Η αναζήτηση βρήκε 170 εγγραφές

από ksofsa
Παρ Αύγ 30, 2019 4:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισοϊσότητα
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 857

Re: Ανισοϊσότητα

Μια ακόμα λύση: Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις: 1) Οι $x,y$ είναι ομόσημοι. Τότε, δεδομένης της μορφής της ανισότητας , μπορώ να υποθέσω ότι $x,y$ θετικοί, χωρίς βλάβη της γενικότητας. Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχω $\frac{27}{4}x^2y^2(x+y)^2=27xy\cdot \frac{x(x+y)}{2}\cdot \frac{y(x...
από ksofsa
Πέμ Ιούλ 04, 2019 2:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κριτήριο ισοπλεύρου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 342

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου

Θα δείξω αρχικά ότι κάθε ισόπλευρο τρίγωνο έχει αυτήν την ιδιότητα. Τα τρίγωνα $ABD, BFD$ όμοια. Αρα $\dfrac{DF}{AD}=\dfrac{BD}{AB}$ Επίσης, $\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{CD}{AC}$ Οπότε $\dfrac{DF}{AD}+\dfrac{DE}{AD}=1\Leftrightarrow AD=DF+DE$ Θα δείξω τώρα ότι κάθε τρίγωνο με αυτήν την ιδιότητα είναι ισόπ...
από ksofsa
Τρί Ιούλ 02, 2019 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λόγος εμβαδών από συμμετρία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 568

Re: Λόγος εμβαδών από συμμετρία

$BC=x, CE=y, EB=z$ Το Μ έγκεντρο του EBC $BD=s-y, CD=s-z$ $AD=\sqrt{(s-y)(s-z)}$ $(EBC)=sr=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}\Leftrightarrow \dfrac{s\sqrt{(s-z)(s-y)}}{2}=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}\Leftrightarrow \sqrt{s}=2\sqrt{s-x}\Leftrightarrow s=4s-4x\Leftrightarrow \dfrac{x}{s}=\dfrac{3}{4}$ Εχω $\dfrac{(AB...
από ksofsa
Τρί Ιούλ 02, 2019 8:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολύπλοκη συνθήκη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 221

Re: Πολύπλοκη συνθήκη

Είναι $MT=CT-CM=s-c-\dfrac{a}{2}=\dfrac{b-c}{2}$ και $MS=\dfrac{atanC}{2}=\dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{sinC}{cosC}=\dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{\dfrac{2E}{ab}}{\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}=\dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{4E}{a^2+b^2-c^2}=\dfrac{2a\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a^2+b^2-c^2}$ Αρα $MS=MT\Leftrightarrow (b-c)(...
από ksofsa
Πέμ Ιουν 27, 2019 3:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τρεις ανισότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 495

Re: Τρεις ανισότητες

Αφού

f(x)\geq f(\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}

ισχύει η διπλή ανισότητα

\frac{b}{6}< SD< \frac{b}{3+2\sqrt{2}}

και η απόρροιά της , η λιγότερο σφιχτή αλλά πιο κομψή ανισότητα

\frac{b}{6}< SD< \frac{b}{5}
από ksofsa
Πέμ Ιουν 27, 2019 3:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τρεις ανισότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 495

Re: Τρεις ανισότητες

Θεωρώ $Q\equiv BD\cap AT, P\equiv ST\cap BD$ Για την 1η ανισότητα: Από θ. διχοτόμων έχω: $\frac{CD}{DA}=\frac{BC}{AB}>1\Rightarrow CD>DA\Rightarrow 2CD>CD+DA\Rightarrow CD>\frac{b}{2}$ Για τη 2η ανισότητα: Εχω $<STD=<ATD=<B/2$ Αρα , η $TD$ διχοτόμος στο τρίγωνο $STA$ και η $TC$ εξωτερική διχοτόμος ω...
από ksofsa
Τετ Ιουν 26, 2019 11:49 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τρεις ανισότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 495

Re: Τρεις ανισότητες

Μήπως χρειάζεται κάποιος περιορισμός στην εκφώνηση;

Γιατί για <B=60, <C=30 είναι CS=\frac{b}{2}.
από ksofsa
Πέμ Ιουν 20, 2019 1:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Σχέση πλευρών τριγώνου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 418

Re: Σχέση πλευρών τριγώνου

Άλλη μια λύση για το 1ο ερώτημα: Θεωρώ το σημείο K όπως το όρισε ο Ορέστης. Τότε, τα τρίγωνα $ABD, AKC$ όμοια, αφού $< ABD=< AKC, < BAD=< KAC$. Οπότε, $\frac{AD}{CA}=\frac{AB}{AK}\Leftrightarrow AD\cdot AK=AB\cdot CA\Leftrightarrow 2AD^2=AB\cdot CA$ Tα τρίγωνα $ABC, BKC$ έχουν το ίδο εμβαδόν ως τρίγ...
από ksofsa
Σάβ Ιουν 15, 2019 7:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 864

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1

Άλλη μια λύση για το 3ο θέμα: Η ανισότητα ισοδυναμα γράφεται: $\frac{3x^3}{3z^3+3x^2y}+\frac{3y^3}{3x^3+3y^2z}+\frac{3z^3}{3y^3+3z^2x}\geq \frac{3}{2}$ Από ΑΜ-ΓΜ έχω $3x^2y\leq 2x^3+y^3$ Οπότε $\frac{3x^3}{3z^3+3x^2y}+\frac{3y^3}{3x^3+3y^2z}+\frac{3z^3}{3y^3+3z^2x}\geq \frac{3x^3}{2x^3+3z^3+y^3}+\fr...
από ksofsa
Τρί Μάιος 07, 2019 9:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1253

Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία

Για το G3: Εστω αρχικά σταθεό τρίγωνο $ABC$ ,$I$ το έγκεντρο και $D,E,Z$ οι προβολές του $I$ στις $a,b,c$. Τότε $AE=AZ=p-a, BD=BZ=p-b, CA=CE=p-c$ Εστω ότι οι απολλώνιοι κύκλοι των τμημάτων $AB, BC$ με λόγους $\frac{p-a}{p-b}, \frac{p-b}{p-c}$ αντίστοιχα τέμνονται σε σημείο $Q$ εντός του $ABC$. Τότε ...
από ksofsa
Πέμ Μάιος 02, 2019 10:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1652

Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

Και το Α4 εύκολο φαίνεται για BMO. Ισχύει $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$, διότι ισοδυναμεί με την προφανή $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$ Ακόμη $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ από την ανισότητα αριθμητικού- γεωμετρικού μέσου. Αρα $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\geq 3(a+b+c)$ Ακόμη από ανισότητα αριθμητικ...
από ksofsa
Παρ Σεπ 14, 2018 3:18 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανίσωση 2
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 680

Re: Ανίσωση 2

Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχω: $\sqrt[3]{(2a^2-b^2)(2b^2-c^2)(2c^2-a^2)}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\Leftrightarrow 3\sqrt[6]{(2a^2-b^2)(2b^2-c^2)(2c^2-a^2)}\leq \sqrt{3}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)}$ Οπότε αρκεί ν.δ.ό. $\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq \sqrt{3}\sqrt{(a^2+b^2...
από ksofsa
Παρ Σεπ 14, 2018 2:04 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Απόδειξη και εύρεση γωνίας
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 594

Re: Απόδειξη και εύρεση γωνίας

Για το Β: Εχουμε $sin12^{\circ}sin(18^{\circ}+x)=sinxsin54^{\circ}\Leftrightarrow sin12^{\circ}sin18^{\circ}cosx+sin12^{\circ}cos18^{\circ}sinx=sinxcos36^{\circ}\Leftrightarrow sin12^{\circ}sin18^{\circ}cosx+sin12^{\circ}cos18^{\circ}sinx=sinxsin30^{\circ}+sinxsin18^{\circ}\Leftrightarrow sin12^{\ci...
από ksofsa
Παρ Σεπ 14, 2018 1:51 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Απόδειξη και εύρεση γωνίας
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 594

Re: Απόδειξη και εύρεση γωνίας

Για το A: Θέτω $x=sin18^{\circ},y=cos36^{\circ}$ Τότε $sin18^{\circ}=cos72^{\circ}\Rightarrow sin18^{\circ}=2cos^236^{\circ}-1\Rightarrow x=2y^2-1$ και $cos36^{\circ}=sin54^{\circ}\Rightarrow cos36^{\circ}=sin18^{\circ}cos36^{\circ}+cos18^{\circ}sin36^{\circ}\Rightarrow cos36^{\circ}=sin18^{\circ}co...
από ksofsa
Τετ Αύγ 22, 2018 8:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μετρική_4
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 646

Re: Μετρική_4

Τη σχέση

DK^2=AI^2-(h_{a}-r)^2

μπορούμε να την πάρουμε άμεσα θεωρώντας Q την προβολή του I στο AD και εφαρμόζοντας πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο AQI.

Επίσης να επισημάνω ότι στην παραπάνω απόδειξη χρησιμοποίησα τη σχέση του Euler OI^2=R^2-2Rr.
από ksofsa
Τετ Αύγ 22, 2018 8:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μετρική_4
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 646

Re: Μετρική_4

Εστω $K$ η προβολή του $I$ στην $BC$ και έστω ότι η $AI$ τέμνει την $BC$ στο $L$ και τον περιγεγραμμένο κύκλο στο $M$. Είναι $DI^2=IK^2+DK^2=r^2+DK^2$ και από Θαλή $\frac{KL}{DL}=\frac{IK}{AD}=\frac{r}{h_{a}}\Leftrightarrow KL=DL\cdot \frac{r}{h_{a}}$ και $DK=DL-KL=DL(1-\frac{r}{h_{a}})\Leftrightarr...
από ksofsa
Τετ Αύγ 08, 2018 10:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίση με το ημιάθροισμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 491

Re: Ίση με το ημιάθροισμα

Εστω $x$ ο λόγος ομοιότητας των τριγώνων $APQ, ABC$. Εστω $K\equiv AI\cap BC$. Από θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο $APQ$ με διατέμνουσα την $DE$, παίρνω: $\frac{DA}{DP}\cdot \frac{MP}{MQ}\cdot \frac{EQ}{EA}=1$. Ομως $DA=\frac{bc}{a+b}, EA=\frac{bc}{c+a}$ και $DP=DA-AP=\frac{bc}{a+b}-ABx=\frac{bc}{a+b}-...
από ksofsa
Κυρ Αύγ 05, 2018 2:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα με δύο θετικούς!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 752

Re: Ανισότητα με δύο θετικούς!

Ακόμα μία λύση:

Αρκεί ν.δ.ό.

(1-x^3)(1-y^3)\geq 49x^3y^3

Ομως

(1-x^3)(1-y^3)\geq ((x+y)^3-x^3)((x+y)^3-y^3)=(x^3+3x^2y+3xy^2)(y^3+3xy^2+3x^2y)\geq (\sqrt{x^3y^3}+3\sqrt{x^3y^3}+3\sqrt{x^3y^3})^2=49x^3y^3.ό.έ.δ.

Χρησιμοποιήθηκε η ανισότητα Cauchy-Schwartz.
από ksofsa
Κυρ Αύγ 05, 2018 2:23 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα με δύο θετικούς!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 752

Re: Ανισότητα με δύο θετικούς!

Και αλλιώς: Αρκεί ν.δ.ό. $x^3y^3(1-\frac{1}{x^3})(1-\frac{1}{y^3})\geq 49x^3y^3\Leftrightarrow (x^3-1)(y^3-1)\geq 49x^3y^3\Leftrightarrow (1-x^3)(1-y^3)\geq 49x^3y^3$ Ομως $1-x^3\geq (x+y)^3-x^3=y^3+3x^2y+3xy^2=y^3+x^2y+x^2y+x^2y+xy^2+xy^2+xy^2\geq 7\sqrt[7]{y^{12}x^9}$(1) και όμοια $1-y^3\geq 7\sqr...
από ksofsa
Τετ Ιούλ 25, 2018 10:43 am
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2018
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1720

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2018

Για την 8: Απο την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου είναι: $\frac{\sqrt{3}siny}{\sqrt{2}sin(x+y)}+1\geq \frac{2\sqrt[4]{3}\sqrt{siny}}{\sqrt[4]{2}\sqrt{sin(x+y)}}$ $(\frac{\sqrt{2}sinx}{3siny}+1)^2=(\frac{\sqrt{2}sinx}{3siny}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3})^2\geq \frac{2\sqrt[4]{2}\sqrt{...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση