Η αναζήτηση βρήκε 2566 εγγραφές

από achilleas
Κυρ Οκτ 04, 2009 12:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκληρωμα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 557

Re: Ολοκληρωμα

Από το διάστημα ολοκλήρωσης είναι x\geq 0 και τότε το x \choose \of n (και για πραγματικό x) ορίζεται ως:
{x \choose \of 0}=1 και {x \choose \of n}=\frac{x(x-1)\cdots (x-n+1)}{n!} για n\geq 1.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Κυρ Οκτ 04, 2009 11:43 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Απειρως Παραγωγιζομενη
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 672

Re: Απειρως Παραγωγιζομενη

Ψάχνοντας για να το τι σημαίνει το "Problem j18-I-3." στο pdf του Ροδόλφου βλέπουμε ότι
πρόκειται για το 3ο πρόβλημα του 18ου διαγωνισμού "Vojtěch Jarník International Mathematical Competition" http://vjimc.osu.cz/

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Οκτ 03, 2009 10:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μηδενική συνάρτηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1442

Re: Μηδενική συνάρτηση

Από κανόνα αλυσίδας, νομίζω ότι η παράγωγος του β' μέλους είναι
f(\sin x)\cos x.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Οκτ 03, 2009 8:09 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: 13-Δεν υπάρχει συνάρτηση
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1072

Re: 13-Δεν υπάρχει συνάρτηση

καταθέτω την λύση μου αν και παρόμοια:

Από f(9)\geq f(8)+1, έπεται ότι f(3)^2\geq 28 κι άρα

f(3)\geq 6

Από

f(5)^2\geq f(24)+1=f(8)f(3)+1\geq 27\cdot 6+1=163,

έπεται f(5)\geq 13.

Έτσι,

2187=f(2^7)=f(128)> f(125)=f(5^3)=f(5)^3\geq 13^3=2197,

άτοπο.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Παρ Οκτ 02, 2009 2:43 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ακεραιοι
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 602

Re: Ακεραιοι

Αχιλλέα, οι απαντήσεις μας διασταυρώθηκαν με διαφορά κλάσματος δευτερολέπτου. Το ρολόι γράφει "ώρα 1:01" και στις δύο περιπτώσεις. Πράγματι! Η άσκηση είναι αρκετά δύσκολη, αλλά ωραία κι ούτε εγώ θα την έλυνα αν δεν είχα δει όμοιες στο παρελθόν! Μου θύμισε το πρόβλημα 6 της Διεθνούς Μαθηματικής Ολυμ...
από achilleas
Παρ Οκτ 02, 2009 2:01 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ακεραιοι
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 602

Re: Ακεραιοι

Ο αριθμός των υποσυνόλων του $\{1,2,\dots , 15\}$ ισούται με το άθροισμα $S$ των συντελεστών των δυνάμεων του x της μορφής $x^{3k} (k=1,2,\cdots ,5)$ στο πολυώνυμο $f(x)=(1+x)(1+x^2)\cdots (1+x^{15})$. Έστω $\xi$ μια μιγαδική κυβική ρίζα του 1. Τότε, $f(1)+f(\xi)+f(\xi^2)=\dots=3S$ Έχουμε $f(1)=\und...
από achilleas
Παρ Οκτ 02, 2009 11:24 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ακεραιοι
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 602

Re: Ακεραιοι

Μετά τη θαυμάσια λύση του κ. Μιχάλη, ας μου επιτραπεί να καταθέσω μια πολυ λιγότερο κομψή που όμως λύνει το πρόβλημα για τους μικρούς αριθμούς που έχουμε: Οι (μη διατεταγμένες) πεντάδες υπολοίπων $\mod 3$ που είναι δυνατές είναι αυτές με -όλους τους αριθμούς διαιρεταίους από το 3: (0,0,0,0,0), πλήθο...
από achilleas
Πέμ Οκτ 01, 2009 8:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ελάχιστη τιμή κυρτής
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 725

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

Εφόσον η $f$ είναι κυρτή, η πλευρική παράγωγος $\displaystyle{{f'}_+}$ είναι αύξουσα συνάρτηση: $f'_+(x) \leq \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq f'_+(y)$ (*), για κάθε $x<y$ Για $\alpha < \beta<\gamma$ έχουμε $f(\beta)\leq f(\alpha)\leq f(\gamma)$ ή $f(\beta)\leq f(\gamma)\leq f(\alpha)$, που σημαίνει ότι η ...
από achilleas
Πέμ Οκτ 01, 2009 2:56 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: διοφαντική με παραγοντικό και δύναμη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 516

Re: διοφαντική με παραγοντικό και δύναμη

Οι λύσεις είναι $(x,y)=(2,1),(3,1),(5,2)$. Πράγματι, αν $x^y=(x-1)!+1$, τότε $x=p$ πρώτος, από Wilson. Αφού $\displaystyle{p^y=(1+(p-1))^y=\sum_{k=0}^y {y \choose k}(p-1)^k=1+y(p-1)+(p-1)^2 \sum_{k=0}^{y-2} {y \choose k+2} (p-1)^k}$, o $(p-1)^2$ διαιρεί τον $p^y-(1+y(p-1))=(p-1)!-y(p-1)$ κι άρα $p-1...
από achilleas
Πέμ Οκτ 01, 2009 9:39 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθίες
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 705

Re: Ακολουθίες

Αν και η λύση δεν είναι πολύ διαφορετική (είναι ισοδύναμη με του Σιλουάνου), την καταθέτω διότι χρησιμοποιεί την εξής γνωστή πρόταση: "Για την ακολουθία $x_n>0$ θετικών όρων, αν $\lim_{n\to +\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=a$, τότε $\lim_{n\to +\infty} \root n \of {x_n}=a$" Για $x_n=\frac{n^n}{n!}$ είνα...
από achilleas
Κυρ Σεπ 27, 2009 11:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ορισμένο ολοκλήρωμα διαφορετικό από τιμή
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 501

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα διαφορετικό από τιμή

Ας υποθέσουμε ότι *δεν* ισχύει ο ισχυρισμός. Θέτουμε $d=\int_0^1 f(t)dt -f(1)=f(1)-\int_1^2 f(t)dt$ και θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)+2dx$. Τότε $g''(x)=f''(x)\ne 0$ στο $[0,2]$ με $\int_0^1 g(t)dt=\int_0^1 f(t)dt +d\int_0^1 2t dt =(d+f(1))+d=f(1)+2d=g(1)$, και $\int_1^2 g(t)dt=\int_1^2 f(t)dt +d...
από achilleas
Κυρ Σεπ 27, 2009 7:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ορισμένο ολοκλήρωμα διαφορετικό από τιμή
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 501

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα διαφορετικό από τιμή

Συγνώμη για την βιαστική ανάρτηση και το άμεσο σβήσιμο της προηγούμενης μου ιδέας - υπήρχε ένα
κενό στο συλλογισμό μου και δεν μπόρεσα να τη σώσω. :oops:

Γιατί , π.χ. η f να μην λαμβάνει μέγιστο ή ελάχιστο στα άκρα; :?:

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Κυρ Σεπ 27, 2009 12:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Άσκηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 523

Re: Άσκηση

Ναι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της κυρτότητας.
Οι δύο ισχυρισμοί είναι ουσιαστικά ισοδύναμοι.

Αχιλλέας
από achilleas
Κυρ Σεπ 27, 2009 12:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Άσκηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 523

Re: Άσκηση

Η συνάρτηση f ' είναι γνησίως αύξουσα.
Έστω x>a. Τότε υπάρχει a<c(x)<x, τέτοιο ώστε

\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c(x))>f'(a).

Επομένως,

f(x) > (x-a)f'(a)+f(a)

για κάθε x>a, κι αφού f'(a)>0, παίρνοντας x\to +\infty, το συμπέρασμα έπεται.

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Σεπ 26, 2009 9:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Μία μόνο ρίζα ...
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 411

Re: Μία μόνο ρίζα ...

Η αλήθεια είναι ότι κι εγώ σκεφτόμουν περίπλοκα
όταν την διατύπωσα. :)

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Σεπ 26, 2009 9:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Μία μόνο ρίζα ...
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 411

Re: Μία μόνο ρίζα ...

Ωραίες λύσεις! Η μοναδικότητα έπεται κι από το γεγονός ότι η $f'(x)>f(2)>0$ συνεπάγει ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα κι επομένως μπορεί να έχει το πολύ μια ρίζα. Μια ερώτηση που μου ήρθε τώρα: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση; Άκυρη η ερώτηση. Προφανώς η $f(x)=x-\frac{3}{2}$ είναι ένα απλό παράδειγμα. Αχιλ...
από achilleas
Σάβ Σεπ 26, 2009 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Μια φαινομενίκα απλή άσκηση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 676

Re: Μια φαινομενίκα απλή άσκηση

Αν υπάρχει τέτοια $f$, τότε θα είναι 1-1. Αφού $f(f(f(x)))=f(-x^3)$ και $f(f(f(x)))=-f(x)^3$, έχουμε $f(-x^3)=-f(x)^3$ κι άρα $f(0)=0$, $f(-1)=-f(1)^3$, και $f(1)=-f(-1)^3$. Συνεπώς, $f(1)=f(1)^9$, που μας δίνει $f(1)=-1, 0$ ή $1$. Αν $f(1)=1$ , τότε $f(f(1))=f(1)=1$, ενώ από την ιδιότητα της $f$, ε...
από achilleas
Σάβ Σεπ 26, 2009 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Άσκηση 2
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 747

Re: Άσκηση 2

Συνήθως με a,b,c συμβολίζουμε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου απέναντι από τις κορυφές A, B, και C, αντίστοιχα. Έτσι το μήκος της πλευράς AB είναι c, της AC είναι b, και της BC είναι a.

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Σεπ 26, 2009 1:29 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Σακούλι , το σακούλι.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 798

Re: Σακούλι , το σακούλι.

Ας συμβολίσουμε τα βάρη των τεσσάρων σάκων με $x,y,z$ και $w$, ώστε $x+3y+9z+27w=95$. Αν $w\leq 2$, τότε $x+3y+9z=95-27w\geq 95-54=41$. Αλλά η μέγιστη τιμή του αθοίσματος$x+3y+9z$ είναι $3+3\cdot 3 +9\cdot 3=39$. Συνεπώς $w=3$, οπότε $x+3y+9z=95-27\cdot 3=14$, που μας δίνει $(x-1)+3(y-1)+9(z-1)=1$. ...
από achilleas
Σάβ Σεπ 26, 2009 12:32 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γεμίζουμε ένα ισόπλευρο με ίσους κύκλους!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 599

Re: Γεμίζουμε ένα ισόπλευρο με ίσους κύκλους!

Τα συγχαρητήρια αξίζουν σε σένα, στον Σεραφείμ και στο Γρηγόρη που με τις ερωτήσεις σας και τις διευκρινίσεις σας κάνατε το πρόβλημα πιο ενδιαφέρον.

Σε κάθε περίπτωση, σε ευχαριστώ!

Αχιλλέας

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση