Η αναζήτηση βρήκε 45 εγγραφές

από sokpanvas
Κυρ Σεπ 09, 2018 2:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Να βρεθεί αριθμός.
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1171

Re: Να βρεθεί αριθμός.

Demetres έγραψε:
Κυρ Σεπ 09, 2018 12:36 pm
Για την κατανόηση της λύσης χρειάζεται βεβαίως γνώση αριθμητικής modulo και του τελευταίου θεωρήματος του Fermat.
Δεν είναι λίγο υπερβολική η γνώση του τελευταίου θεωρήματος του fermat? :lol:
από sokpanvas
Παρ Σεπ 07, 2018 4:41 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Να βρεθεί αριθμός.
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1171

Re: Να βρεθεί αριθμός.

Engineer πολυ ενδιαφερον, ευχαριστω!! Αλγεβρική λύση: $2*(10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+...+a_0)=10^na_0 + 10^{n-1}a_n+...+a_1$ ,$2*10^n-10^{n-1}=19*10^{n-1}$ οπότε η εξίσωση γράφεται $(10^n-2)a_0=19(10^{n-1}a_n +10^{n-2}a_{n-1}+...+a_1)$ πρέπει το $10^n-2$ να ειναι πολλαπλάσιο του $19$ Έχουμε οτι $10^{1...
από sokpanvas
Σάβ Σεπ 01, 2018 9:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πρώτος και ένας ακέραιος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 621

Re: Πρώτος και ένας ακέραιος

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Σεπ 01, 2018 3:35 pm
Αν p πρώτος και r ακέραιος να λυθεί η αξίσωση

p^{4}=r^{2}+504
(p^{2}-r)(p^{2}+r)=504= 2^3 * 3^2 * 7, p\neq 2 \Rightarrow r περιττός άρα p^{2}-r,p^{2}+r πολ του 2
παίρνουμε περιπτώσεις r>0,r<0 και λύνουμε τα συστήματα. (εκτός αν χάνω κάτι)
από sokpanvas
Παρ Ιουν 22, 2018 11:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Αναλογία ακτίνων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 381

Re: Αναλογία ακτίνων

Μία απορία που μου δημιουργήθηκε προσπαθώντας να λύσω ένα πρόβλημα: Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , $\angle A=90^{\circ}$ δίνεται το ύψος $AD$ και θεωρούμε τους εγγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων $ADC$ και $ADB$ με ακτίνες $\rho _1$,$\rho _2$.Μπορεί να γραφτεί ο λόγος $\frac{\rho _1}{\rho _2}$ συναρτ...
από sokpanvas
Παρ Ιουν 22, 2018 10:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Αναλογία ακτίνων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 381

Αναλογία ακτίνων

Μία απορία που μου δημιουργήθηκε προσπαθώντας να λύσω ένα πρόβλημα: Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , $\angle A=90^{\circ}$ δίνεται το ύψος $AD$ και θεωρούμε τους εγγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων $ADC$ και $ADB$ με ακτίνες $\rho _1$,$\rho _2$.Μπορεί να γραφτεί ο λόγος $\frac{\rho _1}{\rho _2}$ συναρτ...
από sokpanvas
Σάβ Ιουν 16, 2018 5:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Τι είδους μαθηματικά μπορούμε να μάθουμε μέσα απο το σκάκι;;;
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1324

Re: Τι είδους μαθηματικά μπορούμε να μάθουμε μέσα απο το σκάκι;;;

Έχουν γίνει περισσότερες από 100 έρευνες γενικά γαι το σκάκι και πλήθος άλλων μεταβλητών ενώ 52 αφορούν το σκάκι και τα μαθηματικά. Καμία όμως δεν θέτει το συγκεκριμένο ερώτημα. Όλες δίνουν βαρύτητα στη σύνδεση των μαθηματικών με το σκάκι (πολλοί σκακιστές είναι και καλοί μαθηματικοί) ή στις μαθημα...
από sokpanvas
Πέμ Ιουν 14, 2018 10:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Διχοτομική κατάσταση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 297

Re: Διχοτομική κατάσταση

Διχοτομική κατάσταση.pngΤο εσωτερικό τεταρτοκύκλιο έχει ακτίνα $3$ , ενώ το εξωτερικό $5$ . Στην προέκταση της $OAC$ εντοπίστε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε , αν το εφαπτόμενο προς το μικρό ημικύκλιο τμήμα $ST$ , τέμνει το μεγάλο στο σημείο $P$ , να είναι : $PS=PT$ . $OT$ κάθετη στην $TS$ ,$OP^2=OT^2+TP...
από sokpanvas
Πέμ Ιουν 14, 2018 10:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πρόοδος σε τραπέζιο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 397

Re: Πρόοδος σε τραπέζιο

Πρόοδος σε τραπέζιο.png Δίνεται τραπέζιο $ABCD$ με $\widehat A=\widehat D=90^\circ$ και $AB=a, CD=b, a<b.$ Επί των πλευρών $AD, BC$ θεωρούμε τα σημεία $P, Q$ αντίστοιχα, ώστε $PQ||AB$ και $(ABQP)=(PQCD).$ α. Να υπολογίσετε το τμήμα $PQ=c,$ συναρτήσει των $a, b.$ β. Αν οι $a, b,c$ είναι θετικοί ακέρ...
από sokpanvas
Σάβ Ιουν 09, 2018 5:05 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Αριθμητική πρόοδος με τέλειο τετράγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 510

Re: Αριθμητική πρόοδος με τέλειο τετράγωνο

Μία Αριθμητική πρόοδος αποτελείται από ακεραίους. Δείξτε ότι αν κάποιος όρος της είναι τέλειο τετράγωνο, τότε άπειροι το πλήθος όροι της θα είναι τέλεια τετράγωνα. Ας την αφήσουμε $48$ ώρες για τους μαθητές μας. Αν $a_{k}=m^2=a_1 + (k-1)\omega$ τότε $m^2 +2lm\omega + l^2\omega ^2=a_1 + (k-1)\omega ...
από sokpanvas
Σάβ Ιουν 02, 2018 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Πολλαπλασιάζεται συνεχώς!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 709

Re: Πολλαπλασιάζεται συνεχώς!

Σχήμα.jpg Θεωρούμε ευθύγραμμα τμήματα $M_0M_1= a_1$ και $M_1M_2=a_2$.Το $M_1M_2$ είναι κάθετο στο $M_0M_1$ και διπλάσιο αυτού. Φέρνουμε και το $M_2M_3=a_3$ όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάθε επόμενο τμήμα είναι κάθετο με το προηγούμενο του και κατασκευάζεται με την ίδια φορά όπως τα παραπάνω, ενώ το μήκ...
από sokpanvas
Παρ Ιουν 01, 2018 5:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Προσφιλής αναζήτηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 417

Re: Προσφιλής αναζήτηση

Προσφιλές σπορ.png Να δείξετε ότι $\theta = 42^\circ $ Δεκτή κάθε λύση. ( Η λύση που γνωρίζω, όχι δική μου, δεν μου αρέσει) Από νόμο ημιτόνων $\frac{AC}{sin66} = \frac{BC}{sin96}$, $\frac{DC}{sin24}=\frac{BC}{sin150}$ Από νόμο συνημιτόνων $AD^2 = AC^2 + DC^2 -2AC *DC*cos12$ και $BD^2 = BC^2 + DC^2 ...
από sokpanvas
Τετ Απρ 11, 2018 8:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2018/1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 599

Re: EGMO 2018/1/1

Έστω $ABC$ ένα τρίγωνο με $CA = CB$ και $\angle ACB = 120^{\circ}$ και έστω $Μ$ το μέσον της πλευράς $AB$ . Έστω $P$ τυχαίο σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABC$ και $Q$ το σημείο στο τμήμα $CP$ για το οποίο $QP = 2QC$. Η ευθεία από το $P$ που είναι κάθετη στο $AB$ τέμνει την ευθεία $...
από sokpanvas
Σάβ Μαρ 31, 2018 6:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: έξι διαιρέτες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 729

Re: έξι διαιρέτες

$A= p^2 + 11= q_{1}^{a_{1}}q_{2}^{a_{2}}q_{3}^{a_{3}}...q_{k}^{a_{k}}$ τότε ο $A$ έχει $N=(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{k}+1)$ διαιρέτες. Αφού $N=6$ έχουμε ότι $A=q_{1}^{2}q_{2}$. Για $p=2$ δεν ισχύει άρα $A$ άρτιοσ τότε για $q_{2}=2$ έχουμε $p^2+11=2q_{1}^{2}$ αλλά $p^2 + 11\equiv 0 mod4$ άρα $q_{1}=2$ ...
από sokpanvas
Σάβ Μαρ 24, 2018 2:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 733

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Πρόβλημα 3 τα τελευταία ψηφία των δυνάμεων του $2$ εμφανίζονται περιοδικά με σείρα $2,4,8,6$ αντίστοιχα για το $3$ τα $3,9,7,1$ για το $4$ τα $4,6$ και για το $5$ μόνο το $5$ . $2018\equiv 2 mod4$ και $0 mod2$ άρα το $2^{2018}$ τελειώνει σε $4$ ,το $3^{2018}$ σε $9$ ,το $4^{2018}$ σε $6$ και το $5^{...
από sokpanvas
Σάβ Μαρ 10, 2018 12:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Γενίκευση προβλήματος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 588

Re: Γενίκευση προβλήματος

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους $x,y$ η εξίσωση $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pqr}$ όπου $p,q,r$ πρώτοι αριθμοί. Την γράφουμε στην μορφή $(x-pqr)(y-pqr)=(pqr)^{2}$ λύνοντας τα συστήματα παίρνουμε $3^3$ λύσεις γενικά η $(x-n)(y-n)=n^{2}$ όπου $n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{k}^{a_{k}}$ έχει...
από sokpanvas
Τετ Φεβ 28, 2018 6:17 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαχωρισμός
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 941

Re: Διαχωρισμός

christodoulos703 έγραψε:
Τρί Φεβ 27, 2018 10:38 pm
Μηπως πρέπει α και β να θεωρούνται ακέραιοι και όχι θετικοί ακέραιοι;
είναι θετικοί ακέραιοι, το προβλημα είναι το p4 / imo1994 http://sms.math.nus.edu.sg/simo/IMO_Problems/94.pdf
από sokpanvas
Σάβ Ιαν 20, 2018 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Απαντήσεις: 95
Προβολές: 18698

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Γνωρίζει κάποιος πότε πρόκειται να ανακοινωθούν τα αποτελέσματα;
από sokpanvas
Παρ Ιαν 12, 2018 6:13 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 103
Προβολές: 8490

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Άσκηση 9 Δίνονται $2018$ θετικοί ακέραιοι $a_1,a_2,\ldots,a_{2018}$ ώστε $\displaystyle \frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_{2018}} = 1.$ Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους ακεραίους είναι άρτιος. Υποθέτουμε ότι είναι όλοι περιττοί τότε $a_1a_2...a_{2018}= a_2...a_{2018} + a_1a_3...a_{2018} +...
από sokpanvas
Κυρ Ιαν 07, 2018 10:16 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 103
Προβολές: 8490

Re: ΑΣΚΗΣΗ 8. Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Με χαρά διαπιστώνω ότι η "συλλογή των μονά-ζυγά" αυξάνεται. Η πρόταση του Μιχάλη έχει "πιάσει τόπο". Αυτή θα μπορεί να αποτελέσει μια καλή Τράπεζα θεμάτων για Ομίλους Μαθηματικών κλπ. Δίνω το επόμενο πρόβλημα. Επειδή είναι από γνωστό βιβλίο (και πιθανώς να την γνωρίζουν) θα παρακαλούσα τους Ορέστη ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση