Η αναζήτηση βρήκε 2600 εγγραφές

από achilleas
Παρ Οκτ 16, 2009 1:15 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Πηλίκο ημιτόνων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 301

Re: Πηλίκο ημιτόνων

Αν $m= -1, 0$ ή $1$, η άσκηση προκύπτει εύκολα. Έστω, λοιπόν, $m\ne -1, 0, 1$. Το πεδίο ορισμού της $f$είναι το $D=\{x\in \mathbb{R}: x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z}\}$. Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $D$ με $\displaystyle{f'(x)=\frac{g(x)}{\sin^2 x}}$ όπου $\displaystyle{g(x)=m\cos(mx)\sin x- \sin(mx) \co...
από achilleas
Πέμ Οκτ 15, 2009 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Να αποδείξετε-3- (Προς Αποδ.)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 602

Re: Να αποδείξετε-3-

Να προσθέσω ότι το ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}}$. Αυτό μπορεί να υπολογιστεί κάνοντας την αντικατάσταση $x = \sin^2{\theta}$ και χρησιμοποιώντας επαγωγή. Η επαγωγή δεν δουλέυει εύκολα για το $\displaystyle{I_n = \int_0^1 x^n(1-x)^n \;dx = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} }$ Η ...
από achilleas
Πέμ Οκτ 15, 2009 1:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: Συνάρτηση Beta
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 523

Re: Συνάρτηση Beta

Είναι $B(a,b)=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$ για $a,b>0$. Επίσης, η συνάρτηση Beta συνδέεται με τη συνάρτηση Gamma με τη σχέση $B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$ (για $a,b>0$.) Τέλος ισχύει $\Gamma(n+1)=n!$ για κάθε $n \in \mathbb{N}$. Έτσι, το ζητούμενο ολοκλήρωμα στ' αριστερά είναι $\...
από achilleas
Πέμ Οκτ 15, 2009 12:45 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκλήρωμα-2-
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 344

Re: Ολοκλήρωμα-2-

Με $t=\pi/2-x$ πρώτα και μετά με $2u=t$ το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται $\displaystyle{\int_{-2\pi}^{\pi/2} \sqrt{2}|\cos (t/2)|dt=2\sqrt{2}\int_{-\pi}^{\pi/4} |\cos (u)|du=2\sqrt{2}\left(\int_{-\pi}^{-\pi/2} (-\cos (u))du +\int_{-\pi/2}^{\pi/4} \cos (u)du\right)=2\sqrt{2}(1+(\sqrt{2}/2 -(-1)))=4\sq...
από achilleas
Πέμ Οκτ 15, 2009 11:59 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Να αποδείξετε-3- (Προς Αποδ.)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 602

Re: Να αποδείξετε-3-

Με a=\sqrt{x} και b=\sqrt{1-x} στην 2ab\leq a^2+b^2, παίρνουμε
2\sqrt{x(1-x)}\leq x+(1-x)=1 κι άρα, υψώνοντας στην 2\nu


x^{\nu}(1-x)^{\nu}\leq \frac{1}{2^{2\nu}},

οπότε
\int_0^1 x^{\nu}(1-x)^{\nu} dx\leq \int_0^1 \frac{1}{2^{2\nu}} dx=\frac{1}{2^{2\nu}}.

Αχιλλέας
από achilleas
Τρί Οκτ 13, 2009 9:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Μετατροπή σε pdf
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 328

Re: Μετατροπή σε pdf

Έχω το OpenOffice, όχι τo MS Word.

Αχιλλέας
από achilleas
Τρί Οκτ 13, 2009 9:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Μετατροπή σε pdf
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 328

Re: Μετατροπή σε pdf

Ελπίζω να το βλέπετε.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τρί Οκτ 13, 2009 2:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εξίσωση-2-
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 396

Re: Εξίσωση-2-

Ένας άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιηθούν οι τύποι $\displaystyle{\cos^2 (\alpha)=\frac{1+\cos (2\alpha)}{2}}$ και $\displaystyle{\cos (\alpha)+\cos (\beta)=2\cos \left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right)}$ για να δειχθεί ότι $\displaystyle{\cos^2 x +\cos^2 (2x) ...
από achilleas
Τρί Οκτ 13, 2009 11:01 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ταλαίπωρη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 392

Re: Ταλαίπωρη

Δεν φαίνεται να είναι σωστή. Π.χ. για $x=11.4$ η τιμή του ολοκληρώματος είναι περίπου 0.0218, ενώ $2/11.4^2$ είναι περίπου 0.01539 (χρησιμοποιώντας τη σελίδα http://www.wolframalpha.com/). εκείνο που μπορούμε να αποδείξουμε όμως είναι ότι $\Big| \int_x^{x+1} \sin (t^2)dt \Big|\leq \frac{1}{x}$. Με α...
από achilleas
Κυρ Οκτ 11, 2009 8:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Άσκηση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 470

Re: Άσκηση

Ειναι $f(0)>0, f(1)=0$ και $f'(1)>0$. (*) Αν ήταν f(x)>0 για κάθε $0<x<1$, τότε $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{f(x)}{x-1}<0$ για κάθε $0<x<1$, κι άρα $\displaystyle{0<f'(1)=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)}{x-1}\leq 0}$, άτοπο. Άρα υπάρχει $0<\xi<1$, τέτοιο ώστε $f(\xi)\leq 0$, κι άρα υπάρχει $0<c\leq \xi$...
από achilleas
Κυρ Οκτ 11, 2009 8:38 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εύρεση πολυωνύμου.---------------->Bulletin
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 421

Re: Εύρεση πολυωνύμου.

Καταρχήν το ελάχιστο πολυώνυμο πρέπει να είναι τουλάχιστον 5ου βαθμού. Θα δείξουμε ότι υπάρχει πολυώνυμο 5ου βαθμού που να έχει το $r=x+\frac{1}{x}$ σαν ρίζα. Έχουμε θέσει $x=\sqrt[5]{2}$ και ισχύει $x^5=2$. Θα χρησιμοποιήσουμε κατά τη διάρκεια της απόδειξης τις σχέσεις $x=\displaystyle\frac{2}{x^4...
από achilleas
Σάβ Οκτ 10, 2009 10:03 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εύρεση πολυωνύμου.---------------->Bulletin
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 421

Re: Εύρεση πολυωνύμου.

Περιμένουμε το ζητούμενο πολυώνυμο να είναι 5ου βαθμού. Είναι $\displaystyle{\rho^5=\frac{5}{2}+5\cdot 2^{3/5}+10\cdot 2^{1/5}+5\cdot 2^{4/5}+\frac{5}{2}\cdot 2^{2/5}}$ και $\displaystyle{\rho^3-\rho=2^{3/5}+2\cdot 2^{1/5}+2^{4/5}+\frac{1}{2}\cdot 2^{2/5}}$, οπότε $\displaystyle{\rho^5 -5\cdot(\rho^...
από achilleas
Σάβ Οκτ 10, 2009 9:16 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ρίζα εξίσωσης.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 278

Re: Ρίζα εξίσωσης.

Είναι \rho (\rho^4+1)=1, οπότε \rho \ne 0 και \rho^4+1=\frac{1}{\rho} είναι ρίζα της

\displaystyle{\frac{1}{x}(\frac{1}{x^4}+1)=1}, ή ισοδύναμα της

x^5-x^4-1=0.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Παρ Οκτ 09, 2009 12:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: ΘΕΜΑ 12
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 2502

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

Καλημέρα Μια ιδέα ακόμη για το ε) Ουσιαστικά έχουμε μια συνεχή στο R συνάρτηση f τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(x_1 ) + f(x_2 ) = f(x_3 ) + f(x_4 )\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\,x_1 < x_2 < x_3 < x_4}$ α) Αν $\displaystyle{f(x_1 ) = f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\eta \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) = f...
από achilleas
Παρ Οκτ 09, 2009 11:11 am
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: ΘΕΜΑ 12
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 2502

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

ε) Είναι $f(g(0))=f(0)=0$, οπότε αν $g(x)=h(x+2)-h(x)$ παίρνουμε $g(2007)+g(2008)=0$. Οπότε $g(2007)=g(2008)=0$ (κι άρα η $h$ δεν είναι 1-1) ή $g(2007)\cdot g(2008)<0$, η οποία λόγω συνέχειας της $g$ και το Θεώρημα Bolzano, μας λέει ότι υπαρχει $2007<\xi<2008$, τέτοιο ώστε $g(\xi)=0$ (κι άρα η $h$ κ...
από achilleas
Παρ Οκτ 09, 2009 12:10 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ελάχιστη τιμή έκφρασης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 457

Ελάχιστη τιμή έκφρασης

Με αφορμή το θέμα συζήτησης http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=6&t=3096 ας προτείνουμε το εξής θέμα (από διαγωνισμό της Τσεχίας και Σλοβακίας): Πρόβλημα . Μπορούμε να βάλουμε διάφορες παρενθέσεις στην έκφραση $\displaystyle{\frac{29:28:27:26:\cdots:17:16}{15:14:13:12:\dots:3:2}}$ αρκεί ...
από achilleas
Πέμ Οκτ 08, 2009 11:29 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Αχ αυτά τα combinatorics !
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 427

Re: Αχ αυτά τα combinatorics !

Έστω $Χ$ ένα υποσύνολο του $A$ με 50 στοιχεία. Αν το $Χ$ περιέχει τουλάχιστον 14 αριθμούς από το σύνολο $\{1,2,\dots,26\}$ τελειώσαμε από την αρχή της περιστεροφωλιάς, αφού τότε παίρνουμε τουλάχιστον ένα από τα 13 ζεύγη $(1,26), (2,25),\dots,(13,14)$ με άθροισμα $27=3^3$. Αν όχι, τότε θα πρέπει να π...
από achilleas
Πέμ Οκτ 08, 2009 11:53 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά 2!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 674

Re: Σειρά 2!

Μεγαλειώδης Λύση Αχιλλέα!! Ευχαριστώ Σεραφείμ, αλλά τη μέθοδο την είχα δει όταν ήμουν φοιτητής. Ίσως νά παρουσιάζει ενδιαφέρον η αναζήτηση τής σχέσης τών θετικών ακεραίων $k$ καί $m$ ώστε η σειρά $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\binom{kn}{n}\,\frac{1}{m^n}$ νά συγκλίνει. Δεν γνωρίζω την πλήρη απ...
από achilleas
Πέμ Οκτ 08, 2009 11:18 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Συναρτησιακή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 555

Re: Συναρτησιακή

Εύκολα βρίσκουμε ότι: $f(0)=0$ (1) $f(x^2)=xf(x)$ (2) και $f(-x)=-f(x)$ (3) (από τις (1), (2) και την $2xf(x)=f(2x^2)=x(f(x)-f(-x))$) Από (2) και τη δοθείσα, αν $x=a^2 \geq 0$ και $y=b^2\geq 0$, ισχύει $f(x+y)=f(a^2+b^2)=af(a)+bf(b)=f(a^2)+f(b^2)=f(x)+f(y)$. Ομοίως, αν $x=-a^2 \leq 0$ και $y=-b^2\le...
από achilleas
Πέμ Οκτ 08, 2009 1:11 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Θέμα: Διαφορική γεωμετρία 1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 470

Re: Διαφορική γεωμετρία 1

Είναι $|r'(\tau)|=\dots=\sqrt{2e^{2\tau}}$, οπότε $s=\int_0^t |r'(\tau)|d\tau=\int_0^t \sqrt{2e^{2\tau}}d\tau=\int_0^t \sqrt{2}e^{\tau}d\tau=\sqrt{2}(e^t -1)$. Άρα, $e^t=\frac{s}{\sqrt{2}}+1$ και $t=\ln\left(\frac{s}{\sqrt{2}}+1\right)$, οπότε $r(s)=\left(\frac{s}{\sqrt{2}}+1\right) \left(\cos\ln\le...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση