Έστω ότι ο $z$ δεν είναι πραγματικός. Οι εικόνες των αριθμών $z,z^2,z^3$ είναι συνευθειακά σημεία, αν και μόνο αν $\frac{{{z^3} - {z^2}}}{{z - {z^2}}} \in R \Leftrightarrow \frac{{{z^2} - z}}{{1 - z}} \in R \Leftrightarrow \frac{{{z^2} - z}}{{1 - z}} = \frac{{{{\bar z}^2} - \bar z}}{{1 - \bar z}} \L...

Kαλησπέρα σε όλους Θέτουμε $w=\sqrt[3]{5-x}\Leftrightarrow w^{3}=5-x,w>0$ Η εξίσωση γράφεται $2w^{^{3}}+w^{^{2}}+4w-7=0\Leftrightarrow (w-1)(2w^{2}+3w+7)=0\Leftrightarrow w=1$ Εφόσον το τρυώνυμο είναι θετικό με αρνητική διακρίνουσα κατα τα γνωστά Αρα $1=5-x\Leftrightarrow x=4$ Μοναδική λύση κάποιου...

Να λύσετε την εξίσωση .

41 Αν ο ένας αριθμός είναι ο $x$ ο άλλος θα είναι ο $\frac{{5x}}{8}$. Επειδή $\frac{8}{{11}} < 1$ θα είναι $\frac{{\frac{{5x}}{8} + 9}}{{x + 9}} = \frac{8}{{11}}$, διότι $\frac{{\frac{{5x}}{8} + 9}}{{x + 9}} < 1,\left( {\frac{{5x}}{8} < x} \right)$. Έχουμε $\frac{{\frac{{5x}}{8} + 9}}{{x + 9}} = \f...

Μετά το βραδινό ποτό δίνω και τον σύνδεσμο για το αρχείο γουόρντ εδώ http://mfcosmos.com/archives/16898. Ευχαριστούμε για την προσφορά! Μήπως δεν έχουν μπει κατά λάθος οι σύνδεσμοι των ασκήσεων; Στο πι ντι εφ δεν ξέρω αν υπάρχει τρόπος να είναι ενεργοί αλλά στο γουορντ είναι. Αν εννοείς τις πηγές έχ...

Ένα δεύτερος μέρος ομαδοσυνεργατικής δουλειάς ολοκληρώθηκε. Τα αποτελέσματα θα τα κρίνεται εσείς. Προσωπικά θεωρώ ότι η εθελοντική συντονισμένη εργασία χωρίς χρονικούς περιορισμούς μπορεί να κάνει πάρα πολλά μιας και η ποιότητα των μαθηματικών μας είναι υψηλή . Δεν ήταν λίγες οι φορές που οι λύσεις ...

Επιτέλους (ουφφφ....δεν είχα κρατήσει την διεύθυνση) βρήκα την εκφώνηση στην οποία δεν διευκρινίζεται αν οι $a,b,c$ είναι πραγματικοί ή όχι. Επαναφορά. Έστω $w$ μη πραγματική κυβική ρίζα της μονάδας και $a,b,c \in C - \left\{ { - 1, - w, - {w^2}} \right\}$ , ώστε: $\displaystyle\frac{1}{a+w}+\frac{1...

$\frac{a}{{1 - b}} = \frac{b}{{1 - c}} = \frac{c}{{1 - a}} = k \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + kb = k} \\ {b + kc = k} \\ {c + ka = k} \end{array}} \right. \Leftrightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + kb = k} \\ {b + kc = k} \\ { - {k^2}b + c = k - {k^2}} \end{array}...

Η πηγή Carmen si Viorel Botea - Braila

Μετά το κερασάκι στο καπάκι εν αναμονή των ασκήσεων που εκκρεμούν (δείτε εδώ) http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=45368 μια ακόμη άσκηση. Έστω οι ανά δύο διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί $a,b,c,d$. Να αποδείξετε ότι οι (1) και (2), όπου (1): για κάθε $z\in\mathbb{C}$ ισχύει η ανισότητ...

H άσκηση είναι από Romania National Olympiad 2010 του Dan Marinescu

και υπήρχε τιπογραφικό στην εκφώνηση (δίνει το κ σε κλειστό διάστημα).

http://www.esos.gr/uploads/kcfinder/fil ... ea-ylh.pdf
(Χωρίς τις αποδείξεις των τύπων
(ημχ) = συνχ στη σελίδα 224 και (συνχ) = −ημχ
στη σελίδα 225).

Για να έχουν τα εμφανιζόμενα κλάσματα νόημα πραγματικού αριθμού πρέπει και αρκεί $x \ne 2$ , $x \ne 7$, $x \ne 1$ και $x \ne 6$ Έχουμε $\displaystyle\frac{x}{{x - 2}} + \frac{{9 - x}}{{7 - x}} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{8 - x}}{{6 - x}}$ ή $\displaystyle1 + \frac{2}{{x - 2}} + 1 + \frac{2}{{...

Όσο περιμένουμε τους εθελοντές για τις 90 http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=45028 και 111 http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=45279 που εκκρεμούν , δίνω μια άσκηση ακόμη, κάτι σαν κερασάκι στην τούρτα. Έστω οι ανά δύο διαφορετικοί μιγαδικοί ${z_1},{z_2},{z_3} \in ...

Όπως έγραψα και παραπάνω μπορεί να κατασκευαστεί (σχολικά) άσκηση με 3 ερωτήματα τα οποία φαίνονται παραπάνω. Ακόμη και αυτή που πρότεινα ως αντικαταστάση της δεν είναι καλύτερη (έχω την αίσθηση) από αυτήν http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=45325 την οποία και βαπτίζω (εφόσον το επ...

Νίκο η άσκηση είναι από Dinu Teodorescu, Targoviste.

ευχαριστώ για τις απαντήσεις, η άσκηση είναι από Craiova 16-2-2014

Έστω με . Να αποδείξετε ότι: .

Εκκρεμούν:οι 90,111,114,119,120 και τέλος.

Έστω με την ιδιότητα , να αποδείξετε ότι .