Η αναζήτηση βρήκε 2568 εγγραφές

από achilleas
Τετ Νοέμ 13, 2019 9:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γωνία σε παραλληλόγραμμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 176

Re: Γωνία σε παραλληλόγραμμο

Λύση (Αλέξανδρος Ντακούλας, μαθητής Α' Λυκείου) Έχουμε $AD=DB$, άρα $D\widehat{A}B=A\widehat{B}D=x$ και έστω $A\widehat{D}B=y$. Αφού το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο, οι απένταντι γωνίες είναι ίσες, οπότε έχουμε $D\widehat{C}B=D\widehat{A}B=x$. Επειδή $AB//DC$, είναι $B\widehat{D}C=A\widehat{B}D=x=D...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 10, 2019 12:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 199

Ομοκυκλικά σημεία

Θεωρούμε σημείο $P$ στη βάση $BC$ ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ και σημεία $D$ και $E$ στις ίσες πλευρές του $AB$ και $AC$, αντίστοιχα, τέτοια ώστε το τετράπλευρο $ADPE$ να είναι παραλληλόγραμμο. Έστω $Q$ το συμμετρικό σημείο του $P$ ως προς την ευθεία $DE$. Να δειχθεί ότι το $Q$ ανήκει στον περιγεγραμμ...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γωνία σε παραλληλόγραμμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 176

Γωνία σε παραλληλόγραμμο

Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD με AD=BD. Θεωρούμε σημείο E στη διαγώνιο BD τέτοιο ώστε AE=DE. Η επέκταση της AE τέμνει την πλευρά BC στο σημείο F. Η DF είναι η διχοτόμος της γωνίας C\widehat{D}E. Να βρεθεί η γωνία A\widehat{B}D.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 52
Προβολές: 6250

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

******************* ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** ... Αλλιώς, (βασισμένη στην ιδέα του μαθητή Βασίλη Βολιώτη). Όλα τα κλάσματα είναι μικρότερα από το 1. Μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει την μικρότερη απόσταση από τη 1 και μικρότερο αυτό που έχει την μεγαλύτερη απόσταση. Συνεπώς, αρκεί να συγκρί...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 5:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 920

Re: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου

Ευχαριστούμε τον αγαπητό Αχιλλέα που μας εκθέτει δημόσια τη δουλειά του σε όμιλο Μαθηματικών, κάτι όχι και το πιο συνηθισμένο για τα δεδομένα της χώρας μας. Θεωρώ ότι είναι μια παρουσίαση που έχει προκύψει από επιλογή θεμάτων με σαφή στόχο, διαβαθμισμένη δυσκολία και η οποία προφανώς αποδίδει αποτε...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 52
Προβολές: 6250

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

Στο θέμα 1 της Γ'Λυκείου αν κάποιος έφτανε στην σχέση: $(2-x)^{3}(108(2-x)+(x+2)^{3})=0$ Και από εκει έβρισκε:$(2-x)^{3}=0\Rightarrow 2-x=0\Rightarrow x=2$ Και μετά έγραφε ότι $108(2-x)+(x+2)^{3}=0$ αλλά δεν βρήκε τις άλλες ρίζες πόσο πιστεύετε ότι θα του έκοβαν; Δεν γνωρίζουμε. Φιλικά, Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:13 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 52
Προβολές: 6250

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

******************* ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** (α) Μετά τις παραπάνω κομψές λύσεις με συνθετική γεωμετρία, ας παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να δώσουμε μια λύση με αναλυτική γεωμετρία. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με $B(0,0)$ και $\Gamma(4a,0)$. (Θα μπορούσαμε να θέσουμε $a=1$ για ευκολία.) Τ...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 2:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 52
Προβολές: 6250

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

******************* ΘΕΜΑ 4-Β ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** Έστω $p,q$ οι δύο λύσεις της δοθείσας εξίσωσης. Θέλουμε $p^2+q^2=17$. Από του τύπους Vieta, έχουμε $p+q=-\dfrac{\lambda^2+1}{\lambda-3}$ και $pq=-\dfrac{11\lambda-18}{\lambda-3}$. Είναι $p^2+q^2=(p+q)^2-2pq$ Συνεπώς, θέλουμε $(\lambda^2+1)^2+2(...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 52
Προβολές: 6250

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

******************* ΘΕΜΑ 1-Β ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** Αφού $\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=16\alpha\beta, $ παίρνουμε $\displaystyle (\alpha+\beta)^2=18\alpha\beta, (*) $ κι άρα $\displaystyle (\alpha+\beta)^3=18\alpha\beta(\alpha+\beta). $ Αφού $\displaystyle \alpha^...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 52
Προβολές: 6250

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

******************* ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** Παρατηρούμε ότι $xy\ne 0$ και $\displaystyle \begin{aligned} xy+y^2=2&\iff (xy)^2+xy^3=2xy\\\notag &\iff (xy)^2-2xy-8=0\\\notag &\iff (xy-4)(xy+2)=0.\notag \end{aligned} $ Αν $xy=4$, τότε $y^2=-2<0$, αδύνατη. Αν $xy=-2$, τότε $y^2=4$, οπότε $y=...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 52
Προβολές: 6250

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

******************* ΘΕΜΑ 1-Α ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** Αφού $\alpha,\beta>0$ είναι $\displaystyle \alpha+\beta=7\iff (\alpha+\beta)^2=49\iff \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta=49. $ Πολλαπλασιάζοντας με 10 και τα δύο μέλη έχουμε ισοδύναμα και χρησιμοποιώντας την πρώτη δοθείσα σχέση έχουμε $\displaystyle...
από achilleas
Παρ Νοέμ 08, 2019 9:10 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 920

Re: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου

Καλημέρα, Μπάμπη!

Ευχαριστούμε πολύ!

Ευχόμαστε κάθε επιτυχία σε όλα τα παιδιά που θα συμμετάσχουν στον αυριανό διαγωνισμό.

Ανεξαρτήτως αποτελέσματος, η ενασχόληση τους με τα μαθηματικά, σε ένα επίπεδο υψηλότερο από το σχολικό, μόνο κέρδη έχει να τους αποφέρει.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Νοέμ 06, 2019 11:59 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 920

Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου

Καλημέρα σας! Για τρίτη συνεχή χρονιά,  μια ομάδα μαθητών της Α' τάξης του Λυκείου Μ. Ράπτου συναντάται στους χώρους των Εκπαιδευτηρίων Μ. Ν. Ράπτου για μαθήματα προετοιμασίας, ενόψει του διαγωνισμού "Ο ΘΑΛΗΣ" της ΕΜΕ. Οι μαθητές μας ασχολούνται συστηματικά με την επίλυση θεμάτων μαθηματικών διαγωνι...
από achilleas
Δευ Νοέμ 04, 2019 10:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσα τμήματα απ' την Περσία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 391

Re: Ίσα τμήματα απ' την Περσία

Λόγω παραλληλίας και αφού το $ABMC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο είναι $\displaystyle \angle AKO+\angle ALO=\angle ABM+\angle ACM=180^\circ, $ δηλ. το τετράπλευρο $AKOL$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Έστω ότι η $MO$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του $ABC$ στο $F$. Είναι $\displaystyle \angle FAC=\angle...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 03, 2019 8:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου με τμήμα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 325

Re: Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου με τμήμα

Καλησπέρα σας!

Ας προσθέσω ότι πρόκειται για το πρόβλημα E15080 του \text{Gazeta Matematic\u a}, με λύση στο Τεύχος 4/2017.

Ωραίες οι λύσεις σας! Η δημοσιευμένη λύση είναι συνθετική και διαφέρει από τις παραπάνω.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Κυρ Νοέμ 03, 2019 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισόπλευρο τρίγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 250

Ισόπλευρο τρίγωνο

Έστω κύκλος $c(O,r)$ με κέντρο $O$ και ακτίνα $r$. Έστω $AB$ χορδή του κύκλου $c$ τέτοια ώστε $AB>r$ και έστω $K$ σημείο της χορδής $AB$ τέτοιο ώστε $AK=r$. Έστω ότι η μεσοκάθετος του τμήματος $KB$ τέμνει τον κύκλο στα σημεια $D,C$ και έστω ότι η ευθεία $DK$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $E$. Να δειχθ...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 03, 2019 8:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισοσκελές τρίγωνο σε κυρτό πεντάγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 142

Re: Ισοσκελές τρίγωνο σε κυρτό πεντάγωνο

Ευχαριστώ, Γιώργο. Ας προσθέσω ότι πρόκειται για το πρόβλημα του πρώτου γύρου των μαθηματικών διαγωνισμών της Αυστρίας το 2016. Την πρότεινα σήμερα στους μαθητές της Α Λυκείου που συμμετέχουν στην προετοιμασία για το διαγωνισμό "Ο ΘΑΛΗΣ", αλλά ίσως ταιριάζει περισσότερο στον φάκελο Γυμνασίου τελικά....
από achilleas
Κυρ Νοέμ 03, 2019 8:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισότητα γωνιών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 184

Re: Ισότητα γωνιών

Καλησπέρα σας! Ας προσθέσω ότι πρόκειται για το πρόβλημα $E15068$ του $\text{Gazeta Matematic\u a}$, με λύση στο Τεύχος 3/2017. Πράγματι, η χρήση εγγράψιμων τετραπλεύρων είναι η πρώτη ιδέα που έρχεται στο νου. Την πρότεινα σήμερα στους μαθητές της Α Λυκείου που συμμετέχουν στην προετοιμασία για το δ...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 03, 2019 8:29 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική Εξίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 224

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Καλησπέρα σας!

Μετά την λύση του κ. Μιχάλη, ας προσθέσω ότι πρόκειται για το 2ο ΘΕΜΑ του 17ου Nordic Mathematical Contest.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Κυρ Νοέμ 03, 2019 3:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική Εξίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 224

Διοφαντική Εξίσωση

Να βρεθούν όλες οι τριάδες (x,y,z) των ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση
\displaystyle  
	x^3+y^3+z^3-3xyz=2003.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση