Η αναζήτηση βρήκε 170 εγγραφές

από ksofsa
Πέμ Σεπ 30, 2010 5:00 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Αλγεβρική δεξιότητα.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 345

Re: Αλγεβρική δεξιότητα.

Είναι $(a+b)^4-a^4-b^4=(x+y)^4-x^4-y^4\Rightarrow 4ab(a+b)^2-2a^2b^2=4xy(x+y)^2-2x^2y^2\Rightarrow 2(x+y)^2(xy-ab)=(xy-ab)(xy+ab)$.Υποθέτω ότι $xy\neq ab$ και τότε $2(x+y)^2=xy+ab\Rightarrow (x+y)^2+(a+b)^2=xy+ab$.Ομως είναι $(x+y)^2+(a+b)^2\geq 4xy+4ab$κι επειδή xy+ab>=0 θα πρέπει xy+ab=0 και τελικ...
από ksofsa
Πέμ Σεπ 30, 2010 3:56 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα με x,y,z.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 228

Re: Ανισότητα με x,y,z.

Λόγω της συνθήκης ,η ανισότητα γράφεται $x^4(x+y+z)+y^4(x+y+z)+z^4(x+y+z)-x^5-y^5-z^5\geq 54\sqrt{3}\Rightarrow x^4y+xy^4+y^4z+yz^4+z^4x+zx^4\geq 54\sqrt{3}$.Από AM-GM είναι $(x+y+z)^3\geq 27xyz\Rightarrow (xyz)^2\geq 27$.Οπότε από AM-GM είναι $x^4y+xy^4+y^4z+yz^4+z^4x+zx^4\geq 6\sqrt[6]{(xyz)^{10}}...
από ksofsa
Κυρ Σεπ 19, 2010 1:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συνδυαστική
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 732

Re: Συνδυαστική

Μια λύση για το ερώτημα του smar. Χρωματίζουμε τη σκακιέρα όπως στο συνημμένο και θα αποδείξουμε ότι το πλήθος των τετραγώνων που μπορούν να μείνουν ακάλυπτα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 9. 1η περίπτωση Τοποθετούμε άλογο στο μαύρο τετράγωνο και αυτό απειλεί τα 8 κίτρινα ,από τα οποία τα 6 προφανώς θα ...
από ksofsa
Κυρ Σεπ 12, 2010 10:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Να αποδειχθεί ότι...
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 399

Re: Να αποδειχθεί ότι...

Διαφορετικό τελείωμα. Αλλη μια απόδειξη της ανισότητας $\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}$.Από την Cauchy-Schwartz είναι $(\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}})(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\geq (\sqr...
από ksofsa
Σάβ Σεπ 11, 2010 6:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1729

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

Το θέμα έχει ξανασυζητηθεί εδώ http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=49&t=7318&p=41564#p41564 Oμως επειδή η λύση που είχα γράψει τότε είναι κακογραμμένη και δυσανάγνωστη,την ξαναγράφω σε κώδικα latex. Λόγω της συνθήκης η ανισότητα γράφεται $\frac{(a+b)^2+1}{(c+a)(b+c)+1}+\frac{(c+a)^2+1}{(...
από ksofsa
Δευ Αύγ 16, 2010 8:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: ΑΠΟΡΙΑ-ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 795

Re: ΑΠΟΡΙΑ-ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Πολύ κατατοπιστική η απάντηση σας.Ευχαριστώ πολύ.
από ksofsa
Δευ Αύγ 16, 2010 5:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: ΑΠΟΡΙΑ-ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 795

ΑΠΟΡΙΑ-ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Τι είναι ο μετασχηματισμός διαμέσου?Ευχαριστώ εκ των προτέρων όποιο μελος του mathematica μπορέσει να απαντήσει.
Μήπως έπρεπε να γράψω την απορία μου σε άλλο φάκελο?
από ksofsa
Δευ Αύγ 02, 2010 7:59 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Παλιά κλασική ανισότητα.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 351

Re: Παλιά κλασική ανισότητα.

Εφαρμόζοντας την ανισότητα Hοlder,είναι $(\frac{x^3}{z}+\frac{y^3}{t})^{1/3}(\frac{x^3}{z}+\frac{y^3}{t})^{1/3}(z^2+t^2)^{1/3}\geq x^2+y^2\Rightarrow (\frac{x^3}{z}+\frac{y^3}{t})^2(z^2+t^2)\geq (x^2+y^2)^3\Rightarrow (\frac{x^3}{z}+\frac{y^3}{t})^2\geq 1\Rightarrow \frac{x^3}{z}+\frac{y^3}{t}\geq 1...
από ksofsa
Σάβ Ιούλ 31, 2010 10:00 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 185

Re: Ανισότητα

Λόγω της συνθήκης η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα $(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)\geq 8(x+y)(y+z)(z+x)$.Θέτω $a=x+y,b=y+z,c=z+x$ και η ανισότητα γράφεται $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$.Θα είναι $a+b\geq 2\sqrt{ab},b+c\geq 2\sqrt{bc},c+a\geq 2\sqrt{ca}$ και πολλαπλασιαζοντας τις τελευταίες ανισότητες κατά μέλη ...
από ksofsa
Πέμ Ιούλ 22, 2010 10:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Βρείτε τη γωνία χ (26)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 548

Re: Βρείτε τη γωνία χ (26)

Aλλη μια γεωμετρική λύση. Θεωρούμε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ που εφάπτεται στην πλευρά α και το κέντρο του Ι.Εστω Ε,Κ τα σημεία στα οποία οκύκλος εφάπτεται στις ευθείεςΑΓ,ΑΒ αντίστοιχα.Ως γνωστόν ισχύει ΑΕ=(α+β+γ)/2.Εστω Ζ το σημείο τομής της ΑΓ και της ΒΙ.Είναι <ΑΖΙ=20 κι επειδή <Ζ...
από ksofsa
Τρί Ιούλ 20, 2010 6:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Βρείτε τη γωνία χ (23)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 621

Re: Βρείτε τη γωνία χ (23)

Ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια και το σχήμα.
από ksofsa
Τρί Ιούλ 20, 2010 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Βρείτε τη γωνία χ (23)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 621

Re: Βρείτε τη γωνία χ (23)

Εστω Μ το μέσο του ΒΓ,Ε το σημείο τομής των ΓΔ και ΑΜ,Ζ το σημείο τομής των ΒΔ και ΑΓ και Η το σημείο τομής των ΒΔ και ΑΜ.Είναι γωνΑΒΕ=γωνΑΓΕ=>ΒΕ διχοτόμος της <ΑΒΖ=>γωνΕΒΗ=ω=>γωνΕΓΗ=ω=γωνΑΓΕ=>ΓΕ διχοτόμος της γωνΑΓΗ κι επειδή ΑΔ διχοτόμος της γωνΗΑΓ κι άρα ΗΖ διχοτόμος της γωνΑΗΓ (αφού οι διχοτόμοι...
από ksofsa
Κυρ Ιούλ 18, 2010 6:15 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις (2)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 587

Re: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις (2)

Γράφω αναλυτικά τις περιπτώσεις , ώστε να γίνει απόλυτα κατανοητή η λύση.Oι διαιρέτες του 11 είναι 1,-1,11,-11.Οπότε, έχουμε τις περιπτώσεις (1)$x^2+y^2+z^2+xy+zy+zx=-1,x^2+y^2+z^2-xy-zy-zx=-11$ (2)$x^2+y^2+z^2-xy-zy-zx=-1,x^2+y^2+z^2+xy+zy+zx=-11$ (3)$x^2+y^2+z^2+xy+zy+zx=1,x^2+y^2+z^2-xy-zy-zx=11$...
από ksofsa
Κυρ Ιούλ 18, 2010 5:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις (2)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 587

Re: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις (2)

Τρίτη εξίσωση
(x^2-zy)^2+(y^2-zx)^2+(z^2-xy)^2=11\Rightarrow (x^2+y^2+z^2)^2-(xy+zy+zx)^2=11\Rightarrow (x^2+y^2+z^2+xy+zy+zx)(x^2+y^2+z^2-xy-zy-zx)=11.Εξετάζοντας όλες τις περιπτώσεις (είναι ελάχιστες) διαπιστώνουμε ότι (x,y,z)=(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2).
από ksofsa
Κυρ Ιούλ 18, 2010 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Είναι δυνατόν;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 177

Re: Είναι δυνατόν;

Δεν είναι δυνατόν επειδή η εξίσωση 5x+11y=39 δεν έχει λύσεις στους μη αρνητικούς ακεραίους.
από ksofsa
Κυρ Ιούλ 18, 2010 3:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις (2)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 587

Re: Τρεις Διοφαντικές εξισώσεις (2)

Πρώτη εξίσωση $x^2+y^2=(xy-1)^2+4\Rightarrow x^2y^2-x^2-y^2+1=2xy-4\Rightarrow (x^2-1)(y^2-1)=2(xy-2)$ Υποθέτω ότι x>=y.Τότε $x^2-1>xy-2$ .Οπότε $2>y^2-1\Rightarrow y^2<3\Rightarrow y=1,0,-1.$Για y=-1,x=-2,για y=0 δεν έχω λύσεις,για y=1,x=2.Λόγω συμμετρίας (x,y)=(-1,-2),(1,2),(2,1),(-2,-1). Δεύτερη ...
από ksofsa
Σάβ Ιούλ 17, 2010 11:19 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Βρείτε τη γωνία χ (21)
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 663

Re: Βρείτε τη γωνία χ (21)

Αλλη μια λύση. Από το Α φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΕ ώστε ΑΕ=ΒΓ και <ΕΑΓ=70 (το ΕΑ βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία ΑΔ στο οποίο βρίσκεται και το Ε).Τα τρίγωνα ΕΑΓ και ΑΒΓ είναι ίσα αφού ΑΓ κοινή,ΒΓ=ΕΑ και <ΕΑΓ=<ΒΓΑ.Οπότε ΑΓ=ΕΓ.Το τρίγωνο ΕΑΔ είναι ισόπλευρο αφού ΕΑ=ΑΔ και <ΕΑΔ=60...
από ksofsa
Τετ Ιούλ 14, 2010 2:14 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρία-Ομοκυκλικότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 301

Re: Γεωμετρία-Ομοκυκλικότητα

Tα τρίγωνα ABC και AMB είναι όμοια,αφού <ABM κοινή και <MAB=<BCA.Τα τρίγωνα ANP και ΑΒΜ είναι όμοια,αφού <ANP=<AMB και <APN=<ABM.Οπότε, τα τρίγωνα ANP και ABC είναι όμοια κι επομένως ΑP/BC=PN/AB=PS/BR κι επειδή <APS=<RBC,τα τρίγωνα APS και RBC είναι όμοια κι έτσι <PAS=<BCR=><MAL=<MCL,οπότε ALMC εγγρ...
από ksofsa
Σάβ Ιούλ 03, 2010 12:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: ΑΕ=ΔΖ
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 377

Re: ΑΕ=ΔΖ

Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΕΒ και ΑΔΓ,έχουμε ΑΕ/ΑΒ=ΓΔ/ΑΔ (1),ενώ από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΔ και ΓΔΖ,έχουμε ΔΖ/ΑΒ=ΓΔ/ΑΔ(2).Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι ΑΕ=ΔΖ.
από ksofsa
Τρί Ιουν 29, 2010 5:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρία (δική μου κατασκευή)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 459

Re: Γεωμετρία (δική μου κατασκευή)

Αλλη λύση.Αν ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου,τότε (ABC)=ρ*3ΒC/2 κι αφού (BIC)=ρ*BC/2, είναι (BIC)=(ABC)/3.Προφανώς,είναι (BGC)=(ABC)/3 κι έτσι (BIC)=(BGC).Οπότε,IG//BC.Η ευθεία IG τέμνει την ΑΒ στο Z και η AG τέμνει την BC στο Μ.Από την ομοιότητα των τριγώνων AZG και ΑΒΜ,έχουμε ότι ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση