Η αναζήτηση βρήκε 191 εγγραφές

από sot arm
Κυρ Φεβ 17, 2019 2:55 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Όριο ολοκληρωμάτων
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 841

Re: Όριο ολοκληρωμάτων

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\left [ -1,1 \right ]\longrightarrow \mathbb{R}$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)\left ( 1-x^{2} \right )^{n}\textup{d}x}{\displaystyle \int_{-1}^{1}\left ( 1-x^{2} \right )^{n}\textup{d}x}=f(0)}$ Φιλικά,...
από sot arm
Σάβ Φεβ 09, 2019 4:10 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Ολοκλήρωμα και ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 582

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση και τέτοια ώστε να ισχύει: $\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x = \kappa = \int_0^1 x f(x) \, \mathrm{d}x}$ Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\int_0^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x \geq 4 \kappa^2}$. Μέχρι το Βαλεντίνο! Καλησπέρα Τόλη, έχω: $\displ...
από sot arm
Σάβ Φεβ 09, 2019 1:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ισότητα ολοκληρωμάτων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 819

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Μπορούμε να γενικεύσουμε κάπως, έστω: $0\leq a\leq 1$ να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις: $\displaystyle{f:[0,1]\rightarrow [0,+\infty)}$ έτσι ώστε: $\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx=1}$ $\displaystyle{\int_{0}^{1}xf(x)dx=a}$ $\displaystyle{\int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx=a^{2}}$ Το παραπάνω είναι προφανώς εφαρ...
από sot arm
Παρ Φεβ 08, 2019 5:04 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Μηδενική ορίζουσα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 710

Re: Μηδενική ορίζουσα

Δίδεται τυχόν πίνακας $A$ πραγματικός διαστάσεων $n \times n$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\begin{vmatrix} A &A^2 \\ A^3 & A^4 \end{vmatrix} =0 }$. Μέχρι 15/02 Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις: i) $\displaystyle{det(A)=0}$ , τότε ο $A$ θα χει ιδιοτιμή το $0$ . Θεωρούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα που αντισ...
από sot arm
Παρ Φεβ 08, 2019 1:50 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Μηδενική ορίζουσα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 710

Re: Μηδενική ορίζουσα

Δίδεται τυχόν πίνακας $A$ πραγματικός διαστάσεων $n \times n$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\begin{vmatrix} A &A^2 \\ A^3 & A^4 \end{vmatrix} =0 }$. Μέχρι 15/02 Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις: i) $\displaystyle{det(A)=0}$ , τότε ο $A$ θα χει ιδιοτιμή το $0$ . Θεωρούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα που αντισ...
από sot arm
Πέμ Φεβ 07, 2019 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 579

Re: Ανισότητα

Νομίζω, λόγω φακέλου, μπορούμε αμέσως να πούμε από την Taylor του ημιτόνου ότι για $x>0$: $\displaystyle{sinx > x-\frac{x^{3}}{3!}\Rightarrow (\frac{sinx}{x})^{2} > (1-\frac{x^{2}}{3!})^{2}}$ , στο διάστημα που μας ενδιαφέρει. Για $x<0$ απλά αλλάζουν οι φορές και έχω: $\displaystyle{sinx < x-\frac{x...
από sot arm
Κυρ Φεβ 03, 2019 3:16 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1424

Re: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS

Μπράβο σε όλους για τις λύσεις, βάζω και την επίσημη λύση για το πρόβλημα 5 που διαφέρει από αυτή του κυρίου Δημήτρη. Αρχικά, ξέρουμε από τον γνωστό τύπο για τον αντίστροφο του $P$ ότι $\displaystyle{P^{-1}=\frac{1}{m}Q}$ όπου $m=det(P)$ και ο $Q \in M_{n}(\mathbb{Z})$ υποθέτουμε χωρίς βλάβη $|m| > ...
από sot arm
Κυρ Ιαν 27, 2019 9:09 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1424

Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS

Χτες ήταν ο ομώνυμος με τον τίτλο διαγωνισμός για την επιλογή της ομάδας στο έκπα, βάζω τα θέματα να τα συζητήσουμε: Πρόβλημα 1: Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί πραγματικοί x, για τους οποίους το άπειρο άθροισμα: $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n+x}}$ να είναι ρητός αριθμός....
από sot arm
Παρ Ιαν 04, 2019 7:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 890

Re: Ακολουθία

Βάζω το αντιπαράδειγμα για το 2ο ερώτημα: Θεωρούμε το σύνολο: $\displaystyle{T=2^{m}, m \in \mathbb{N}}$ Και θέτουμε $x_{n}$ ως εξής: $\displaystyle{x_{n}=n , \alpha \nu dist(n,T) \leq k}$ και 0 αλλιώς τότε ικανοποιεί την συνθήκη, αλλά προφανώς η ζητούμενη αποκλίνει. Ενδιαφέροντα τα παραπάνω που παρ...
από sot arm
Κυρ Δεκ 30, 2018 3:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 890

Re: Ακολουθία

Γεια σου Μιχάλη, για το 2 βρήκα την πηγή από που ήταν, και με την ελπίδα να μην <<χαθεί κάτι στην μετάφραση>> επιτρέψτε μου να το ανεβάσω στα Αγγλικά για να το δείτε και εσείς για να μην υπάρχουν αμφιβολίες προς την σωστή εκφώνηση: Let k be an arbitrary positive integer.Assume that: $\displaystyle{(...
από sot arm
Σάβ Δεκ 29, 2018 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 890

Re: Ακολουθία

Ωραία κύριε Λάμπρου, μένει το δεύτερο ερώτημα.
από sot arm
Παρ Δεκ 28, 2018 7:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 890

Ακολουθία

Οργάνωνα κάτι σημειώσεις εν όψει εξεταστικής και έπεσα πάνω σε αυτή την άσκηση Απειροστικού 2, μου φάνηκε ενδιαφέρουσα, οπότε και την προτείνω: Έστω $\displaystyle{x_{n}, n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών τέτοια ώστε: $\displaystyle{x_{m+n}\leq x_{m}+x_{n} , m,n \in \mathbb{N}}$ να δε...
από sot arm
Κυρ Δεκ 02, 2018 10:37 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 623

Re: Ολοκλήρωμα

Ας υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{x^{2}+1}}$ Σχόλιο: γιατί όπως είπε και ένας σοφός, αν δεν πεταχτεί ένα $\pi$ ή ένα $e$ από εκεί που δεν το περιμένεις τι γούστο θα χε η ανάλυση. Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(a)=\int_0^\infty \frac{\cos(ax)...
από sot arm
Σάβ Δεκ 01, 2018 1:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 623

Re: Ολοκλήρωμα

Ας υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{x^{2}+1}}$ Με Μιγαδική ολοκλήρωση, λίγο γενικότερα $\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos(ax)}{x^{2}+1}}= \pi e^{-a}, \, a\ge 0$. (Θα έλεγα ότι το ολοκλήρωμα αυτό ή παρεμφερή, υπάρχουν εν γένει σε βιβλία ...
από sot arm
Σάβ Δεκ 01, 2018 12:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 623

Ολοκλήρωμα

Ας υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{x^{2}+1}}

Σχόλιο: γιατί όπως είπε και ένας σοφός, αν δεν πεταχτεί ένα \pi ή ένα e από εκεί που δεν το περιμένεις τι γούστο θα χε η ανάλυση.
από sot arm
Τετ Νοέμ 28, 2018 2:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Άπειρα Σύνολα αριθμών;
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 666

Re: Άπειρα Σύνολα αριθμών;

Κύριε Μιχάλη καλημέρα! Υποψιάζομαι πως στο μυαλό του έχει κάποιο σύνολο με νέες "ιδιότητες". Δηλαδή να ξεκινήσουμε όπως είχαμε τους πραγματικους, υποθέσαμε κάτι που "δεν ισχύει" και φτιάξαμε τους μιγαδικούς . Και με αυτή την άποψη πάλι μπορούμε, ένα παράδειγμα επέκτασης των μιγαδικών είναι τα τετρά...
από sot arm
Σάβ Νοέμ 24, 2018 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο γινομένου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 321

Re: Όριο γινομένου

Ας δειχθεί ότι: $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \prod_{k=1}^{n} \left ( 1 + \frac{k^r}{n^{r+1}} \right ) = e^{1/(r+1)}}$ Καλησπέρα Τόλη, βασιζόμενοι στο ανάπτυγμα Taylor της $ln(1+x)$ και το γεγονός ότι: $\displaystyle{\frac{k}{n} \in [0,1]}$ έχουμε: $\displaystyle{x-x^{2}\leq ln(1+x)\l...
από sot arm
Σάβ Νοέμ 17, 2018 4:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ένα mix
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 421

Re: Ένα mix

Έστω $0<a \neq 1$. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle{\mathcal{J} = \bigintsss_0^\infty \left ( \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left (\frac{x}{a^n} \right ) - \frac{\sin x}{a-1} \right ) \frac{\mathrm{d}x}{x^2}}$ Στη συνέχεια καλείστε να μελετήσετε τη συμπεριφορά του παραπάνω καθώς $a \rightarr...
από sot arm
Τρί Νοέμ 13, 2018 2:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 568

Re: Εξίσωση με σύνθεση συναρτήσεων

Επειδή η $f$ είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο $\mathbb{R}$, διατηρεί πρόσημο σε αυτό. Οπότε $f\left(x\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(x\right)<0, \forall x\in\mathbb{R}$. Τότε όμως, θα ισχύει αντίστοιχα: $f\left(f\left(x\right)\right)>0, \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f\left(f\left(x\r...
από sot arm
Τρί Οκτ 30, 2018 12:11 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ακριβώς μία πραγματική ρίζα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 653

Re: Ακριβώς μία πραγματική ρίζα

Αν ο $n$ είναι άρτιος θετικός ακέραιος και o $a$ δεν είναι μηδέν , να δείξετε ότι η εξίσωση $(x+a)^{n}=x^{n}+a^{n}$ έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα. Επίσης άλλη μία, αρκετά μακροσκελής και δίχως λόγο θεωρώ αλλά είχα μια ιδέα εξαρχής που δεν υλοποιήθηκε καθώς πρέπει στην πορεία. Ας περιγράψω την ιδ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση