Η αναζήτηση βρήκε 188 εγγραφές

από ksofsa
Πέμ Δεκ 05, 2019 8:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εμβαδά άμεσης δράσης
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 173

Re: Εμβαδά άμεσης δράσης

Καλησπέρα! Άλλη μια λύση: Εχω $H$ το ορθόκεντρο του $ABC$ και $D,E,F$ οι πόδες των υψών. Είναι : $\dfrac{E_{a}^2}{(ABC)^2}=\dfrac{DA_{1}^2}{h_{a}^2}=\dfrac{BD\cdot CD}{h_{a}^2}=\dfrac{h_{a}\cdot DH}{h_{a}^2}=\dfrac{DH}{h_{a}}=\dfrac{DH\cdot a}{h_{a}a}=\dfrac{(BHC)}{(ABC)}$ Αρα $\dfrac{E_{a}^2+E_{b}^...
από ksofsa
Δευ Δεκ 02, 2019 8:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ακτινοδιάγνωση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 215

Re: Ακτινοδιάγνωση

Λίγο διαφορετικά:

Στο σχήμα του κυρίου Γιώργου Βισβίκη έχω:

EL\cdot SL=AL^2\Rightarrow EL=\dfrac{AL^2}{SL}=\dfrac{\dfrac{a^2}{4}}{\dfrac{3a}{2}}=\dfrac{a}{6}

και

2R=\dfrac{3a}{2}+EL=\dfrac{10a}{6}\Rightarrow R=\dfrac{5a}{6}.
από ksofsa
Κυρ Δεκ 01, 2019 2:45 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μπαρμπαστάθεια 2019
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 463

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

Καλό μήνα σε όλους! Εναλλακτική λύση για το 1ο ερώτημα (εκτός φακέλου): Τα ορθογώνια τρίγωνα $BCM, DCN$ είναι ίσα καθώς έχουν ίσες τις κάθετες πλευρές τους. Άρα οι ομόλογες πλευρές των ίσων αυτών τριγώνων σχηματίζουν μεταξύ τους ίσες γωνίες, δηλαδή στη συγκεριμένη περίπτωση ορθές γωνίες. Συνεπώς , ο...
από ksofsa
Σάβ Νοέμ 30, 2019 8:20 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Προδρομιακή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 242

Re: Προδρομιακή

Καλημέρα!

Το T είναι το ορθόκεντρο του ABC, όπως αποδείξαμε στην άσκηση του συνδέσμου.

Η AD τέμνει τον κύκλο στο E.

Τότε, από γνωστή ιδιότητα για το ορθόκεντρο , έχουμε DT=DE.

Από θεώρημα τεμνομένων χορδών έχουμε

DB\cdot DC=DE\cdot DA=DT\cdot DA, ό.έ.δ.
από ksofsa
Παρ Νοέμ 29, 2019 10:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ορθόκεντρο ισοσκελούς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 204

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

Ακόμα μία λύση:

Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότιHM=SM

Εστω W το βαρύκεντρο του ABC

Εύκολα βλέπουμε ότι το W είναι βαρύκεντρο και του BHS.

Αρα WH=2WO και το H ορθόκεντρο (ευθεία Euler).
από ksofsa
Παρ Νοέμ 29, 2019 10:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ορθόκεντρο ισοσκελούς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 204

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

Άλλη μια λύση:


Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότι HM=SM.

Τότε OM//BH, διότι M κέντρο του SH και O κέντρο του BS.

Αφού OM\perp AC θα είναι BH\perp AC και το H ορθόκεντρο.
από ksofsa
Παρ Νοέμ 29, 2019 9:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ορθόκεντρο ισοσκελούς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 204

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

Καλησπέρα! Εστω $E$ το αντιδιαμετρικό του$A$. Είναι $SC\perp BC$ και $AO\perp BC$ Αρα $SC//AO$ Τα τρίγωνα $AMH$ και $SMC$ είναι ίσα, διότι έχουν ίσες γωνίες και $AM=MC$. Αρα $HM=SM$. Είναι $MD//AB$, διότι $AM=MC$ και $BD=DC$. κι επειδή $AB//SE$ είναι $MD//SE$. Αφού $MD//SE$ και $HM=SM$, είναι $HD=DE...
από ksofsa
Τετ Νοέμ 27, 2019 8:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσιο εμβαδόν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 208

Re: Διπλάσιο εμβαδόν

Καλησπέρα! Έστω $Q$ το συμμετρικό του $S$ ως προς $M$. Είναι $(ATS)=2(PTM)\Leftrightarrow AT\cdot TS\cdot sin\angle ATS=2PT\cdot TM\cdot sin\angle PTM $ $\Leftrightarrow AT\cdot TS=2PT\cdot TM\Leftrightarrow \dfrac{AT}{TM}=\dfrac{2PT}{TS}$ Από θ. Θαλή έχω $\dfrac{AT}{TM}=\dfrac{SC}{SM}=\dfrac{BQ}{QM...
από ksofsa
Παρ Σεπ 20, 2019 8:05 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Είναι ακέραιος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 513

Re: Είναι ακέραιος

Άλλη μια λύση: Έχω: $1053=3^4\cdot 13$ $392=2^3\cdot 7^2$ $378=2\cdot 3^3\cdot 7$ "Παίζοντας" με τους αριθμούς, παρατηρώ ότι: $1053+392+1134=2579$ και $1134=3\cdot 378$ Ετσι, μπορώ να εκμεταλλευτώ την ταυτότητα του Euler και έχω: $N=\dfrac{1053^3+392^3+1134^3+378^3-1134^3}{2579} \Leftrightarrow$ $N=...
από ksofsa
Τετ Σεπ 18, 2019 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε τρίγωνο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 445

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Από Cauchy Schwartz έχω $(a^3+b^6+c^6)(a^3+2)\geq (a^3+b^3+c^3)^2\Leftrightarrow \frac{sinA}{a^3+b^6+c^6}\leq \frac{sinA(a^3+2)}{(a^3+b^3+c^3)^2}$ Αρα αρκεί: $\frac{1}{a^3+b^3+c^3}\sum \sqrt{sinA(a^3+2)}\leq \sqrt[4]{\frac{27}{4}}\Leftrightarrow (\sum \sqrt{sinA(a^3+2)})^2\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^...
από ksofsa
Τετ Σεπ 18, 2019 7:55 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ύψη και αποστάσεις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 272

Re: Ύψη και αποστάσεις

Ισχύει από τύπους εμβαδού τριγώνου: $2E=ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}=ax+by+cz$. Αρα $\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}}=\frac{ax+by+cz}{2E}=1$ Οπότε , από την ανισότητα Cauchy Schwartz έχω: $(\frac{h_{a}}{x}+\frac{h_{b}}{y}+\frac{h_{c}}{z})(\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}})\geq 9...
από ksofsa
Κυρ Σεπ 08, 2019 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή ρόμβου
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 695

Re: Κατασκευή ρόμβου

Βασικά, το $K$ δεν μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο του $AB$. Η μία οριακή θέση του $K$ είναι όταν το $N$ συμπίπτει με το $A$ και η άλλη όταν το $L$ συμπίπτει με το $B$. Δηλαδή οι θέσεις του $K$ είναι στο μέσο τριτημόριο του $AB$. Αντίστοιχα , οι θέσεις του $M$ στο συμμετρικό τμήμα του μέσου τριτη...
από ksofsa
Κυρ Σεπ 08, 2019 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή ρόμβου
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 695

Re: Κατασκευή ρόμβου

Λίγο διαφορετικά: Εστω $O$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου. Τότε από τα εγγράψιμα $ANOK, BLOK$ έχω $\angle OAB=\angle OBA=\frac{\pi }{6}$ Αρα το $O$ είναι το ορθόκεντρο του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ Αρα σταθερό σημείο και συνάμα κατασκευάσιμο. Το $M$ είναι το συμμετρικό του $K$ ως προς $O$ ...
από ksofsa
Παρ Σεπ 06, 2019 11:51 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τριπλός λόγος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 331

Re: Τριπλός λόγος

Άλλη μια λύση: Το τετράπλευρο $ACKM$ εγγράψιμο διότι $\angle KAM=\angle KCM.$ Αρα $\angle CKA=\angle CMA=\frac{\pi }{2}$. Το τετράπλευρο $ALSN$ ρόμβος, διότι οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και τέμνονται κάθετα. Από θ.διχοτόμων $\frac{BN}{AN}=\frac{BC}{CA}=\sqrt{2}$ και $\frac{AL}{LM}=\frac{CA}{CM}=\...
από ksofsa
Πέμ Σεπ 05, 2019 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο ύψος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 307

Re: Μέγιστο ύψος

Εστω O το κέντρο του κύκλου και Μ το μέσο του τόξου ΑΒ.

Εστω ότι η ΟΜ τέμνει την ΤP στο D και την SP στο Ε.

Εστω ότι η ακτίνα του κύκλου είναι 1.

Εστω

ST=x και TD=y.

Ειναι από πυθαγόρειο θεώρημα
a.gif
a.gif (977 Ψηφιολέξεις) Προβλήθηκε 283 φορές
Εχω
b.gif
b.gif (2.25 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές
Όμως
c.gif
c.gif (1.77 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές
Αρα
d.gif
d.gif (721 Ψηφιολέξεις) Προβλήθηκε 283 φορές
Ισότητα για

f.gif
f.gif (335 Ψηφιολέξεις) Προβλήθηκε 283 φορές
από ksofsa
Τετ Σεπ 04, 2019 3:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ώρα για εφαπτόμενες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 487

Re: Ώρα για εφαπτόμενες

Καλησπέρα σε όλους! Στη διαμόρφωση του μηνύματός μου έκανα κάτι που δεν ξέρω αν επιτρέπεται από τον κανονισμό του mathematica. Επειδή δεν εμφανίζεται ο κώδικας latex με το συμβατικό τρόπο, αποθήκευσα τον κώδικα latex ως εικόνα και μετά έκανα επισύναψη. Αν υπάρχει πρόβλημα , θα αποσύρω το μήνυμά μου ...
από ksofsa
Τετ Σεπ 04, 2019 3:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ώρα για εφαπτόμενες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 487

Re: Ώρα για εφαπτόμενες

Αλλιώς για το 2ο:

Εστω D το σημείο τομής των AT,OK

Θετω

OA=R, OK=R/2=r

Ο κύκλος (O,r) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ADB

Εστω x=AD=BD

Από τύπους εμβαδού τριγώνου και το πυθαγόρειο θεώρημα:

5.gif
5.gif (5.08 KiB) Προβλήθηκε 295 φορές
από ksofsa
Κυρ Σεπ 01, 2019 6:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 596

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Λίγο διαφορετικά:

Θεωρώ

x+y=1

Τότε

(x^3+1)(y^3+1)-4=x^3y^3+x^3+y^3-3=x^3y^3+x^3+y^3+(-1)^3-2=x^3y^3-3xy-2=

(xy+1)^2(xy-2)\leq 0,

που ισχύει διότι xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}<2
από ksofsa
Παρ Αύγ 30, 2019 4:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισοϊσότητα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1158

Re: Ανισοϊσότητα

Μια ακόμα λύση: Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις: 1) Οι $x,y$ είναι ομόσημοι. Τότε, δεδομένης της μορφής της ανισότητας , μπορώ να υποθέσω ότι $x,y$ θετικοί, χωρίς βλάβη της γενικότητας. Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχω $\frac{27}{4}x^2y^2(x+y)^2=27xy\cdot \frac{x(x+y)}{2}\cdot \frac{y(x...
από ksofsa
Πέμ Ιούλ 04, 2019 2:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κριτήριο ισοπλεύρου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 358

Re: Κριτήριο ισοπλεύρου

Θα δείξω αρχικά ότι κάθε ισόπλευρο τρίγωνο έχει αυτήν την ιδιότητα. Τα τρίγωνα $ABD, BFD$ όμοια. Αρα $\dfrac{DF}{AD}=\dfrac{BD}{AB}$ Επίσης, $\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{CD}{AC}$ Οπότε $\dfrac{DF}{AD}+\dfrac{DE}{AD}=1\Leftrightarrow AD=DF+DE$ Θα δείξω τώρα ότι κάθε τρίγωνο με αυτήν την ιδιότητα είναι ισόπ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση