύναμη!

ΛΗΜΜΑ 1ο Κάθε πολυώνυμο $P(x)=x^a+x^b+x^c, a\not\equiv b\not\equiv c\not\equiv a(mod3)$ διαιρείται από το πολυώνυμο $Q(x)=x^2+x+1$. Πράγματι, το πολυώνυμο $P(x)$ έχει ρίζες $m=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},n=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$,αφού $m^3=n^3=1, m^2+m+1=n^2+n+1=0$. Επειδή $m,n$ ρίζες του $Q(x)$, έπεται ...
από ksofsa
Παρ Σεπ 01, 2017 11:35 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1302

Re: Ανισότητα

Νομίζω ότι ισχύει η ισχυρότερη: $\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x+y}+(1-y^2)(1-z^2)\leq 2$ 1η περίπτωση:$x\geq y\geq z$ Ισχύει $\frac{x^2}{1+y}+\frac{z^2}{1+x+y}\leq 1$ (εύκολα από πράξεις) και $\frac{y^2}{1+z}+(1-y^2)(1-z^2)\leq y^2+(1-y^2)=1$ με πρόσθεση η ζητούμενη 2η περίπτωση:$x\g...
από ksofsa
Τρί Μάιος 16, 2017 10:20 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ακολουθία ακεραίων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1250

Re: Ακολουθία ακεραίων

Θεωρώ τις ακολουθίες $b_{1}:a_{1},a_{2},a_{3},...$ $b_{2}:a_{2},a_{4},a_{6},...$ ... $b_{n}:a_{2^n},a_{2\cdot 2^n},a_{3\cdot 2^n},...$ Κάθε ακολουθια έχει την ιδιότητα κάθε όρος της να διαφέρει από τον προηγούμενο και τον επόμενο. Θα λέμε ότι 2 ακολουθίες $b_{p},b_{q}$ έχουν την ιδιότητα Α όταν υπάρ...
από ksofsa
Τρί Ιουν 14, 2016 8:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 5435

Re: ΙΜΟ Μικρή Λίστα 2015

Για την τρίτη θεωρία αριθμών: Εχω $x_{k}=\frac{a}{n+k}+1,a=m-n$. Οπότε αρκεί ν.δ.ό. $A=(\frac{a}{n+1}+1)...(\frac{a}{2n+1}+1)$ δε γράφεται στη μορφή $2^{b}+1$. Προφανώς $lcm(n+1,...,2n+1)/a$. Αρα $a=2^{c}dlcm(n+1,...,2n+1),c\geq 0$ και $d$ περιττός. Αν $d>1$,τότε θεωρώ p πρώτο διαιρέτη του $d$. Τότε...
από ksofsa
Κυρ Δεκ 13, 2015 7:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια συναρτησιακή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 574

Re: Μια συναρτησιακή

Θέτω $x=0,y=0$ και παίρνω $f(0)=0 \eta f(0)=\frac{1}{2}$. Θέτω $x=1,y=0$ και παίρνω $f(1)=f(1)(f(1)+f(0))$ (1). Θέτω $x=0,y=1$ και παίρνω $f(0)+4f(1)=2f(1)(f(-1)+1)$ (2). Θέτω $x=1,y=1$ και παίρνω $5f(1)=(f(0)+1)(f(2)+f(1))$ (3). Θέτω $x=1,y=-1$ και παίρνω $f(1)+4f(-1)=(f(2)+1)(f(0)+f(-1))$ (4). $$Ε...
από ksofsa
Τρί Σεπ 23, 2014 11:00 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΠΑΓΚΡΗΤΙΑ ΣΥΝΑΝΤΗΣΗ ΜΕΛΩΝ MATHEMATICA.GR ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΟΝΟ
Απαντήσεις: 30
Προβολές: 4207

Re: ΠΑΓΚΡΗΤΙΑ ΣΥΝΑΝΤΗΣΗ ΜΕΛΩΝ MATHEMATICA.GR ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΟΝΟ

Υπάρχει περιορισμός στην ηλικία;Δηλαδή,μπορούν και τα πιο νεαρά μέλη του mathematica,όπως εγώ (18,5 ετών),να έρθουν;Αν επιτρέπεται ,τότε υπολογίζετε κι εμένα σαν ενδιαφερόμενο.
από ksofsa
Πέμ Σεπ 04, 2014 11:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Απορία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 439

Απορία

Καλησπέρα, Μπορεί κάποιος να εξηγήσει απλά,κατανοητά και κατά προτίμηση στα ελληνικά τι λέει το implicit function theorem και το inverse function theorem και ποια είναι η χρησιμότητά τους (εφαρμογές);Συγκεκριμένα παραδείγματα είναι ευπρόσδεκτα. ΥΓ.Μόλις τέλειωσα το λύκειο και επειδή θα σπουδάσω αντι...
από ksofsa
Παρ Ιούλ 18, 2014 12:54 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Euler 2014-5
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 738

Re: Euler 2014-5

Θεωρώ πίνακα με 3 γραμμές και k στήλες. Στην πρώτη στήλη τοποθετώ τα στοιχεία του $A_{1}$,στη δεύτερη του $A_{2}$ κ.ό.κ. Σύμφωνα με το δεδομένο (δ) τα στοιχεία του πίνακα είναι $5n$. Αρα $5n=3k$. Κάθε στήλη περιέχει 3 δυάδες στοιχείων άρα όλος ο πίνακας $3k$ δυάδες. Σύμφωνα με το δεδομένο (γ),οι δυά...
από ksofsa
Τετ Ιούλ 16, 2014 9:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
Θέμα: Μιγαδικοί 87
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 827

Re: Μιγαδικοί 87

Και με ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου:

x^{2014}+2013=\left|x \right|^{2014}+1+1+...+1\geq 2014\sqrt[2014]{\left|x \right|^{2014}}=2014\left|x \right|\geq 2014x\Rightarrow x^{2014}-2014x+2014>0.
από ksofsa
Τρί Ιούλ 15, 2014 10:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Μέγιστο άθροισμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 374

Re: Μέγιστο άθροισμα

Και μια σχολική λύση: Εστω D το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του BC με το μικρό τόξο BC. Προεκτείνω την ΒΜ κατά τμήμα ΜΕ=ΜC.Επειδή $<BEC=\frac{<BMC}{2}=\frac{<BDC}{2}$ και το D στη μεσοκάθετο του BC ,το Ε κινείται σε κύκλο κέντρου D και ακτίνας BD. Αρα $MB+MC=BE\leq 2BD=BD+CD$. Ισότητα για M=D Κώστας
από ksofsa
Τρί Ιούλ 15, 2014 6:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Χρήσιμο Λήμμα και Εφαρμογή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 544

Re: Χρήσιμο Λήμμα και Εφαρμογή

2Κάνοντας χρήση του λήμματος δείχνω ότι $a^2+b^2+c^2\leq \frac{27}{(ab+bc+ca)^2}$ Αρα αρκεί ν.δ.ό. $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{27}{(ab+bc+ca)^2}\Leftrightarrow 3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq \frac{81}{(ab+bc+ca)^2}$ Ομως $3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση