Η αναζήτηση βρήκε 191 εγγραφές

από sot arm
Δευ Σεπ 18, 2017 1:06 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Παράγωγος αντίστροφης
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1134

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Μία επαρκή , ελπίζω αλγεβρική αιτιολόγηση για το β: Έστω τυχαίο $x_{0} \in R$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{f'(f^{-1}(x_{0}))\neq 0 \Leftrightarrow f'(f^{-1}(x_{0}))=l >0 , l\in \mathbb{R}}$ αφού η f είναι παραγωγίσιμη σε όλο το σύνολο των πραγματικών είναι και στο $A(f^{-1}(x_{0}),f(f^{-1}(x_{0}))$ μ...
από sot arm
Σάβ Σεπ 16, 2017 11:50 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Παράγωγος αντίστροφης
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1134

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Διαισθητικά για το β , Αφού η f είναι παντού παραγωγίσιμη ως πολυώνυμο δέχεται παντού εφαπτομένη άρα λόγω συμμετρίας και η αντίστροφη δέχεται παντού εφαπτομένη, για να μην είναι παραγωγίσιμη η αντίστροφη πρέπει η εφαπτομένη να είναι κατακόρυφη άρα και η εφαπτομένη της f στο συμμετρικό σημείο να είνα...
από sot arm
Παρ Μάιος 05, 2017 11:09 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Πολλαπλή
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2418

Re: Πολλαπλή

Δίνεται συνάρτηση $f:R \to R$ ώστε $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f''(x)=2\left ( f(x)+xf'(x) \right ), x \in R\\ \\ f(x)>0\\ \\ f(0)=1\\ \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0}\left ( f(x) \right )^{\frac{1}{x}}=1\\ \end{matrix}\right.}}$ 3) Nα βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης $\d...
από sot arm
Πέμ Μάιος 04, 2017 4:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Βοήθεια
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 539

Re: Βοήθεια

Και χωρίς να βρεθεί η f:

\displaystyle{|f(x)-1|=\sqrt{e^{x}+1}>1\Leftrightarrow f(x)>2 or f(x)<0}

με το f(x)<0 να απορρίπτεται από υπόθεση.
από sot arm
Πέμ Μάιος 04, 2017 2:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Γενική
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1636

Re: Γενική

Βάζω την λύση μου για το 4) θέτω στην αρχική $x=3$ και έχω: $\displaystyle{f^{3}(3)+f(3)-2=0\Leftrightarrow f^{3}(3)-1+f(3)-1=0\Leftrightarrow (f(3)-1)(f^{2}(3)+f(3)+2)=0 \Leftrightarrow f(3)=1}$ Η δεξιά παρένθεση είναι θετική πάντα, θέλει λίγη αιτιολόγηση αλλά το αφήνω ως απλό.Επίσης: $\displaystyl...
από sot arm
Κυρ Απρ 30, 2017 10:37 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μαθηματικά, ας γελάσουμε λίγο...
Απαντήσεις: 464
Προβολές: 62215

Re: Μαθηματικά, ας γελάσουμε λίγο...

FB_IMG_1493572513300.jpg
FB_IMG_1493572513300.jpg (39.39 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές
από sot arm
Πέμ Απρ 27, 2017 11:02 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Δύο εξισώσεις
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 938

Re: Δύο εξισώσεις

Καλησπέρα, μια λύση. Μάλλον απλή για seniors, θα χρησιμοποιήσουμε ανισότητες, αρχικά είναι από AM-ΓΜ: $\displaystyle{x^{y}+y^{z}+z^{x}\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}\Rightarrow 2xyz\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}}$ προφανώς αδύνατη αφού: $\displaystyle{x,y,z\geq 1\Rightarrow \frac{x+y+z}{3}\geq 1 \Left...
από sot arm
Πέμ Απρ 27, 2017 10:39 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Δύο εξισώσεις
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 938

Re: Δύο εξισώσεις

Καλησπέρα, μια λύση. Μάλλον απλή για seniors, θα χρησιμοποιήσουμε ανισότητες, αρχικά είναι από AM-ΓΜ: $\displaystyle{x^{y}+y^{z}+z^{x}\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}\Rightarrow 2xyz\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}}$ προφανώς αδύνατη αφού: $\displaystyle{x,y,z\geq 1\Rightarrow \frac{x+y+z}{3}\geq 1 \Leftr...
από sot arm
Τετ Απρ 26, 2017 12:00 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σε ευθεία!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1148

Re: Σε ευθεία!

Μία διαπραγμάτευση και γω... φέρνω πάλι τον περιγεγραμμένο κύκλο του $BCDE$ , θα δείξω ότι η $TD$ εφάπτεται σε αυτόν. Προφανώς: $MT \parallel BD$ και αφού το $M$ μέσο της $BC$ η $MT$ μεσοκάθετη του τμήματος $DC$ άρα: $\displaystyle{TD=TC}$ και έχω πως η $TD$ εφαπτόμενη.Πλέον το ζητούμενο εμφανές από...
από sot arm
Δευ Απρ 24, 2017 6:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Λογαριθμική
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 1767

Re: Λογαριθμική

Κάνω την ανάλυση του 5) Θα μείνει το 6 που νομίζω πρέπει να το αφήσουμε να το κάνει ο Σωτήρης μιας και είναι μαθητής. Εχουμε την εξίσωση $f(x)=f^{-1}(x)$(1) Για τεχνικούς λόγους γράφω $g(x)=f^{-1}(x)$ Η (1) είναι ισοδύναμη με τις $f(f(x))=x$ και $g(g(x))=x$ Η $g(g(x))=x$ είναι η πιο πολύπλοκη από τ...
από sot arm
Κυρ Απρ 23, 2017 4:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Λογαριθμική
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 1767

Re: Λογαριθμική

Μια προσέγγιση για το 5 με κάποιους ενδοιασμούς: $\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow e^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{lnx}\Leftrightarrow ln(x)e^{\frac{1}{x}}-1=0}$ Αρχικά θα δείξω ότι έχει το πολύ μία.Θεωρώ την συνάρτηση: $\displaystyle{g(x)=ln(x)e^{\frac{1}{x}}-1 }$ με παράγωγο: $\displaystyle{g...
από sot arm
Κυρ Απρ 23, 2017 1:41 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Λογαριθμική
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 1767

Re: Λογαριθμική

Μια προσέγγιση για το 5 με κάποιους ενδοιασμούς: $\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow e^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{lnx}\Leftrightarrow ln(x)e^{\frac{1}{x}}-1=0}$ Αρχικά θα δείξω ότι έχει το πολύ μία.Θεωρώ την συνάρτηση: $\displaystyle{g(x)=ln(x)e^{\frac{1}{x}}-1 }$ με παράγωγο: $\displaystyle{g'...
από sot arm
Σάβ Απρ 22, 2017 2:13 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Επαναληπτικό θέμα
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1294

Re: Επαναληπτικό θέμα

Βάζω μία λύση: (1) Είναι: $\displaystyle{g''(x) = \frac{f''(lnx)-f'(lnx)}{x^{2}} >0 f''(x) >f'(x)\Rightarrow f''(lnx)>f'(lnx)}$ Άρα η g πράγματι κυρτή. Από το δοσμένο όριο: $\displaystyle{1=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{sinx}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{f(x)-f(0)}{x-0})\lim_{x\rightarrow 0}\frac...
από sot arm
Τετ Απρ 12, 2017 12:56 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 2756

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς

Διαγώνισμα 1 Πρόβλημα 3 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $c$. Τα ύψη $BE,CD$ τέμνουν την εφαπτόμενη του κύκλου $c$ στο $A$ στα σημεία $K,L$ αντίστοιχα. Αν οι $BL,KC$ τέμνουν τον $c$ στα σημεία $S,T$ να αποδείξετε ότι η $DE$ είναι παράλληλη με την $ST$. Μια μεταμεσονύκτια λύση γι...
από sot arm
Δευ Απρ 03, 2017 6:13 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Συναρτησιακή σχέση και άλλα...
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 901

Re: Συναρτησιακή σχέση και άλλα...

Μια λύση... (α) Έστω: $\displaystyle{|f(x)-f(y)|\leq |x^{2}-y^{2}| (1)}$ θέτω στην (1) όπου $y:=x_{0} \in \mathbb{R}$ τυχαίο. Ισοδύναμα έχω: $\displaystyle{-|x^{2}-x^{2}_{0}|\leq f(x)-f(x_{0})\leq |x^{2}-x_{0}^{2}|}$ Από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει εύκολα: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_{0}}(...
από sot arm
Κυρ Φεβ 12, 2017 7:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: παράγωγοι (πολλοι τρόποι)
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1130

Re: παράγωγοι (πολλοι τρόποι)

Μία ακόμη λύση. Έστω $A(a,f(a)),D(d,f(d))$ η ευθεία που τα ενώνει έχει συντελεστή διεύθυνσης: $\displaystyle{l=\frac{f(d)-f(a)}{d-a}>0}$ Και αφού διέρχεται από τα Α,Β έχει εξίσωση: $\displaystyle{y=l(x-a)+f(a) (1)}$ Ή: $\displaystyle{y=l(x-d)+f(d) (2)}$ Θα δείξω πως η γραφική παράσταση της f τέμνει ...
από sot arm
Σάβ Νοέμ 12, 2016 4:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2016
Απαντήσεις: 115
Προβολές: 17917

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

Καλή επιτυχία σε όλους τους διαγωνιζόμενους. Βάζω και την λύση που έγραψα στον διαγωνισμό για την γεωμετρία της Γ λυκείου, η οποία είναι αρκετά πιο <<μπελαλίδικη>> από αυτή του κ.Βισβίκη. Έστω $H$ το ορθόκεντρο του τριγώνου. Από γνωστή πρόταση η $AE$ μεσοκάθετος του $HM$ και άρα: $\hat{AMH}=\hat{AHM...
από sot arm
Πέμ Νοέμ 10, 2016 9:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός
Απαντήσεις: 29
Προβολές: 1426

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Βάζω άλλη μία, φέροντας τον κύκλο κέντρου $B$ και ακτίνας $BP$ . Η $AP$ είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο $P$ αφού είναι κάθετη στην ακτίνα $BP$. Επομένως η γωνία $\hat{\theta}$ είναι η μισή της επίκεντρης $\hat{ABP}$ από την σχέση επίκεντρης γωνίας με την γωνίας υπό χορδής και εφαπτομένης . Τέλος: $\...
από sot arm
Πέμ Οκτ 27, 2016 11:46 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 951

Re: Όμορφη καθετότητα

Χαιρετώ άπαντες, Έστω πως οι ευθείες $NA,MB$ τέμνονται στο $C$ . Στο τρίγωνο $ABC$ το $H$ είναι ορθόκεντρο, αφού $AM \perp MB$ , $NB \perp NA$ καθώς βαίνουν σε ημικύκλιο, άρα θα ναι και $CH \perp AB$ . Από το θεώρημα $Pascal$ στο εκφυλισμένο $ANNMMB$ τα σημεία $C,P,H$ είναι συνευθειακά άρα θα ναι κα...
από sot arm
Δευ Οκτ 10, 2016 9:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Ασκήσεις ανισότητας Cauchy (Α)
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1336

Re: Ασκήσεις ανισότητας Cauchy (Α)

Βάζω λοιπόν και την λύση μου για την ανισότητα 3 στους πραγματικούς. Παίρνοντας τον φυσικό λογάριθμο και στις δύο μεριές της έκφρασης, αρκεί ισοδύναμα να δειχτεί ότι: $\displaystyle{\ln (a^{\frac{a}{a+b+c}} b^{\frac{b}{a+b+c}} c^{\frac{c}{a+b+c}})\geq \ln(\frac{a+b+c}{3}) \Leftrightarrow \displaysty...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση